同济第七版高等数学总复习PPT课件

1、-,1,一阶微分方程,第七章,-,2,1可分离变量的微分方程,分离变量法,2齐次方程,-,3,-,4,3一阶线性微分方程,-,5,高阶微分方程,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,接连积分n次，得通解,型,代入原方程,得,-,6,型,代入原方程,得,-,7,2、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次线性方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,-,8,解的叠加原理,-,9,特征方程为,3、二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性方程,-,10,特征方程为,推广：阶常系数齐次线性方程解法,特征方程的根,通解中的对应项,-,11,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐

2、次线性方程,解法待定系数法.,-,12,-,13,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,1、向量的坐标表示法,（一）向量代数,第八章空间解析几何与向量代数,-,14,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,-,15,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,-,16,它们距离为,两点间距离公式:,-,17,2、数量积,(点积、内积),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,-,18,3、向量积,(叉积、外积),向量积的坐标表达式,-,19,方程特点:,1.旋转曲面,（二）空间解析几何,-,20,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,-,21,旋

3、转抛物面,-,22,旋转椭球面,-,23,（2）圆锥面,（1）球面,（3）旋转双曲面,-,24,2.柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,-,25,从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：,（其他类推）,实例,椭圆柱面母线/轴,双曲柱面母线/轴,抛物柱面母线/轴,-,26,-,27,3.二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,-,28,特殊地：当时，方程变为,旋转抛物面,（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）,-,29,（3）马鞍面,（4）单叶双曲面,（5）圆锥面,-

4、,30,4.空间曲线,1空间曲线的一般方程,2空间曲线的参数方程,-,31,C,C关于的投影柱面,C在上的投影曲线,设曲线,则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：,所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：,3空间曲线在坐标面上的投影,-,32,5.平面,1平面的点法式方程,2平面的一般方程,3平面的截距式方程,-,33,4平面的夹角,5两平面位置特征：,/,重合,-,34,6.空间直线,1空间直线的一般方程,-,35,3空间直线的参数方程,2空间直线的对称式方程,-,36,直线,直线,两直线的夹角公式,4两直线的夹角,-,37,5两直线的位置关系：,/,6直线与平面的夹角,/,-,38

5、,直线与平面的夹角公式,7直线与平面的位置关系,/,-,39,8点到平面距离公式,比较中学所学的点到直线的距离公式:,-,40,6.平面束,定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束.,设平面,-,41,1、偏导数概念,第九章多元函数微分法及其应用,-,42,-,43,2、全微分公式,用定义证明可微与不可微的方法,可微,不可微,-,44,多元函数连续、可导、可微的关系,有极限,3、关系,-,45,4、多元复合函数求导法则,定理1若函数,在点处偏导连续,在点t可导,则复合函数,且有链式法则,中间变量均为一元函数的情形,在点t处可导，,公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.,-,

6、46,5、全微分形式不变性,无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.,-,47,定理1设函数,单值连续函数y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,的某一邻域内满足,满足条件,导数,在点,6、隐函数的求导法则,-,48,定理2,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数z=f(x,y),满足,在点,若函数满足:,某一邻域内可唯一确,-,49,定理3,的某一邻域内具有连续偏导数,设函数,则方程组,的单值连续函数,计算偏导数按直接法求解.,在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,在点,-

7、,50,7、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1)空间曲线的切线与法平面,(关键:抓住切向量),-,51,1）空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,(取为参数),-,52,2）空间曲线方程为,(取为参数),切线方程为,法平面方程为,-,53,()曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,(关键:抓住法向量),-,54,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,则,（特殊情形）,-,55,8、方向导数,记为,（1）方向导数的定义及存在的充分条件,-,56,三元函数方向导数的定义,方向导数的存在性及其计算方法:,定理,那么函数在,该点沿任一方向的方向导数存在,且有

8、,-,57,说明:,可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,(2)梯度的概念,记为,-,58,梯度与方向导数的关系,-,59,则称函数在该点取得极大值,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的,(极小值).,（1)二元函数极值的定义,点称为极值点.,9、多元函数的极值,-,60,定理1(必要条件),偏导数,且在该点取得极值,则有,（2）多元函数取得极值的条件,函数在点存在,说明:,驻点,极值点(可导函数),注意：,使偏导数都为0的点称为驻点.,1.驻点,2.偏导中至少有一个不存在的点.,所以,可疑极值点是:,-,61,时,具有极值,定理2(充分条件),一阶和二阶连续偏导数,且,令

9、,则:(1)当,A0时取极小值.,(2)当,(3)当,时,没有极值.,时,不能确定,需另行讨论.,(按极值定义来判定),-,62,第四步求出极值.,-,63,(3)多元函数的最值,a.最值的存在性：,如函数,b.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：,（1）找最值可疑点,D内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.,（假定函数在D有有限个可疑点）,定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则,在D上可取得最大值M及最小值m.,-,64,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值,为最小值,(大),(大),求二元函数在闭

10、区域D上的最值,往往比较复杂.但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.,函数的最值应用问题的解题步骤：,第二步判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件),-,65,（4）条件极值：对自变量有附加条件的极值,-,66,则（）,处连续；,例设处的两个偏导数都存在，,(3),-,67,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.,1、二重积分

11、的定义,第十章,-,68,3、二重积分的计算,X型,X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,-,69,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,-,70,求二重积分的方法步骤:,1.作图求交点；,2.选择积分次序；,4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把,在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序.,(把D写成不等式形式)；,外积分变量看成常数),3.确定积分限,-,71,1、选择积分次序,(1)首先被积函数要易积分，能积分；,(2)积分区域D尽量少分块.,2、确定积分限,计算二重积分的两个关

12、键：,内限平行线穿越法.,外限投影法；,-,72,（2）极坐标系下,-,73,2、定限方法,内限（的限）射线穿越法.,外限（的限）看夹在那两条射线之间；,利用极坐标计算二重积分应注意：,何时用极坐标？,1、当积分区域为圆域或其一部分时；,2、被积函数中含有或时.,3、用直角坐标求不出的积分.,-,74,4、二重积分的应用,(1)体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2)曲面积,设上连续，,(3)求质量,-,75,6、三重积分的几何意义,7、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,5、三重积分的定义,-,76,8、三重积分的计算,()直角坐标,（截面法）,（先一后二法）,-,77,()柱面坐

13、标,-,78,积分次序：,定限方法,内限平行线穿越法；,外积分区域投影法.,（可用极坐标计算时的定限法）,-,79,9、三重积分的应用,(3)质心,(1)求体积,(2)求质量,-,80,弧微分,设L：,（1）对弧长（第一类）,1.曲线积分的计算化为定积分计算,第十一章曲线、曲面积分,-,81,（2）对坐标（第二类）,设L：,有方向,-,82,2曲面积分的计算（化为二重积分）,若,（1）对面积（第一类）的曲面积分,向xoy面的投影为则,投影,投影,-,83,（2）对坐标（第二类）的曲面积分,若上侧，则,有方向,-,84,3.格林公式-平面上曲线积分与二重积分的关系,4.曲线积分与路径无关的条件,

14、L取正向.,以及等价关系.,设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,-,85,5.高斯公式曲面积分与三重积分的关系,-,86,6.两类积分之间的关系：,的法向量,L的切向量,曲线:,曲面:,-,87,三.两类曲线(曲面)积分的典型问题,一般曲线积分化成定积分计算，,一般曲面积分化成二重积分计算，,封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.,封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.,-,88,第一类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式求出弧微分元素，,定积分定限：下限小于上限.,将积分曲线代入被积函数，,-,89,2.利用积分性质:,解,3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性,-,9

15、0,因为积分曲线L关于y轴对称，函数2xcosy是,例设L为椭圆,其周长为a，求,解原式=,x的奇函数，因此有,而,所以,-,91,第二类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，,将积分曲线代入被积表达式，,定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.,-,92,2.利用格林公式,(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分,（满足定理条件）,(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单),使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个,二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.,-,93,记L所围的区域为D，易知D是边长为的正方形区域.,例1设L为,的反时针方向，则,(A)0；(B

16、)2；(C)4；(D)1,解,由已知，,则由格林公式，得,B,-,94,解为用格林公式,它与L所围区域为D,则,原式,添加辅助线段,-,95,原式,-,96,3.利用曲线积分与路径无关的条件,(1)改变原积分路径，使得原积分简化.,(2)已知是某函数的全微分，,求出该函数，即,-,97,-,98,4.有奇点的曲线积分,例4设,取逆时针方向，,求,解取,构造l：,顺时针,已知,-,99,于是，,由格林公式,-,100,第一类曲面积分的求法,由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,求出曲面面积元素,向xoy面投影：,1.基本方法：,-,101,2.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性,关于xoy面对称，被积函数是z的偶函数.,-,102,-,103,解由对称性（轮换性）,-,104,问题：,-,105,第二类曲面积分的求法,上侧取“+”,下侧取“”,对坐标x,y的积分：,积分曲面向xoy坐标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,由积分曲面的侧确定二重积分的符号.,分三项计算,1.,-,106,前侧取“+”,后侧取“”,右侧取“+”,左侧取“”,对坐标y,z的积分：,对坐标x,z的积分：,-,107,2.利用高