第三章-几何光学

1、1,第3章几何光学的基本原理（PrinciplesofGeometricalOptics）,几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情况下的传播规律.这种情况下,可以不必考虑光的波动性质,仅以光直线传播性质为基础.,若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长,则由几何光学可以得到与实际基本相符的结果.反之，当几何尺寸可以与光波波长相比时,则由几何光学获得的结果将与实际有显著差别，甚至相反.,几何光学是波动光学在一定条件下的近似.,2,3.1光线的概念ConceptofLight-Ray,一.光线与波面,光线：用来表示光的传播方向的几何线。,光线仅表示光的传播方向，不能误认为是从实际光束中借助

2、有孔光阑分出的一个狭窄部分。,波面：在光波传播过程中，相位相同的点的集合所构成的曲面，称为波面。,波面上任一点的光线传播方向总是与该处的波面垂直。,几何光学所研究的实际上就是波动光学的极限情况,波长、振幅、位相波动概念光线、波面几何概念,以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学几何光学(或光线光学),反映光的波动性的那部分光学波动光学,4,(1)光的直线传播定律:,光在不太强时,传播过程中与其他光束相遇时,各光束相互不受影响,不改变传播方向,各自独立传播.,(2)光的独立传播定律和光路可逆原理:,在均匀的各向同性的透明介质中，光沿直线传播.,二.几何光学的实验定律,5,入射面:入射光线和法线决

3、定的平面.,反射定律：反射光线在入射面内.入射光线和反射光线分居法线两侧入射角等于反射角:,反射光线,(3)光的反射定律和折射定律:,6,式中,为两介质的折射律,光的折射定律:入射光线、法线和折射光线同在入射面内,入射光线和折射光线分居法线两侧,且有,反射定律可认为是折射定律在n=-n情况下的特例.由折射定律，在n=-n时ii，负号表示入射光线与反射光线各在法线的一侧.,7,第3章几何光学的基本原理（PrinciplesofGeometricalOptics）,3.2费马原理FermatsPrinciple,由光的直线传播定律，光在均匀介质中传播时，沿直线传播。,而当光传播到两种均匀介质的界面

4、到达另外一种介质时，则按光的折射定律进行。如图,8,光从A点经过几种不同的均匀介质到达B点，所需时间为：,因为介质的折射率,所以上式可写为,9,光在介质中的光程L为介质的折射率与光在介质中所走的几何路程之积.,光程定义:,若由A到B充满着折射率连续变化的介质，则光由A到B的总光程为,所用时间为,因此,光在介质中走过的光程，等于以相同的时间在真空中走过的距离.,10,1658年法国数学家费马（P.Fermat1601-1665)概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时间原理”,经后人修正，称为费马原理。表述为：,光在指定的两点间传播的实际路径，光线总是沿着光程为极值的路径传播。,也就是说，光沿

5、着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。,11,也可以说，光沿着所需时间为极值的路径传播。,费马原理是几何光学的基本原理。,用数学的语言来描述，就是光线所经过的光程的变分等于零。即,由费马原理可直接推出光在均匀介质中沿直线传播。也可以证明，光通过两种不同介质界面时，所遵从的反射定律和折射定律也是费马原理的必然结果。,12,光程为极值的例子:,由A到B,符合折射定律或反射定律的光线ADB的光程,比任何其他由A至B的路径的光程都小.,(1)光程为极小值,B,13,(3)光程为极大值,(2)等光程的例子,回转椭球凹面镜,自其一个焦点发出,经镜面反射后到达另一焦点的光线等光程.,反射镜MM与回转椭球

6、切与D点,由A点发出过D点符合反射定律的光线,必过椭球另一焦点B,光线的光程比任何路径的光程都大.,14,由费马原理证明折射定律,设两种均匀介质的分界面是平面，折射率分别为n1和n2，并建立坐标系如图所示,光线从第一种介质A经过界面到达第二种介质指定点B。,设A点的坐标为（x1,0,z1),B点的坐标为（x2,0,z2),P点为入射光线与界面的交点，其坐标为（x,y,0),15,令APL1，PBL2，则由A点到B点的光程为：,16,分别将L1和L2代入上式可得：,因为折射率和长度L1和L2均为正值，所以只有y0（1）式才成立。就是说，折射点P在交线OO上,P点位于过A、B两点且垂直于折射界面的

7、平面内（x0y平面内），即证明了入射光线、法线和折射光线三者在同一平面内。,17,如图,因此（2）式可写成：,此即光的折射定律，证毕。,3.3单心光束实像和虚像,18,一.单心光束实像和虚像,如果仅考虑光束的传播方向而不讨论其他问题，一束光可以看做是由许多光线构成的。根据这个思想，可以把发光点看做是一个发散光束的顶点。,凡是具有单个顶点的光束称为单心（同心）光束,19,在各向同性均匀介质中，同心光束与球面波相对应；发光点在无穷远的同心光束，与平面波相对应,从一个发光点发出的光经过反射或折射后，光束的方向虽然改变，但各光线能相交于一点，即只有一个顶点，说明反射、折射没有破坏光束的单心性，这个交点

8、（顶点），我们称为发光点的像。,这种情况下，每个发光点都有一个和它对应的像点。,20,虚物实像,虚物未经光学系统变换的会聚同心光束的心，称为虚物,虚像经光学系统变换后的发散同心光束的心，称为虚像,实物实像,实物未经光学系统变换的发散单心光束的顶点，称为实物,实像经光学系统变换后的会聚同心光束的心，称为实像,二.物、象的定义,会聚同心光束,发散同心光束,会聚同心光束,会聚同心光束,21,三.实物、实像、虚像的联系与区别,由于光能包含在光束之中，所以只有进入人眼的光束方能引起视觉，即能成像于视网膜上的只是光束的顶点，而不是光束本身。,来自实物发光点的光束，如果不改变方向而直接进入人眼，则该发光点作

9、为光束的顶点能直接被看到。,如果由于反射或折射而改变了光线的方向，则光束进入人眼时，人眼的感觉仍以直接沿刚刚进入瞳孔的光线方向来判断光束发散顶点的位置。如图,22,认为S点有“物”存在。,无论是从实物点，还是像点的光束进入人眼后所引起的视觉并没有什么不同。,联系：对眼睛来说，“物点”和“像点”都不过是进入瞳孔的发散光束的顶点。,如图，光线好像是从虚像点P发出的，人眼无法直接辨别光束的顶点是否有实际光线通过。,23,把发出发散光束的像点看作物，对于下一个球面的折射来说，可以认为与真正的发光物点没有区别，而且不必考虑这个像是实还是虚。,物与像的区别：由于球折射面的大小有一定的范围，故对折射光束的张

10、角是有一定的限制。因此，像点发散光束的张角是有限的，小于。而实物可以向各个方向发光，其张角可以是大于，而等于2。,实像与虚像的区别：由于实像所在处P点确有光线会聚，而虚像所在处根本没有光线通过，所以，若把白纸置于实像P处白纸上可以看见亮点；而虚像则不能在白纸上显示出来。,24,3.4光在平面界面上的反射和折射光学纤维,光学系统是指光在传播过程中遇到的折射或反射平面、球面以及由这样的几个界面组成的系统,能严格地保持光束的同心(单心）性的光学系统，叫做理想光学系统.,实际上只有平面镜能严格保持光束的同心性，是理想光学系统,光束单心性的破坏，并不意味着与衍射有任何联系,25,一.光在平面上的反射,从

11、任一发光点P发出的光束，经平面镜反射后，如图。,反射光线的反向延长线相交于P点，P就是P点的虚像。,P与P关于镜面对称，由此可见，平面镜是最简单的，不改变光束的单心性，并能成理想的像的系统。,二.光在平面界面上的折射，光束单心性的破坏,光线在折射率不同的两个透明介质的平面分界面上反射时，单心光束仍保持为单心光束；但折射时，除平行光束折射后仍为平行光束外，单心光束将被破坏。,26,设界面为xoz，P点的坐标为（0，y）,考虑两条互相靠得很近的光线PA1和PA2，A1（x1，0），A2（x2，0），折射光线的反向延长线分别交于y轴于P1（0，y1）和P2（0，y2），并且它们在图平面相交于P点。,

12、经过计算，（见附录3.1），P1和P2点纵坐标为：,27,因此，P点的坐标为：,如果光束是单心的，只要作出任一两条光线的交点，就能确定所有其他光线都将通过这个交点。这个交点即为光束的顶点。因此只要考虑光束中通过顶点的任一平面的光线分布即可。,如果光束不是单心的，那么就必须考虑到光束中光线的空间分布。,28,下面讨论一下，折射光束的单心性是否已被破坏。,上面讨论了xoy平面内的任意两条光线。实际上应该考虑从P发出的一个小的立体空间光束，将图绕轴转过一个小的角度，则顶点为P的三角形PA1A2展成一个单心的发散光束。,但折射光束中所有光线的反向延长线都交于y轴线段P1P2的范围内。P点描绘出一段很短

13、的弧。,29,可以认为，这段弧近似地是垂直于图面的一小段直线段，折射光束中所有光线向后延长时分别相交于这段直线上的各点。,由此可见，折射光束的单心性已被破坏：光束中的所有光线并不相交于单独的一点，而是相交于两条相互垂直的线段上。一条是位于图面内的线段P1P2称为弧矢焦线，由P点描出的垂直于图面的焦线称为子午焦线。,如果单心光束的波面是球面的，则在平面界面上折射后，波面的形状发生变化，不再是球面了。,30,只要光束的波面元不是严格的球面，都具有这种特性，称为像散。,由P1和P2点纵坐标及P点的坐标可以看出，,仅当P点所发出的光束几乎垂直于界面时，即仅当i10时，有,这时P1、P2和P三点几乎重合

14、在一起。折射光束几乎保持为单心的。,31,在水面上沿着竖直方向观看水中物体，所见的像最清晰。,y称为像似深度，或表观深度。,沿着倾斜角较大的方向观看时，像的清晰度由于像散而受到影响，像变的模糊不清。,入射光束越倾斜，折射光束的像散就越显著。,32,三.全反射光学纤维,当光从光密介质入射到光疏介质时，折射角大于入射角，光在这种情况下的反射,叫作内反射.,内反射时，折射角随着入射角的增大而增大，当折射角等于900时，对应的入射角为ic.,当光从光疏介质入射到光密介质时，折射角小于入射角，光在这种情况下的反射,叫作外反射.,33,当入射角大于等于时，全部光能量都反回原介质这种反射叫做光的全反射,或叫

15、做光的全内反射.,称作临界角.,由折射定律:,34,外反射：,35,入射角大于临界角的光线发生全反射,内反射，全内反射：,36,光进入光学纤维后,多次在内壁上发生全内反射,光从纤维的一端传向另一端.,全内反射的应用很广，近年来发展很快的光学纤维，简称光纤，就是利用全反射原理制成的光能量的传输线。,光学纤维:中央折射率大,表层折射率小的透明细玻璃丝.,37,阶跃型多模光纤,梯度型多模光纤,一般使用的光纤是由直径约为12m的多根或单根玻璃纤维制成。每根纤维分内外两层。根据其折射率的分布分为两种：阶跃型光纤和梯度型光纤。如图,阶跃型光纤内层折射率在1.8左右，外层折射率在1.4左右。,38,阶跃光学

16、纤维的端面,光能够沿光纤的内壁由光纤的一端传到另一端.,由,B点：,即,当时，,39,A点：,即,所以,称为光学纤维的数值孔经，它决定了可经光学纤维传递的光束的入射角.,40,对于空气中的光纤，,凡是入射角小于i0的入射光，都将通过多次全反射从一端传向另一端；入射角大于i0的光线，将透过内壁进入外层，不能继续传送,则,由上式可见，为了使更大范围的光束能在光纤中传播，应选择n1和n2的差值较大的材料去制造光纤。,另外，光纤在使用过程中为了防止光能进入包层（n2），光纤的弯曲也不能太大。,41,光通信优点：,低损耗,窗玻璃几千分贝/公里,光学玻璃500分贝/公里,雨后清澄的大气1分贝/公里,石英光

17、纤0.2分贝/公里,2)信带宽、容量大、速度快,3)电气绝缘性能好无感应无串话保密性能好,4)重量轻线径细可绕性好,6)资源丰富价格低,5)耐火耐腐蚀可用在许多恶劣环境下,42,由于光纤具有以上诸多优点，光学纤维近几年来发展十分迅速。在工业、医学、通讯等方面的应用越来越多。尤其是近年来，随着计算机通讯网络的发展，通讯量、传输速度要求越来越高，更是离不开光纤的工作信带宽、容量大和保密性能好等优点。,43,四.棱镜,棱镜是由透明介质做成的棱柱体，光学仪器中常利用棱镜来改变光线的方向，缩短仪器的尺寸，或将倒置的像矫正等。如图,五脊棱镜,波罗棱镜,44,后反射直角棱镜,光线进入棱镜,依次经三直角面反射

18、后,出射光线与入射光线反向平行,组合波罗棱镜，望远镜正像系统,使像面旋转1800,45,多夫棱镜：主要用于倒像系统。,棱镜的主截面：与棱镜的棱边垂直的平面。,分类：根据主截面的形状，可分为三棱镜、四棱镜，五棱镜等。,46,最常用的棱镜是三棱镜。如图为三棱镜的主截面。,单色入射光通过棱镜时，将折射两次，出射光线的方向和入射光线的方向之间的夹角，称为偏向角。如图,因为,当棱镜给定时（A一定），偏向角随着入射角i1的改变而改变。,可以证明，当i1i1时，偏向角达到最小值0，0称为最小偏向角。,返回,47,因此，最小偏向角为：,又当i1i1时，折射角为i2i2A/2，由折射定律：,由上式，在实验中只要

19、测出最小偏向角，就可以计算出棱镜材料的折射率。,48,光楔,顶角很小的棱镜，或者称为尖劈。如图,当光线垂直或接近垂直入射到光楔上时，由折射定律得：,如图,上两式可近似的写成：,则偏向角为：,即,可见，当A很小时，偏向角只与n和顶角A有关。,49,第3章几何光学的基本原理（PrinciplesofGeometricalOptics）,3.5光在球面上的反射和折射,单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且光学仪器中透镜的表面都是球面的，因而球面是组成光学仪器的最基本单元。研究光经球面反射和折射是研究一般光学系统成像的基础。,50,物空间和像空间,物空间未经光学系统变换的光束所在的几何空间称为物空

20、间或者说，入射光线所行进的空间为物空间。它包括所有的实物点所在几何空间的折射率，称为物方折射率,像空间经光学系统变换后的光束所在的几何空间称为像空间，或者说，反射或折射光线所行进的空间为像空间。它包括所有的实像点所在几何空间的折射率，称为像方折射率,一.几个概念和符号法则,为了研究光线经由光学系统反射或折射后的光路，首先需要介绍几个概念和有关的符号法则。,51,球面顶点：O球面曲率中心：C球面曲率半径：r球面主轴：连接O、C而得的直线。主截面：通过主轴的平面。,基本概念：,52,以光轴或法线为始边，沿小于/2的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负,（2）角度,横向线段以光轴为起点，向上为正，向下为

21、负.,纵向线段以球面顶点O为原点，光线和主轴的交点在顶点右方的，线段长度的数值为正；反之为负。,（）线段的长度,符号法则（新迪卡尔符号法则）,图中出现的长度和角度只用正值。,例：球面反射成像各量的正负,无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。,以下的讨论假设光线从左至右进行。,规定的意义：由求出量的正负可判断像的虚、实、倒、正等结果。,（3）全正图形,54,二.球面反射对光束单心性的破坏,从点光源P发出的光波，从左到右入射到曲率中心为C，顶点为O，曲率半径为r的凹球面上，,光线经球面反射后，在P点与主轴相交。令,半径AC与主轴的夹角为，则光程PAP为：,55,

22、在PAC和ACP中，由余弦定理：,因此，光线PAP的光程可写成，,56,由于当A点在镜面上移动时，半径r是常量，而角度才是位置的变量。,根据费马原理，物象间的光程应取极值或常量，上式对求导，并令导数等于零，即,由此可得：,上式还可以写成,57,如果发光点P至O点的距离s为已知，用上式即可算出任一反射光线和主轴的交点P到O点的距离s。,显然，s将随着入射线的倾角u（亦即角度）的变化而变化。这就是说，从物点发散的单心光束经球面发射后，将不再保持单心性。,58,则（1）式变为：,在上式中，对于r一定的球面，只有一个s和给定的s对应。存在确定的像点。这个像点是一个理想的像点，叫做高斯像点。这是因为高斯

23、最先建立起光线理想成像的定律。,s称为物距，s称为像距,三.近轴光线条件下，球面反射的物象公式,在近轴光线条件下，很小，在一级近似下，cos1，,因此,59,焦距可写为,则有：,球面反射的成像公式,当s时，,即沿着主轴方向的平行光束入射经球面反射后，成为会聚（或发散）的光束，其顶点在主轴上，称为反射面的焦点。焦点到顶点的距离称为焦距f。,1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立；,2、式中各量必须严格遵从符号法则;,3、对凸球面反射同样适用；,4、当光线从右至左时同样适用。,说明：,60,四.球面折射对光束单心性的破坏,如图，AOB是折射率分别为n和n两种介质的球面分界面。设nn,光

24、线从P点发出经球面折射后与主轴相交于P。,光线PAP的光程为：,61,由余弦定理可得：,因此：,与反射情况类似，由费马原理，,由,62,整理得：,或,由此可见，s也和的大小有关，从物点P发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。,63,五.近轴光线条件下，球面折射的物象公式,则（2）式变为：,在近轴光线条件下，很小，在一级近似下，cos1，,因此,称为单球面折射成像公式,64,上式右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来讲是一个常量。,定义,称为球面的光焦度,单位：m1，称为屈光度，用D表示。1D100度,由于球面的曲率半径可正、可负也可以为无穷大，物方

25、折射率可以大于也可以小于像方折射率，因此光焦度可正、可负,也可以为零.,0为会聚系统，0为发散系统，=0为无焦系统.,65,如果发光点的位置在P点，它的像便在P点，即如果P和P之一为物，则另一点为其相应的像。物点和像点的这种关系称为共轭。,若光线自左向右进行，对于实物s0，若成虚像s0.,在球面反射的情况下，物空间和像空间重合。实物s0,若成实像s0.,相应的点称为共轭点。相应的光线称为共轭光线。实际上，物像共轭是光路可逆原理的必然结果。,S1,像放大；,=1,物象等大.,0,则像在顶点右侧，是实像。如图,81,对于哑铃右端的界面相当于一个凹球面，由符号法则：,由高斯公式，则有,最后的像是一个

26、虚像，正好落在哑铃的中央。如图,82,（2）由横向放大率公式,左端球面折射所成像为倒立、放大的实像。,右端球面折射所成像为正立、放大的虚像。,对整个系统来说：,最后所得的像为倒立的、放大的虚像。,83,第3章几何光学的基本原理（PrinciplesofGeometricalOptics）,3.6光连续在几个球面上的折射虚物的概念,定义：由两个或两个以上球面组成的系统，且它们的曲率中心都在同一条直线上，这种系统称为共轴光具组或共轴球面系统。,在近轴光线的情况下，要解决共轴光具组成像问题，可以使用逐个球面成像法。如前面的例题3.4。,84,对第一个球面来说是出射光束，对第二个球面就是入射光束，所以

27、第一个球面所成的像，就可以看作是第二个球面的物，依次逐个对各个球面成像，最后就能求出物体通过整个系统所成的像。,在单心光束不被破坏的条件下，光束通过前一个球面所成的像对于下一个球面来说，可被看作是物。无论这个像是实像还是虚像。只要它的位置在下一个球面之前。如图,85,则光束在到达下一球面之前是发散的，可直接把像看作物。它到下一个球面顶点之间的距离，即为物距。仍可应用物象公式来计算。此时应注意符号法则。,但是，如果光从前一个球面出射后是会聚的，应该成实像，在光束尚未到达会聚点就遇到下一个球面。如图,这种会聚光束对于下一个球面来说就是入射光束。故仍可将其顶点看作是物，不过由于不是实际光线的交点，所

28、以称作为虚物。,86,应以入射光束原应会聚之点作为虚物所在点，然后根据符号法则计算物距、像距。应用物象公式即可。,本节结束,87,第3章几何光学的基本原理（PrinciplesofGeometricalOptics）,3.7薄透镜(ThinLens),透镜：,把玻璃等透明物质磨成薄片，使其两表面都为球面或有一面为平面，所构成的元件，称为透镜。,凸透镜：凡中间部分比边缘部分厚的透镜，叫做。,凹透镜：凡中间部分比边缘部分薄的透镜，叫。,88,凸透镜可分为：,双凸透镜,平凸透镜,月凸透镜,凹透镜可分为：,双凹透镜,平凹透镜,月凹透镜,89,主轴：连接透镜两球面曲率中心的直线，称为。,主截面：包含主轴

29、的任一平面，称为。,透镜的厚度：透镜两表面在其主轴上的间隔，即两球面顶点之间的距离，称为。,薄透镜：若透镜的厚度与球面的曲率半径相比可忽略，称其为。,厚透镜：若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略，称其为。,90,一.薄透镜的成像公式,设物空间折射率为n1,像空间折射率为n2,透镜折射率为n两球面半经分别为r1和r2.,透镜两次经球面折射成像.,第一次成像,以O1为原点,向右为正,由单球面折射成像公式得,(1),91,第二次成像,以O2为原点,向右为正,（2）,将（1）式与（2）式两边相加，得,上式右边为薄透镜的光焦度，即,式中,分别为两折射面的光焦度.,薄透镜的成像公式,92,由于,所以有

30、关系,即薄透镜两焦距之比等于两边的折射率之比的负值.,薄透镜的光焦度可表示为:,物方焦距可写为：,像方焦距可写为：,93,高斯和牛顿公式仍成立,空气中的薄透镜成像公式:,当薄透镜置于空气中时,n1=n2=1.0,94,二.放大率,1.横向放大率,由定义式,对于第一个折射球面：,对于第二个折射球面：,对薄透镜，s1=s2，s2=s，s1=s，y1=y2,或,95,若n1n2，则,若采用牛顿公式：,可得,2.角放大率,由定义，可得,若n1n2，则,96,例题3.5姚书P139,在制作氦氖激光管的过程中，往往采用内调焦平行光管粘贴凹面反射镜，其光路如图所示。,图中F1是目镜L1的焦点，F2是物镜L2

31、的物方焦点。已知目镜和物镜的焦距均为2cm，凹面镜L3的曲率半径为8cm。,（1）调节L2，使L1和L2之间的距离为5cm，L2和L3之间的距离为10cm，试求位于L2前方1cm的叉丝P经光学系统后所成的像的位置。,97,（2）当L1和L2之间的距离仍为5cm时，若人眼通过目镜仅能观察到一个清晰的叉丝像，L3和L2之间的距离应为多少？,解：（1）P点作为物点，应向各个方向发光，可以向L1发光，经L1直接成像;,也可以向L2发光，然后依次经L2L3L2L1最后成像。,首先，P对L1直接成像：,即成像位于L1左侧4cmP1处。,返回,98,其次，P先通过L2成像。,因,即P经L2成像于L2左侧2厘米P2处，与F2重合。,99,如图,对L3来说，P2为