04 切线长定理与弦切角教师

1、04. 切线长定理与弦切角 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第04讲 切线长定理与弦切角【知识点】【切线长定理及其推论】切线长：经过圆外一点作圆的切线，该点与切点间的线段长【思考】尺规作图：经过圆外一点如何作圆的切线呢？【解答】如图，以为直径作圆交于、两点切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等如图，推论：从圆外一点作的两条切线，那么两条切线的夹角被平分，且垂直平分切点连线【证明】POAPOB【弦切角】弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.（弦切角就是切线与弦所夹的角），图中即为.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一

2、半（即圆周角）.图中即：.【证明】【例题精讲】1. 从外一点向此圆引两切线，两个切点为，如果，且和是等边三角形的三个顶点，则该圆的半径是多少？【解答】，（），即，在等腰三角形中，由三线合一可知，2. 是外一点，切于，切于，是直径，求证：ACOP【解答】连交于，则由，有，则3. 已知为外一点，PA、PB分别切于A、B，与相交于点，为弧上一点求证：【解答】连，4. 求证：圆外切等腰梯形的高是其上下两底的比例中项【解答】设为等腰梯形的内切圆是切点，连，易证为直角三角形，有，但，即，而，从而5. 分别切于两点，且，且，求【解答】，即，即均在上，设，则，解得，6. 为正方形一边的中点，与以为圆心，为半径

3、的圆切于点，求证：【解答】法一：连，设，正方形边长为“”，则，在中，用勾股定理，解得，即法二：用，得，即，7. 已知正方形的内切圆分别切于，是圆的切线，分别在线段上，求证：BEFM【解答】不妨设正方形边长为，则，在直角中，故，又，故，8. 在ABC中，的平分线交于，ABC的外接圆的切线交的延长线于，求ANM的最小角的度数【解答】，即的最小角的度数为9. 是ABC的外接圆，的平分线交于，交于，的切线交的延长线于，求证：【解答】连，在与中，即10. 为半圆直径延长线上一点，切半圆于，且，求的值.11. 如图，正方形，求证：过三点圆的圆心在上12. 如图，为的弦，切于，于，于，于，求证：【解答】连，

4、在与中，同理可证：即，13. 是ABC外接圆的切线，分别是及其外角的角平分线，分别与及其延长线交于，求证：14. 如图，已知的直径，过作切线，且，联结，交于，联结并延长交于，求证：15. 在ABC的边上，是BCD外接圆的切线，求解：是外接圆的切线，由弦切角定理知，又，不妨设，则，设，由正弦定理，有，又，16. 锐角ABC内接于圆，过点和引外接圆的切线，它们分别交过点的切线于M、N，而是ABC边上的高（为垂足）求证：平分【课后作业】1. 如图，已知AC是O直径，PAAC于A，PB切O于B，BEAC于E若cm， cm，求BD的长【解答】2. 如图，已知QA切O于A，QB交O于B和C两点，P是弧上任

5、一点，求的度数【解答】100度3. 如图，已知OA是O半径，B是OA延长线上一点，BC切O于C，CDOA于D求证：CA平分BCD【解答】提示：证法一延长AO交O于点E，连接EC，则BCA=E，且ACD=E所以BCA=ACD证法二连接OA，则BCA与OCA互余；又ACD与OAC互余，而OCA=OAC，所以BCA=ACD4. 如图，已知MN切O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D求：ABDE【解答】提示：连接AC先证明A，E，C，D四点共圆由此得ADE=（ACE=）MAB，所以AB/DE【备用题】1. 如图，是的平分线上一点，于，以为圆心，为半径做，求证：与相切证：过作于，由角平分线定理知，即到的距离与半径长相等，与相切2. 正方形的边长为，以为直径向形内作半圆，与是半圆的切线，为