高数第六章(2)定积分在几何学上的应用

1、三、立体体积,第二节,一、平面图形的面积,二、平面曲线的弧长,机动目录上页下页返回结束,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及x轴所围曲,则,机动目录上页下页返回结束,边梯形面积为A,右下图所示图形面积为,例1.计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积.,解:由,得交点,机动目录上页下页返回结束,例2.计算抛物线,与直线,的面积.,解:由,得交点,所围图形,为简便计算,选取y作积分变量,则有,机动目录上页下页返回结束,例3.求椭圆,解:利用对称性,所围图形的面积.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当a=b时得圆面积公式,机动目

2、录上页下页返回结束,一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,确定其起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,机动目录上页下页返回结束,例4.求由摆线,的一拱与x轴所围平面图形的面积.,解:,机动目录上页下页返回结束,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动目录上页下页返回结束,对应从0变,例5.计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处播放开始或暂停,机动目录上页下页返回结束,到2所围图形面积.,例6.计算心形线,所围图形的,面积.,解:,(利用对称性),心形线目录上页下页返回结束,心形线(外摆线的

3、一种),即,点击图中任意点动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,例7.计算心形线,与圆,所围图形的面积.,解:利用对称性,所求面积,机动目录上页下页返回结束,例8.求双纽线,所围图形面积.,解:利用对称性,则所求面积为,思考:用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积.,机动目录上页下页返回结束,答案:,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),机动目录上页下页返回结束,则称,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(P170),机

4、动目录上页下页返回结束,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动目录上页下页返回结束,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),机动目录上页下页返回结束,例11.计算曲线上相应于的一段弧的长度。,解:,例12.计算摆线,一拱,的弧长.,解:,机动目录上页下页返回结束,例13.求阿基米德螺线,相应于02,一段的弧长.,解:,(P364公式39),小结目录上页下页返回结束,三、体积,f(x),a,b,曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,1.求旋转体体积,f(x),a,b,x,.,.,111111111

5、,.,曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,求旋转体体积,V=,解,直线方程为,解,0,1,x,y,例.导出由曲边梯形,轴旋转所得立体的体积公式,解.,补充,利用这个公式，可知上例中,例13.计算由椭圆,所围图形绕x轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解:方法1利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动目录上页下页返回结束,方法2利用椭圆参数方程,则,特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积,机动目录上页下页返回结束,例.求由,所围成的平面图形绕y轴,旋转而成的旋转体的体积。,解,体积元素为,例14.计算摆线,的一拱与y0,所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.,解

6、:绕x轴旋转而成的体积为,利用对称性,机动目录上页下页返回结束,绕y轴旋转而成的体积为,注意上下限!,注,注目录上页下页返回结束,祖暅原理：,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,2.已知平行截面面积为的立体的体积,b,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔.求其体积.,R,o,x,y,o,y,R,x,R,R,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔.求其体积.,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,ytan,问题：还有别的方法吗？,(x,y),截面积,A(x),.

7、,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔.求其体积.,o,y,R,x,R,R,方法2,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔.求其体积.,o,y,R,x,R,R,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x,y),=2x,=ytan,.,S(y),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔.求其体积.,方法2,R,x,o,y,R,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.,R,x,o,x,A(x),A(x),V=,.,.,.,.,R,y,.,

8、y,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积.,垂直x轴的截面是椭圆,例17.计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当a=b=c时就是球体体积.,机动目录上页下页返回结束,的体积.,例18.求曲线,与x轴围成的封闭图形,绕直线y3旋转得的旋转体体积.,(94考研),解:利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:求弧长时积

9、分上下限必须上大下小,机动目录上页下页返回结束,3.已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕x轴:,绕y轴:,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.,提示:交点为,弧线段部分,直线段部分,机动目录上页下页返回结束,以x为积分变量,则要分,两段积分,故以y为积分变量.,2.试用定积分求圆,绕x轴,上,半圆为,下,求体积:,提示:,方法1利用对称性,机动目录上页下页返回结束,旋转而成的环体体积V及表面积S.,方法2用柱壳法,说明:上式可变形为,机动目录上页下页返回结束,此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).,求侧面积:,利用对称性,机动目录上页下页返回结束,上式也可写成,它也反映了环面微元的另一种取法.,作业,P2842(1);5(2);8(2);22;30,第三节目录上页下页返回结束,面积及弧长部分：,体积部分：,P28513;15(1),(4);,备用题,解：,1.求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,机动目录上页下页返回结束,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与x轴所围面积,由图形的对称性,也合于所求.,为何值才能