05 正方形教师版初一竞赛进度一

1、 1 第第 0505 讲讲 正方形正方形 【正方形的定义】 一组邻边相等的矩形叫做正方形。 【正方形的性质】 四个角都是直角，四条边都相等 两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 具有平行四边形、菱形、矩形的性质 【正方形的判定】 一组邻边相等的矩形 有一个直角的菱形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 【例题讲解】【例题讲解】 【例题【例题1】如图， ABCD是边长为1的正方形， EFGH是内接于ABCD 的正方形，AE=a，AF=b，若 2 3 EFGH S，求ba的值。 答案： 3 3 【例题【例题2】如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 12cm，E,P,F

2、 三点分别在 AB.BC.CD 上，且 APEF，BP=5cm，求 EF 的长。 2 【例题【例题3】如图，已知四边形 ABCD 是正方形，EFAC，四边形 AEFC 是菱形，求EAB 的度数。 【例题【例题4】如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，P 是 OB 上任意一点， DQAP，垂足是点 Q，交 AC 于点 R。 （1）求证：AOPDOR ； （2）若点 P 在 OB 上运动（不与 O、B 重合） ，试猜想 DP 与 CR 的数量关系，并证明 你的结论 3 【例题【例题5】如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上一点，且 1 4 A

3、FAD， 求证：EFEC。 4 【例题【例题6】如图，设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 FC 为边作第三个正方形 FCGH，如此下去 （1）记正方形 ABCD 的边长为 1 1a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 234 , n a a aa，请求出 234 ,a a a的值 （2）根据以上规律，写出 n a的表达式 5 【例题【例题7】把正方形 ABCD 绕着点 A，按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG，边 FG 与 BC 交 于点 H，试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察，猜想，然后再证明你的猜想。 【例题【

4、例题8】如图所示，在正方形 ABCD 中，点 P 式 CD 上的一动点， 连接 PA， 分别过点 B、 D 作、BEPADFPA，垂足分别为点 E、F。 （1）请探究 BE,DF,EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系。若点 P 在 DC 的延长线上 （如图） ， 那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系？若点 P 在 CD 的延长线上 呢（如图）?请分别直接写出结论； （2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明。 6 【例题【例题9】如图所示，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，点 F 在 BC 边上， 且 CF=1，在AEF中作正方形 1111 ABC D，使

5、边 11 AB在 AF 上，其余两个顶点、 11 CD分 别在 EF 和 AE 上。 （1） 请直接写出图中两直角边之比等于 1:2 的三个直角三角形；（不另添加字母及辅助线） （2）求 AF 的长及正方形 1111 ABC D的边长 （3） 在 （2） 的条件下， 取出AEF（如图所示） ， 将 11 EC D沿直线 11 C D， 11 C FB 沿直线 11 C B分别向正方形 1111 ABC D内折叠，求小正方形 1111 ABC D未被两个折叠三 角形覆盖的四边形的面积。 7 8 【例题【例题10】如图， Q 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点， 作2BAPQAD ， P 在

6、CD 上， 求证：AP=CP+CB。 【例题【例题11】如图，边长为 1 的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个 小矩形，EF与GH交于点P (1)若AG=AE，证明:AF=AH； (2)若FAH=45，证明:AG+AE=FH； (3)若矩形AEGP的面积为矩形PFCH面积的一半，求FAH的度数 P F AD CB GH E 答案:(1)证ABFADH即可 (2)提示:将ADH顺时针旋转 90 (3)将ADH顺时针旋转 90后，H点转到M点，设aAG ，aBG 1，bAE ， bDE 1，由题意可得 )1)(1(2baab 又又 22 )1()1(ba 222 FHCFCH

7、BFDHFHba MFBFBM 可得可得，AMFAHF，HAFMAF ，得得 45 HAF M P F AD CB GH E 9 【例题【例题12】如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，NMMD于M，BN平分 CBE交MN于N求证：MDMN 解：如图所示，取AD的中点P，连接PM 由已知可得AMAPBMPD，所以45AMPAPM，进而得135DPM 由BN平分CBE，得45NBE，135MBN 由90ADMAMDNMBAMD，ADMNMB，得MPDNBM， 故MDMN 【例题【例题13】(1)如图 1 所示，正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH 分割成 4 个小矩

8、形，P是EF与GH的交点若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的 2 倍，求HAF的大小 图 1 (2)如图 2 所示，在正方形ABCD中，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长线）于点M、N如果MAN在如图 2 所示的位置时，很容易证 得BMDNMN成立 （不必证明） 请问当MAN绕点A旋转到如图 3 所示的位置时， 线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请说明理由 10 图 2 图 3 满分解答 (1) 如图 4 所示，延长CB到点M，使BMDH，再连接AM易证ADH ABM，得AMAH 设AGa，BGb，AEx，EDy，则 (1) 2 (2) abxy

9、 axby 由式(1)得axyb，两边平方代入式(2)，得 222 ()axby 由于 22 axbyFH，故MAFHAF，所以MAFHAF 由90HAFMAFHAFBAFDAH，得45HAF 图 4 图 5 (2) 如图 5 所示，在DN上截取DEBM，连接AE 因为四边形ABCD是正方形，所以90ABMD，ABAD 又因为DEBM，所以ABMADE，所以AMAE，BAMDAE 因为45MAN，所以45DAEBANMABBAN 所以45EANMAN 又因为AMAE，ANAN，所以AMNAEN，得MNEN 所以DNDEENBMMN，即MNDNBM 【例题【例题14】如图，将边长为 12cm的正

10、方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点， 然后压平得折痕FG，若GF的长为 13cm，求线段CE的长 11 作业 1.如图，在ABC中，90ACB，CD 平分ACB交 AB 于点 D，DEBC与点 E，DFAC于点 F 求证：四边形 CEDF 是正方形。 12 2.如图，把一个边长为 1 的正方形经过三次对折后沿中位线（虚线）剪下，求展开得到的图 形的面积。 答案： 3 4 3.如图所示，在菱形 ABCD 中，AOBD于点 O。OE、FG 都垂直于 AD，EF、GH 都垂 直于 AO。若1 AGH S,求 ABCD S。 13 4.如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是边 BC 上任意一点（可以与点 B 或点 C 重合） ， 分别过 B,C,D 三点作射线 AP 的垂线，垂足分别为 B,C,D三点，求 BB+CC+DD的最大值 与最小值。 备用： 1.如图所示， 在边长为 4 的正方形 ABCD 中， E 是 DC 的中点， 点 F 在 BC 边上， 且 CF=1， 在AEF中作正方形 1111 ABC D，使边 11 AB在 AF 上，其余两个顶点、 11 CD分别在 EF 和 AE 上。 （1） 请直接写出图中两直角边之比等于 1:2 的三个直角三角形；（