期末期末复习ppt

1、1 期末考试分数分配 一、填空题10小题，每题2分； 二、选择题10小题，每题2分； 三、计算题5小题，每题10分； 四、证明题2小题，每题5分。 2 2 第四章至第七章内容提要 向量内积 TTT 11 1 (,) ,(,) ,(, ) n nnii i XxxYyyX YX Yx y 内积性质 ( ,)( , ); (, )( , )( , ); ( , )0;( , )00. abab 2 T2 1 . n i i xX Xx 向量长度 向量正交 222 ( ,)0,. 正交向量组:非零向量组 1, ,(,)0,. sij ij 单位向量 1. 若 n维正交向量组是线性无关向量组,最多有n

2、个向量. 内积和正交 正交向量组线性无关. 实向量实向量 3 3 已知两个向量长度和内积求和差向量的长度。 222 222 2( ,) 2( ,) 4 4 正交矩阵正交矩阵: 行向量组是单位正交向量组; 列向量组是单位正交向量组; 1T AA ,; (,)( ,),. A AA 线性无关向量组 的正交化: 123 , 若A是正交矩阵,则 |1,A 11 21 221 11 3132 3312 1122 , (,) , (,) (,)(,) . (,)(,) 实特征值为 1. ,. |, 0| 1. Ao A 5 5 例例 可逆矩阵A, 存在正交矩阵B和上三角矩阵T, 使得B=AT. 证证 可逆

3、,其列向量组线性无关,进行 施密特正交化和单位化得单位正交向量组: 1 (,) n A 1111 2121222 1122 1 11121 222 11 , , . (,), 0 (,)(,). 00 nnnnnn n n n nn nn a aa aaa B aaa aa BAT a 令则 6 6 1 1 11111 111 111 1 1 . . , 0 00 . nn nnnnnn nn nn nn ABT T ttt SC T ttot t SS Ct T ot 是上三角矩阵 7 7 矩阵的相似对角化 属于不相等的特征值的各线性无关特征向量组 合并成的组是线性无关向量组. n阶矩阵A,

4、 非零向量非零向量 和数 满足 称为A的属于 的特征向量. ,A 求特征值和特征向量的过程 1.解特征方程 2.对于每个特征值求齐次方程组 的基础解系. | 0.EA ()EA Xo 特征值和特征向量 8 8 特征值 作为特征方程 的根的重数a称 为 的代数重数,即 | 0EA 000 | ()( ), ()0. a EAgg 0 0 0 如果 是A的特征值 ,则属于 的线性无关特 征 向量的个数称为它的几何重数. 定理定理 几何重数小于或等于代数重数. 0 9 9 相似矩阵 存在可逆矩阵P,使得 , 则说A相似于B,记作 1 BP AP AB 相似关系具有反身性,对称性和传递性. n阶矩阵A

5、相似于一个对角矩阵的充分必要条 件是A具有n个线性无关的特征向量. 矩阵An相似对角化过程: 1.解特征方程 得特征值 2.对于每个特征值 求齐次方程组 得基础解系 3.如果各组基础解系共有n个向量,以每个特征向量作列向 量组成矩阵P,则 是特征值组成的对角矩阵. | 0EA 1, ,. s () i EA Xo 1, , i iij i 1 ,P AP AB 特征多项式相同，特征值及其重数相同， 迹相同 10 10 已经知道A的特征值和特征向量,求 A. 123112233 TTT TTT (,)(,), , , (|)( ,). A AUV U AV UVE A 一般情形,A可逆,解矩阵方

6、程 1 , (|)(|), . AXB A BE X XA B 11 11 对称矩阵 定义 T .AA T (,)( ,).AAAA . 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 实对称矩阵的特征值的代数重数等于属于它实对称矩阵的特征值的代数重数等于属于它 的线性无关特征向量的个数的线性无关特征向量的个数(几何重数几何重数). 实对称矩阵A可以用正交矩阵对角化,即存在正 交矩阵Q,使得Q-1AQ= 是A的特征值组成的 对角矩阵,特征值重复次数等于其重数. A对称,可逆,则其逆也对称, A,B对称,AB对

7、称充分必要条件,A,B可交换 12 12 12 实对称矩阵的对角化的步骤 上面的定理给出实对称矩阵A的正交对角化的步骤： 1, ,. m (2)对于每个ki 重特征值 求解齐次线性方程组 i (), iE A Xo 得到它的一个基础解系 1, ,1,() i iikii im knrEA 利用施密特正交化方法把它正交化正交化得 1, ,1, i iik im 再单位化单位化得 1, ,1, i iik im (1)求特征方程|E A|=0的全部根 (3)令 则有 1 1111 (,) m iimi Q 1 Q AQ 13 13 13 定义 n个变量 的二次齐次函数 1, , n xx TT 1

8、 11 (,),. nn nijij ij f xxa x xX AX AA 其中 为常数，称为(n元)二次型. ijji aa TTT (). ,| 0. , . ijn n Aa XCYC X AXY BY BC AC AB 合同 合同关系具有反身、对称和传递性. 实对称矩阵A合同于一个对角矩阵 11 diag( ,0,0),0,0. rr n r Adddd 二次型二次型 14 14 14 合同对角化方法 1.配方法配方法:通过配方求可逆线性替换X=CY,得 到 D是r个非零元素di构成的对角矩阵. 2.正交替换法正交替换法. 惯性定理惯性定理合同于实对称矩阵A的对角矩阵中 正元素个数p

9、 仅与A有关. 3. 初等变换法. T22 11 T . rr fX AXd yd y C ACD 15 15 定义 设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非 零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次 型f为正定的，其矩阵A 称为正定矩阵. 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A的 各顺序主子式大于零. 3. 4. 5.A的正惯性指数p= n. 6.存在可逆矩阵P,使得A=PTP. 7. T22 11 ,0,1, . nni X AXd yd yXCY din 11 diag(,),0,0. nn Adddd .AE 2 T 8., , ASS AB B B 正定.

10、 9.上可逆三角矩阵. 16 16 16 实对称矩阵A半正定的充分必要条件是 1.其特征值都是非负数. 2.A合同于 3.A的正惯性指数p=r. 4.A的所有主子式非负. 5. ,( ). r EO rr A OO T22 111 ,0,0. rrr X AXd yd y dd 17 17 可逆矩阵A：存在矩阵B，使得AB=BA=E. 1 | 0;.ABA AXo 只有零解; AX 对于任意列向量 有唯一解; A的行向量组线性无关; A的列向量组线性无关; A的秩等于A的阶; A等于初等矩阵的乘积 逆矩阵求法:伴随矩阵 初等变换 *T () . ij AA 1 ( |)(|)A EE A 存在

11、矩阵B，使得AB=E 18 18 *1*1 * *111 112* *2 |.(1/ |),|, ()|(|) | | |.()|. nnn AAA E AA AAA A AA AA A AAAAAAAAA 可逆矩阵的性质 1.A可逆,则A-1可逆,(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1. 2.A可逆,则AT可逆,(AT)-1=(A-1) T. 3.A,B可逆,则AB可逆, 4.A可逆,c0,则 5.A可逆，k 是整数,则 6.A可逆,则A*可逆,并且(A*)-1=|A|-1A. 111 ().ABB A 111 ().cAc A 11 ()() . kk AA 19 19 2.相似关系

12、存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B, | |,| |,tr( )tr( ).ABEAEBABAB 矩阵的三个关系 1.等价关系:A经过初等变换得到B,称A等价于B,记 作AB. ,. m nmn ABP QPAQB 可逆使得 0 ( )( ). 00 r E ABr Ar B A 1 . n AAn 有 个线性无关特征向量 1 1 ,. n A PAPP 实对称 是正交矩阵,第i个列向量 是属于 的特征向量. i 20 20 3.合同关系,A,B实对称,存在可逆矩阵C,使得 C-1AC=B,记作 是r 阶对角矩阵,对角线元素非零 .AB 0 , 00 r r D AD ( )( ),ABr A

13、r B 正惯性指数相等. 1 1 1 1 0 0 p个 r-p个 n-r个 A 规范形 21 21 等价关系等价关系 相似关系相似关系(方阵方阵) 合同关系合同关系(对称对称) A经过初等变换化成经过初等变换化成B， 存在可逆存在可逆P,Q,B=PAQ 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得 B=P-1AP A对称，存在可逆矩阵对称，存在可逆矩阵P 使得使得B=PTAP 反身，对称，传递反身，对称，传递 反身，对称，传递反身，对称，传递 f 是多项式是多项式 特征值和特征向量特征值和特征向量 施米特正交化施米特正交化,单位化单位化 反身，对称，传递反身，对称，传递 正正(负负)惯性指数惯性指数 A

14、B ABAB ( )( )r Ar B ( )( ),| |, | |,tr( )tr( ),( ) ( ) r Ar BEAEB ABABf Af B ( )( )r Ar B r EO OO 1 n A 实对称 1 1 1 1 0 0 定 义 记 号 不 变 量 标 准 形 配方配方 特征值和特征向量特征值和特征向量 成对初等变换成对初等变换 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵 矩阵方程矩阵方程 求 法 矩阵的三种关系 A有有n 个线性无关特个线性无关特 征向量征向量 22 22 A可逆，则ABBA. 已知矩阵A的特征值和对应特征向量求矩阵A。 23 23 1

15、TT 1 1 1 diag(,),| 0,| 0, (). (,), ,1, ,(,). T r TTT n n iijjn j ddP APQPCPC Q AQPCAPCC P APCCC P cin QPC 对于相似关系情形类似。 如果C是初等矩阵，那么C的逆矩阵还是同类 初等矩阵。 24 24 矩阵相等关系A=B A,B对应元素相等 (AB)C=A(BC) AB=C,C列（行）向量是A（B）的列向量线性 组合。 ()T TT ABB A 25 25 四种矩阵 可逆矩阵 正交矩阵 实对称矩阵 正定矩阵 存在B，使得 AB=BA=E A-1=AT AT=A XO, XTAX0 |A| 0,

16、行向量线性无关 列向量线性无关 r(A)=n AX=O只有零解 任意b,AX=b唯一解 A是初等矩阵乘积 行向量组单位正交 列向量组单位正交 特征值是实数； 属于不同特征值的特 征向量正交； 有n个正交特征向量 顺序主子式 为正 正惯性指数 为n 特征值全正 A-1可逆， AT可逆， AB可逆， 可逆， Ak正交， AB正交， |A|=1 实特征值1 A对称 可逆,A-1对称 A,B对称，AB对称 A， B可交换 Ak正定； A,B正定， AB正定 A,B可交换 (,)( ,) Axx AA (,)( ,)AA T ; ; AE APP 11 ()AA 11 ()() TT AA 111 ()

17、ABB A T AA 26 26 正定矩阵A 半正定矩阵A 负定矩阵A 不定矩阵A 半负定A XO, XTAX0 XTAX0 XO, XTAX0 存在X，Y， 使得XTAX0 YTAY0 负惯性指数 为q=r(A) 特征值全负 特征值 有正 有负 正（复）惯 性指数0. Ak正定； A,B正定，AB正 定 A,B可交换 27 27 27 几个特殊矩阵的特征值 (1)莱斯利矩阵的主特征值和特征向量. (2) 是n维列向量， 的特征值为 (n-1)重.秩为1或0的矩阵， 时相似于 diag(0,0, ) (3) , T ( ,),0 1111 1111 (1) 1111 (1,1,1(1) ) b

18、b bb Abb E bb diagbbnb 27 ( ,)0 ( ,) 28 28 1 0,1,1,(*) n ijij i aajn EA可逆 (4)列昂季耶夫EA,A直接消耗系数矩阵 (霍金斯-西蒙)设A为直接消耗系数矩阵. 当Y0时投入产出方程(EA)X=Y有非负解的 充分必要条件是EA的顺序主子式为正,即 1112 1112 2122 11121 21222 12 1 10,0, 1 1 1 0, 1 | 0. i i i iiii n aa DaD aa aaa aaa D aaa DEA 29 29 29 29 故 线性无关,于是r(P)=n,B是正 定矩阵。 ,0,1, k kn 12 111 12 111 m mmm m xxx V xxx 的行向量，当 xi 互不相等时其行列式 1 |()0 ij ij m Vxx T 1 T 01 (,) ,0,