古埃及古希腊数学史

1、第一讲数学的起源与早期发展,1、数与形概念的产生,数概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在30万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。记数计数手指计数、石子计数、结绳计数、刻痕计数等。周易：“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。”,1、数学起源,手指计数（伊朗，1966）,结绳计数（秘鲁，1972）,1、数学起源,1、数学起源,文字5000年(伊拉克,2001),1、数学起源,西安半坡遗址出土的陶器残片,荷马史诗奥德赛当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一

2、颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。,数学的发源地,非洲的尼罗河西亚的底格里斯河和幼发拉底河中南亚的印度河和恒河东亚的黄河和长江“河谷文明”,2、河谷文明与早期数学,古代埃及古巴比伦古代中国,这些地区的先民由于从事农业生产的需要，从控制洪水和灌溉，测量田地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生产的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期实践活动中积累了丰富的经验，并逐渐形成了相应的技术知识和有关的数学知识。,古代埃及的数学,埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左

3、右开始出现初步统一的国家。1、古王国时期：前2686前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。2、新王国时期：前1567前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。,古代埃及简况,古代埃及的数学,吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）,古代埃及的数学,莱茵德纸草书莫斯科纸草书,埃及纸草书（民主德国,1981）,古代埃及的数学,1古埃及的数学,两卷古埃及数学资料公元前17

4、00年左右莫斯科纸草25个数学问题1893年莫斯科美术博物馆莱茵德纸草85个数学问题1858年英国博物馆阿姆士公元前3000年阿默士纸草“万物的详尽研究，洞察一切存在及所有晦涩奥秘的知识”。,2古埃及的记数制与算术,2古埃及的记数制与算术,根据史料记载，埃及象形文字似乎只限于表示107以前的数。由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数。但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简单,乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加。例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着1212的计算方

5、法，是从右往左读的。我们以现代数字来表示，这就是倍增法。112224/448/896合计144由上表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么1212为12的4倍加上12的8倍恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(上表以现代阿拉伯数字为例，因此在左侧标出)标记斜线，算得结果144。,除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中。例如，计算112080180/108002160/4320合计1120以上求解的基本思路是10倍的80加上4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80。,分数的记法和计算,体积的测量有其自己的符号体系：由象征何露斯的眼睛的象形文字的部分组成

6、。何露斯是鹰神，他的眼睛半人半鹰。,象征他的眼睛的象形文字的每一个元素分别表示1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64，将它们组合起来可以表示分母为64的任何分数。,2古埃及的记数制与算术,何露斯的眼睛本身还带有神秘色彩(太阳和月亮）伊希斯和欧西里斯何露斯为埃及国王以及法老的守护神何露斯的眼睛成为了健康、洞察力和富饶的象征掌管学习和魔法的月神透特“透特将剩下的1/64给予所有进行了探索并接受了他的保护的书记们,他是一位猎鹰形态的造物神。他的眼睛是太阳和月亮。当新月出现时，他就成了一个瞎子，意思是“没有眼睛的人”，而当他的视力恢复时是“有眼睛的人”。眼盲时的荷鲁斯时非常危险的，他有时

7、会将朋友误认为敌人并发起攻击。他是奥西里斯与伊西斯的儿子，是莱托波里斯的守护神。,3古埃及的代数,“计算若干”的问题方程问题试位法公元前1950年：将给定的100单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为4：3。x2+y2=100。莱因德纸草（等差数列问题）：今将10斗麦子分给10个人，每人依次递降1/8斗，问各得多少？,3古埃及的代数,希克索斯纸草等比数列一位妇人的家里有7间储藏室，每间储藏室里有7只猫，每只猫捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7棵麦穗，每棵麦穗可以长出7升麦粒。这个问题的作者是用逐项相加这一简单方法得到解答的。没有证据说明作者使用了求和公式，抑或确实是用到几何级数的什么性质。,4

8、古埃及的几何学,埃及几何学是尼罗河的赠礼。尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界，需要有高度发达的土地测量技术。“大王（法老拉美西斯二世，约公元前1300年）把土地分成大小相同的小正方形，然后分给每一个埃及人，同时，指定年税的支付并以此作为国家收入的来源。如果一个人的土地被河水冲走，他可以找大王申报所发生的事情，然后大王会派人去调查并测量减少的土地数量。这样以后就按剩下土地的比例缴税。,阿蒙神庙,卡尔纳克神庙,4古埃及的几何学,和上古时代的许多民族一样，埃及人似乎也已熟悉这样的事实：如果三角形三边的边长与3，4，5三个数成正比，则此三角形是直角三角形。但没有可靠的证据说明他们在建筑活动中曾用过这个事

9、实。关于圆面积的计算，埃及人认为它等于一个边长为此圆直径的8/9的正方形面积，这个结果导致圆周长与其直径之比是。,新加坡数学教科书NewMathematicsCounts“勾股定理”这一章的一幅插图,4古埃及的几何学,一些纸草表明，埃及人在几何方面也能解决某些有实用价值的问题。他们提出了计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其他建筑材料多寡等的法则。等腰梯形面积三角形的面积任意四边形面积的公式棱锥、圆锥、圆柱及半球的体积方棱锥平头截体体积的计算。,4古埃及的几何学,埃及人在体积计算中达到了很高的水平。莫斯科纸草：“你这样说，一个正四棱台6腕尺高，顶面每边4腕尺，底面每边2腕尺。你这样做：

10、将4自乘，得16。再将4乘以2，得8，它就是底边乘以顶边。再将2自乘，得4。将16加8再加4，得28。再取6的1/3得2。再取28的两倍，得56。看，这个56正好就是你要求的体积。”这个惊人的结果表明，埃及人早在公元前1850年就已熟悉确定正四棱台体积的方法了。“最伟大的埃及金字塔”,4古埃及的几何学,埃及人究竟懂不懂证明，或着懂不懂他们的算法和公式需要与根据？有一种说法认为莱茵德纸草是按教科书格式写给当时学生学习用的，因此虽然它在解一些类型的方程时没有叙述一般法则，但很可能作者是懂得这些规则的，但想让学生自己去体会出这些法则，或者想让教师教给他们。不过可以肯定的是，纸草中所载的问题是当时的商

11、业人员和行政管理人员应该解决的那类问题，而求解的方法则是从工作经验中得出的实用法则。,古代巴比伦的数学,两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字“楔形文字”。古巴比伦王国：前1894前729年。汉穆拉比（在位前1792前1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的汉穆拉比法典。亚述帝国：前8世纪前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。新巴比伦王国：前612前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成巴比伦“空中花园”。公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭

12、亡了新巴比伦王国。,古代巴比伦简况,古代巴比伦的数学,古代巴比伦的数学,泥版楔形文普林顿322,1古巴比伦的记数制,59记作古巴比伦人的记数系统是60进制,1古巴比伦的记数制,古巴比伦人的这种记数法并不完善。他们用留空位的办法代表零。古巴比伦人也使用分数，他们总是用60作为分母。古巴比伦人的分数系统是不成熟的。要弄清巴比伦数字的真正数值还必须联系上下文，依靠智力进行推定,2古巴比伦的算术,与古埃及人相仿，古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的。大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表，甚至还有指数表。为了便于计算，他们大约在公元前2000年以前已经编制了从11到6060的乘法

13、表，并用来进行乘法运算了。倒数表用于把除法转化为乘法进行，经常要使用分数。,3古巴比伦的代数,在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。可能由于许多代数问题都与几何有关，因此他们常常用“长”，“宽”，“面积”来代表未知数和它们的乘积等。,3古巴比伦的代数,给定矩形的面积和周长，试求边长？求一个数，使它的倒数之和等于固定的数？求解一些高次方程,4古巴比伦的几何,在古巴比伦人的心目中，几何是不重要的，因为实际中的几何问题都很容易转化为代数问题。古巴比伦人的几何知识，与他们在代数学上所取得的成就来比，相对地要逊色得多。巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质，一些比较复杂的问题虽

14、然以几何术语来表达，但实质上还是一些特殊的代数问题。,4古巴比伦的几何,他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公式给出的。例如古巴比伦人在公元前2000年到公元前1600年，就已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算。他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱柱体体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积。,4古巴比伦的几何,在泥板中有足够的证据表明，古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领。但他们错误地认为，圆台和棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积。这一事实表明，古巴比伦的计算方

15、法还是经验型的，这些结果都没有经过证明。,勾股定理的广泛使用。有一块泥板上有这样一个问题：倚墙而立的木杆长30尺，若上端下滑6尺，问其下端将移离墙多远？,5古巴比伦的天文学,在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法。他们的年历是从春分开始的，一年有12个月，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月。圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦。,5古巴比伦的天文学,一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天。所谓“星期”也就是指星的日期。我们现在的“星期制”就是

16、在古巴比伦时代所创立的，这种表示方法在今天的英语单词中还能找到一些痕迹。,小结,古巴比伦和古埃及数学的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进位记数法为基础的算术与代数较为领先。而古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出。这些表明，数学从她的萌芽之日起，就是以实际需要为基础的，离开了实际需要，数学研究就缺少了直接动力，数学也就不能迅速发展了。,6小结,需要指出的是，在古巴比伦或古埃及的数学中，虽然出现了一些令人信服的数学和重要的公式，但他们的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察，更谈不上掌握了。而真正科学意义下的理性数学，是由希腊人为我们提供的。,黄河壶口瀑布（中国，2002）,西汉以前的中国数学,大禹治水(