全国高中数学联赛模拟试题第一试试题

1、全国高中数学联赛模拟试题第一试试题一、选择题1、对任意一组非负实数a1,a2,an，规定a1=an+1，若有恒成立，则实数的最大值为_.A0 B. C1 D2、已知A，B，C为ABC的三个内角，记y=sin3A+sin3B+sin3C，则y的取值范围是_。A0，2 B C-2，2 D3、若p,qN+且p+q2007, 0p0, y0，且02，数列an定义如下：a0=1, a1=a, an+1=，证明：对任何kN，有。15、设抛物线S的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点F作一条弦AB，设AO，BO延长线分别交准线于C，D，若四边形ABCD的面积的最小值为8，试求此抛物线的方程。以下是答案一、选择题

2、1、C 因为，所以又当a1=a2=an时，“=”成立，所以最大为1。2、B 当A=B，C0时，y-2，设ABC，则C，所以sin3C0,所以y-2；又当A=B=时，且y=sin3A+sin3B+sin3C3、C 记2007=n，往证当n=2时，显然成立。设当n=k时成立，当n=k+1时，取所有满足p+q=k, (p,q)=1的的和记为S，所有形如(pb0), P(r1cos,r1sin),Q, 即Q(-r2sin,r2cos)，因为P，Q在椭圆上，所以。设O到PQ距离为d.则，解得5、D 当x10时，logmx-2即lgxlgm2或lgxlgm-2(m0且m1)，解得 1m或6、D 问题等价于

3、求方程x1+x2+x3+x4+x5=20满足ij,xixj的正整数解组数，先考虑方程y1+y2+y3+y4+y5=5满足0y1y2y3y4y5的非负整数解，设满足y1+y2+yk=n满足0y1y2yk的非负整数解组数为f(k,n).则f(5,5)=1+f(4,5) =1+1+f(3,5)=2+f(2,2)+f(2,5)=7.所以所求方程正整数解有75！组。故选D。二、填空题7、 由|2z3-(z1+z2)|z1-z2|得2|z3|-|z1+z2|z1-z2|和|z1+z2|-2|z3|z1-z2|，所以(|z1+z2|-|z1-z2|)|z3|(|z1+z2|+|z1-z2|).又|z1+z2

4、|-|z1-z2|=当且仅当z1,z2辐角相差时，|z3|取最大值又|z3|0，当且仅当z2,z1辐角相差时，z3可以为0，所以|z3|min=0.8、。由ab=(,-1)=0得ab，又cd，则a+(tan2-3)b-ka+(tan)b=0,即ka2=(tan3-3tan)b2，所以k|a|2=(tan3-3tan)|b|2,由题设|a|=2,|b|=1。从而。9、 设抛物线方程为，点C(x1,y1)把AM参数方程代入y2=2px得t2sin2+2(y1sin-pcos)t+-2px1=0，所以，又，所以，同理，所以10、0 假设存在这样的函数f(x)，则由条件知它为单射，且f(f(0)=0=

5、f(f(1)+1)，所以f(0)=f(1)+1. 又f(f(1)=1=f(f(0)+1)，所以f(1)=f(0)+1，与矛盾。11、由an+1=(n-1)(an+an-1)得an+1-nan=-an-(n-1)an-1，所以an+1-nan是首项为a2-a1=1，公比为(-1)的等比数列，所以an+1-nan=(-1)n-1，所以 在中用2，3，n-1代替n并相加得+(-1)n-2所以。12、900 延长AD，BC交于E，连结PE，则DE=DA，PA=PE=AE=2，所以PEPA，又PDAB，ABAD，所以AB平面PAE，所以PEAB，所以PE平面PAB。所以APBC为直二面角。三、解答题13

6、、证明 （1）若0x1，则0xyycosy，又cosx1，所以1+cosxycosx+cosy；（2）若0cosxcosy；（3）若x1,y1，则xy,记，则0t2,所以xyt2，所以cosxycost2,又cosx+cosy=2cos所以只需证1+cost22cost，即证f(t)=1+cost2-2cost0.这里，则,因为0tt2sint,所以所以f(t)在上单调递减，又而（因为），所以所以，所以f(t)0。所以原不等式成立。14、证明 记f(x)=x2-2，则f(x)在0,+）上是增函数，又，所以=a2-aa，所以，依此类推有，再用数学归纳法证明原命题。（1）当k=0,1时，不等式显然成立。（2）设当k=m时，原不等式成立。当k=m+1时，因为其中f(0)(a)a，所以0)，设，。因为A，O，C三点共线，所以，所以 同理，由B，O，D共线有，又因为A，F，B共线，所以y1y2=-p2,所以，所以点C坐标为，D坐标为。所以AD/BC/x轴，所以ABCD为直角梯形。由抛物