工程数学第4讲课件

1、1,工程数学 第4讲,2,柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:,C,B,3,定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B. 如果曲线C是B的边界, 函数f(z)在B内与C上解析, 即在闭区域B+C上解析, 甚至f(z)在B内解析, 在闭区域B+C上连续, 则f(z)在边界上的积分仍然有,4,假设f(z)=u+iv 在单连通域B内处处解析,所以 u和 v以及他们的偏导数在B内都连续, 并满足C-R条件,5,6,3 基本定理的推广,复合闭路定理,7,可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数f

2、(z)在多连通域D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 当C的内部不完全含于D时, 沿C的积分就不一定为零. 假设C及C1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C1在C内部, 而且以C及C1为边界的区域D1全含于D. 作两条不相交的弧线AA及BB,其中A,B在C上, AB在C1上这样构成两条全在D内的简单闭曲线AEBBEAAE及AAFBBFA.,8,D1,9,将上面两等式相加, 得,10,(3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则,(3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变

3、形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为 闭路变形原理,11,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点,12,定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则,G为由C及Ck(k=1,2,.,n)所组成的复合闭路(C按逆时针, Ck按顺时针,13,D,C,C1,C2,C3,14,例如 从本章1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时,15,解 函数 在复平面内除z=0和z=1两

4、个奇点外是处处解析的. 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1只包含奇点z=0, C2只包含奇点z=1.,例 计算 的值, G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.,16,则根据复合闭路定理的i), 可得,x,y,O,1,G,C1,C2,17,18,19,Ex P99 1. 7. 2) 9. 1),20,4 原函数与不定积分,21,定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关.,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,2

5、2,由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,23,固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分,在B内确定了一个单值函数,对这个函数我们有 定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且 F (z)=f(z).,24,证 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得,z+Dz,z,K,z,z0,25,26,则任给e0, 存在d0, 当|z-z|d即|Dz|0, 当|z-z0|d时, |f(z)-f(z0)|e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且R0使得当 |z-z0|d时, 有|f(z)-f(z0)|e, 则,58,由(3.6.1)有,59,60,作业第一章第29题 设函数f(z)在z0连续且f(z0)0, 那末可找到z0的小邻域, 在这邻域内f(z0)0.,z0,f(z0),61,作业 第三章习题,第99页 第7题第1),3),5)7),9)