一类曲面积分PPT课件

1、.,1,第十章,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类曲面积分,二、第一类曲面积分的概念与性质,一、问题的提出,三、第一类曲面积分的计算,.,2,例：设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,“分割，近似, 求和, 取极限”,的方法,求质量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、问题的提出,.,3,二、第一类曲面积分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,则对面积的曲面积分存在.,在光滑曲面 上连续,对面

2、积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,.,5, 线性性质.,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 对积分域的可加性.,则有,若 是分片光滑的,例如分成,两片光滑曲面,.,6,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 中值定理., 保号性.,.,7,关于曲面的轮换对称性：,曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线 x = y = z 对称。,如果曲面 有轮换对称性，它的方程 F (x ,y ,z)=0 有如下特征：将 F (x ,y ,z) 中的变量 x ,y ,z 的位置任 意互换，不会改变 F 的表达式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 对称性.,.,8,机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束,1、如果 曲面 有轮换对称性，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值 不会改变。即,2、如果曲面 关于平面 y= x 对称，则,曲面 关于平面 y= z 或 z=x 对称有类似的性质 。,.,9,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,三、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,10,(光滑),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,11,则,按照曲面的不同情况分为以下四种情形：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,.,12,机动 目录 上页

4、 下页 返回 结束,.,13,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：,由对称性，易知,.,14,（前后两片投影相同）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,奇函数,单位圆的面积,.,15,例2：,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,16,例3：,设,计算,解: 锥面,与上半球面,的交线为,为上半球面夹于锥面间的部分，,则它在 xoy,面上的投影域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,.,17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 若此例中被积函数改为,计算结果如何 ?,.,18,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,球面的参数方程为：,.,19,四、物理应用,机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束,称为形心,.,20,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,.,21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,22,例5：计算,其中 是球面,由轮换对称性：,解: 显然球心为,半径为,利用质心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,23,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱面的参数方程为：,.,24,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,25,例7：,设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度,h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球

6、半径 R = 6400 km ),解：,建立坐标系如图,覆盖曲面 的,半顶角为 ,利用球面参数方程，则,卫星覆盖面积为,.,26,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知, 卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明: 此题也可用二重积分求 A (见下册P188 例1) .,.,27,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、,对称性、质心公式等简化计算。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,28,习题9-4(P27

7、6) 3，5，6， 9，10，11,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,.,29,备用题1. 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分 ,的面密度,的质量 M .,解: 在 xoy 面上的投影为,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,30,2. 设 是四面体,的表面, 计算,解: 在四面体的四个面上,同上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,31,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,32,3、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,33,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,依对称性知,.,34,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,35,5、 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若用直角坐标将曲面分为前后,解1: 利用参数方程计算,(或左右)两片,则计算较繁.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,柱面的参数方程为：,.,36,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,37,5、 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,则,解2: 微元法，取曲面面积元素,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,38,6、计算,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,.,39,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h,截出的上下两部分,则,机动 目录 上页 下页