高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件3 新人教A版必修4.ppt

1、第一章 三 角 函 数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1,1.角的概念的推广和分类 (1)角的概念 平面内一条射线绕着端点从一个位置_到另一个位置所成的图形.,旋转,(2)构成角的要素如下 (3)角的分类 正角：按_方向旋转形成的角； 负角：按_方向旋转形成的角； 零角：如果一条射线_作任何旋转，则称它形成了一个零角.,逆时针,顺时针,没有,2.象限角和终边相同的角 (1)象限角 前提：角的顶点与_重合，角的始边与_ 重合. 结论：角的终边在第几象限，就说这个角是_.,原点,x轴的非负半轴,第几象限角,(2)终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内,可构成一个集合： S=_. 即：任一

2、与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周 角的和.如图所示：,|=+k360,kZ,1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点. ( ) (2)相等的角终边一定相同，同样终边相同的角也一定相等. ( ) (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的. ( ),【解析】(1)错误.研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点，且角的始边与x轴的非负半轴重合. (2)错误.相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，如390角的终边与30角的终边相同，但这两个角不相等. (3)错误.不唯一，如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示

3、为=k36090,kZ，也可表示为|=270+k360，kZ. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)将0角的终边顺时针旋转45后所得角是第_象限角. (2)将0角的终边顺时针旋转45后再逆时针旋转65后所得角是_角. (3)与-19角终边相同的角的集合可表示为_.,【解析】(1)将0角的终边顺时针旋转45后所得角是-45角，为第四象限角. 答案：四 (2)将0角的终边顺时针旋转45后再逆时针旋转65后所得角为-45+65=20角. 答案：20 (3)与-19角终边相同的角的集合可表示为|=-19+ k360，kZ. 答案：|=-19+k360，kZ,【要

4、点探究】 知识点1 角的概念的推广和分类 对任意角概念的四点说明 (1)角的三个要素：顶点、始边、终边角可以是任意大小的 (2)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广至任意角，包括任意大小的正角、负角以及零角,(3)对角概念的理解关键是抓住“旋转”二字： 要明确旋转方向； 要明确旋转的大小； 要明确射线未作任何旋转时的位置 (4)角的范围不能局限于0360，而应扩充为任意角,【知识拓展】轴线角(象限界角) 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，此时称其为轴线角或象限界角.,【微思考】 如果一个角的终边和始边重合，那么这个角

5、一定是零角吗？ 提示：不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角的终边作了旋转，则这个角不是零角,【即时练】 1.下列各角：60，126，63，0，99，其中是正角的个数是( ) A.1 B.2 C3 D4 【解析】选B.结合正角、负角和零角的概念可知，126，99是正角，60，63是负角，0是零角，故选B.,2.30角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是_. 【解析】由题意知，所得角为30-2(360)=-690. 答案：-690,知识点2 象限角与终边相同的角 1.各象限角的表示： 第一象限：S=|k36090k360，kZ； 第二象限：S=|90k360

6、180+k360，kZ； 第三象限：S=|180k360270+k360，kZ； 第四象限：S=|270k360360+k360，kZ.,2.对终边相同的角的说明 所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以用式子k360，kZ表示在运用时，需注意以下几点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉. (2)是任意角.,(3)k360与之间用“”号连接，如k36030应看成k360(30)(kZ). (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍,3.终边在坐标轴上的角的表示 (1)终边落在x轴非负半轴上的角的集合为x|x=k360, k

7、Z. (2)终边落在x轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180, kZ. 故角的终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ. (3)终边落在y轴非负半轴上的角的集合为x|x=k360+ 90,kZ.,(4)终边落在y轴非正半轴上的角的集合为x|x=k360 +270,kZ. 故终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ. 由(1)(2)(3)(4)可知终边落在坐标轴上的角的集合为 x|x=k90,kZ.,【微思考】 (1)第二象限角一定比第一象限角大吗？ 提示：不一定.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小. (2)终边相同的角的表达形式唯一吗？ 提示：一般

8、地，终边相同的角的表达形式不唯一，可利用图形来验证，如90k180(kZ)与90k180(kZ)都表示终边在y轴上的角,【即时练】 1.(2014福州高一检测)与角-70终边相同的角是( ) A.70 B.110 C.250 D.290 【解析】选D.与角-70终边相同的角可表示为=k360-70,kZ,当k=1时，=290,故选D.,2.(2014抚顺高一检测)-1 120角所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为-1 120=-3360-40,而-40为第四象限角，所以-1 120是第四象限角，故选D.,【题型示范】 类型一 任意角的概

9、念问题 【典例1】 (1)(2014莆田高一检测)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下面关系正确的是( ) A.ABC B.AC C.ACB DBCC,(2)有下列说法： 相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同； |是锐角|090； 小于180的角是钝角、直角或锐角 其中正确说法的序号是_,【解题探究】1.题(1)中的第一象限角、锐角、小于90的角这三种角的主要区别是什么？ 2.题(2)中相差360整数倍的两个角的终边有什么关系？ 【探究提示】1.这三种角的取值范围不一样. 2.相差360整数倍的两个角的终边重合.,【自主解答】(1)选D.第一象限角可表示为k360 k360

10、90，kZ；锐角可表示为090，小于90 的角可表示为90，由三者之间的关系可知，选D. (2)不正确，终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反 之也成立；因为是锐角，即090，故|0 90|090，故正确；0角小于180， 但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确 答案：,【方法技巧】判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念 (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可,【变式训练】(2014淮北高一检测)下列说法正确的是( ) A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角 C.第一象限角一定不是负角 D.小于

11、90的角都是锐角,【解析】选B.终边相同的角可以相等，也可以差360的整数倍，故A错误；钝角即大于90且小于180的角，一定是第二象限角，故B正确；而第一象限角可以是负角，也可以是正角，故C错误；负角是小于90的角，但不是锐角，故D错误.,【补偿训练】下列说法中正确的是( ) A.三角形的内角必是第一、二象限角 B第二象限角必是钝角 C.不相等的角终边一定不相同 D.若=+k360(kZ)，则和终边相同 【解题指南】根据角的概念判断,【解析】选D.90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；-210的角是第二象限角，但它不是钝角；390角和30角不相等，但终边相同，故A，B，C均不正确

12、.对于D，由终边相同的角的概念可知正确.,类型二 象限角与终边相同的角的表示及应用 【典例2】 (1)若角为第四象限角，则90是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C第三象限角 D.第四象限角 (2)已知角是锐角，则2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180的正角 D.第一或第二象限角,(3)已知315. 把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角； 求，使与终边相同，且1 080360.,【解题探究】1.题(1)中角为第四象限角，应如何表示? 2.题(2)中是锐角，则角如何用不等式表示? 3.题(3)中为什么把一个角转化到0360之间就可以判定是第几象

13、限的角？,【探究提示】1.角是第四象限角，可表示为k360270k360360(kZ). 2.锐角可表示为090. 3.因为在0360之间的角与坐标中的射线是一一对应的.,【自主解答】(1)选A.方法一：因为角为第四象限角，所以k360270k360360，kZ,所以k36036090k360450，kZ.可知90+在第一象限 方法二：(特值法)由角为第四象限角，可取300，故90390，可知其在第一象限,(2)选C.因为是锐角，所以090,所以02180,故选C. (3)因为31536045. 又045360, 所以把写成k360(kZ,0360)的形式为 36045(45) 它是第一象限角

14、,与315终边相同的角为k36045(kZ)， 所以当k3，2时，1 035，675满足 1 080360. 即得所求角为1 035和675.,【延伸探究】在题(3)中，若2 010，其他不变，则结果又如何呢？ 【解析】因为2 0106360150, 0150360， 所以把2 010写成k360(kZ,0360)的形式为6360150(=150)，它是第二象限角,与2 010终边相同的角为k360150(kZ)， 所以当k3，2时，930，570满足 1 080360，即得所求角为930和570.,【方法技巧】 1.象限角的两种判定方法 一是根据角的范围，在直角坐标系内讨论. 二是结合条件及

15、选项取特殊值验证,2.,2, 等角的终边位置的确定方法 (1)不等式法 一般首先利用象限角的概念或已知条件， 写出角的范围，然后利用不等式的性 质，求出2， 等角的范围，最后利 用“旋转”的观点，确定角终边的位置. 例如，如果得到k120 k120+30，kZ，可画 出0 30所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺 时针转动120(如图所示).,(2)几何法(或等分象限法) 若已知所在的象限，确定 所在的 象限，可先将各个象限n等分，从第一 象限离x轴最近的区域开始逆时针方向 依次循环标注号1,2,3,4,直到将所有区 域标完为止.如果在第几象限，则 在图中标号为几的区域内. 例如,已知为第四

16、象限角，则 终边所在的位置为下图标4的区域内.,【变式训练】在0到360之间找出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是第几象限角 (1)640.(2)2345.,【解析】(1)因为640280360， 所以在0到360之间与640角终边相同的角是280角 又因为280是第四象限角， 所以640是第四象限角 (2)234512555360, 所以与2345角终边相同的角是12555. 所以-2345是第二象限角,【补偿训练】设角与的终边互相垂直，且是第二象限角，则是( ) A第一象限角 B.第三象限角 C第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】选C.的终边在第二象限时，的终边有两个位置，即第一或第三象限故选C.,【易错误区】对象限角判断时因考虑不全而致误 【典例】若是第三象限的角，则 是( ) A.第一象限的角 B.第三象限的角 C.第四象限的角 D.第一象限或第三象限或第四象限的角,【解析】选D.因为是第三象限的角， 所以k360180k360270(kZ)， 则k12060 k12090(kZ)， 取k0，得到 在第一象限； 取k1，得到 在第