小学数学奥数讲义40讲(四)

1、第31届分解质因数法把一个全等数分解为两个以上的素因数，从而解决问题的解法称为素因数分解法。分解素因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时很有用，在学习有理数的运算、素因数分解、解方程式等方面也得到广泛应用。 分解素因子的方法，也可以为几个数学问题提供新的解法，有助于开拓问题解决的想法，启发创造性思维。例1长方体的木头块，体积为1331立方厘米。 这个立方体木头块的长度是多少厘米(适合六年级左右)解：分解1331的质因数1331=111111a :这个立方体木块的长度是11厘米。例子21的数的平方是324，求这个数。 (适合六年级左右)解：将324分解质因数324=223333=(233)(23

2、3 )=1818a :这个数字是18。 例3邻接的两个自然数的最小公倍数为462，求这两个数。 (适合六年级左右)解：将462分解质因数462=23711=(37)(211 )=2122a :这两个数是21和22。*例4 ABCD=1673，在此乘法公式中，a、b、c、d表示不同的数字，ABC为三位。 ABC代表什么？(适合六年级左右)解：因为ABCD=1673，ABC为三位，所以可以将1673分解为质因数，使质因数乘以一个三位和另一个数。 这个三位是ABC表示的数。1673=2397a:PS代表239。例5正方形田地，面积2304平方米，这块田地的周长是多少米(适合六年级左右)解：首先，对2

3、304进行质因数分解，把分解得到的质因数分成相同乘积的两组质因数，各组质因数的乘积为正方形边的长度。2304=222222222222=(22223)(22223 )=4848正方形边长48米。这块地的周长是484=192米回答缩写。*例6有3250个橘子，平均分成幼儿园儿童，其馀10人。 已知给一个孩子的橘子数量约为40个。 这个幼儿园有多少孩子(适合六年级左右)解： 3250-10=3240 (个)3240分解因数：3240=23345接近四十的数字是三十六、三十七、三十八和三十九由于这些数字中的36=2232，所以只有36是3240的约数。23345(2232 )=2325=90a :这

4、个幼儿园有90个孩子。*例7 105的约数是多少(适合六年级左右)解：要求给定自然数的约数个数，先把这个数分解为素因数，再把一个素数，两个素数，三个素数的积从小的一个写大，再求其个数。因为105=357因此，包含一个素数的约数是1、3、5、7，共计4个包含两个素数的乘积的约数是35、37、57，共计三个包含三个素数的乘积的约数是357的总和之一。因此，105的约数是4 3 1=8个。回答缩写。*例8将15、22、30、35、39、44、52、77、91这9个个数平均地分成3个组，使各组的3个个数的乘积相等。 这三组的数量分别是多少(适合六年级左右)解：把这九个个数分别分解质因数十五=三十五22

5、=21130=23535=5739=31344=221152=221377=71191=713观察以上九个质因数，九个质因数一共有六个二、三个三、三个五、三个七、三个十一、三个十三、三个十三，这样各组的三个质因数有二个二、一个三、一个五、一个七、一个十一、一个十一和一个十三从以上的观察分析得到的这三个组的数量分别如下十五、五十二、七十七；二十二、三十、九十一三十五、三十九、四十四。回答缩写。*例9有四个学生，他们的年龄正好大一岁，他们的年龄乘积是5040。 四个学生的年龄分别是几岁？(适合六年级左右)解： 5040分解素因数：5040=22223357四个学生的年龄比一个大一岁，所以他们的年龄

6、是四个连续的自然数。 8个质因数表示的4个连续自然数7，222，33，25也就是说，四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。回答缩写。*例10在方程式35()8127=718()162的括号中填写适当的最小数量。 (适合六年级左右)解：对已知方程式的两侧进行质因数分解，得到以下内容5377()=22367 ()把上面的方程式简单化的话，就是：十五()=四()因此，在左侧括号内加4，在右侧括号内加15。十五(四)=四(十五)回答缩写。*例1184名学生分为同一人数的组(每组至少2人)，有多少分类法？ (适合六年级左右)解： 84分解素因数：84=2237除了1和84，84的约数如下2，3，

7、7，22=4，23=6，27=14，37=21，223=12，227=28，237=42。 以下，可以以不同的除数来分组。 842=42 (群组)、843=28 (群组)、844=21 (群组)、846=14 (群组)、847=12 (群组)、8412=7(群组)、8414=6(群组)、8421=4(群组)、8428=3因此， 每组两人分成42组。每组三人分成28组每组四人分成21组每组六人分成14组每组七人分成12组每组12人分成7组特别是14人被分成6组每个组21人被分成4组每个组28人被分成3组每个组42人被分成2组。 一共有十种划分方法。回答缩写。*例12将14、30、33、75、14

8、3、169、4445、4953这8个个数按每组分成4个个数，使组的数量中4个个数的乘积相等。 求这两组数。 (适合六年级左右)解：为了使两组数量的乘积相等，这两组乘积中的每一个的系数不必相同，但是这些系数一定包含分解的质因数。 因此，首先必须考虑8个分解质因数。14=27 143=111330=235 169=131333=311 4445=5712775=355 4953=313127在以上的质因数中，质因数2、7、11、127分别为2个，质因数3、5、13分别为4个。如果把问题中的八个个数分成两组，每个组必须有一个质因数2、7、11、127，两个质因数3、5、13。根据这个要求，每个组4个

9、数的乘积应该如下271112733551313由于(27 ) (355 ) (1113 ) (313127 )=147519353，下面的“14、75、143、4953”符合问题，所以要求的组的数量为14、75、143、4953，另一组的四个数量为30、33回答缩写。*例13长方形的面积为315平方厘米，长度比宽度多6厘米。 求这个长方形的长度和宽度。 (适合五年级左右)解：设长方形的宽度为x厘米，长度为(x 6 )厘米。 根据问题的语义列方程式，可以得到以下内容x(x 6)=315x(x 6)=3357=(35)(37 )x(x 6)=1521x(x 6)=15(15 6六)x=15x 6=

10、21a :这个长方形长21厘米，宽15厘米。*例14中，已知3个连续自然数的积为210，这3个自然数是多少(适合5年级左右)解：设这3个连续自然数分别为x-1、x、x 1，根据标题列方程式，如下(x-1)x(x 1)=210=2110=3725=567如果比较方程式两侧的系数，则x=6、x-1=5、x 1=7。a :这三个连续自然数分别是5、6和7。*例15中，把37分成甲、乙、丙的数量，甲、乙、丙的数量的乘积为1440，而且甲、乙的数量的乘积比丙的数量的3倍多12，求甲、乙、丙的是什么(适合6年级左右)解：将1440分解质因数1440=121210=22322325=(222)(33)(22

11、5 )=8920甲、乙的数量分别为8、9，丙的数量为20，则如下89=72203 12=72满足问题的条件。甲、乙、丙的数量分别为8、9、20。*例16一个星期天早上，母亲对孩子们说：“你们之间，最大的哥哥的年龄等于两个弟弟的年龄之和吗？ “是的，我们的年龄和你的年龄的乘积是你儿子人数的立方乘以1000和你儿子人数的平方乘以10。” 从这次对话能决定母亲什么时候生下第二个儿子吗(适合六年级左右)解：从问题的意思可以看出，母亲有三个儿子。 母亲的年龄和三个儿子的年龄之积331000 3210=2709027090分解质因数：27090=4375322“大哥的年龄等于两个弟弟的年龄之和”，重新调整

12、了高质量的要素431495这个质量因数中14是9和5的和。母亲43岁，长子14岁，次子9岁，次子5岁。43-9=34 (岁)a :妈妈34岁生了第二个儿子。第三十二届最大公约数法计算和解几个数的最大公约数的方法称为最大公约数法。例1甲组有42个学生，乙组有48个学生，现在把这两组学生平均分成几个组，各组成为同一班的学生。 各组最多有多少学生(适合六年级左右)解：为了使各组为同一班的学生，尽可能增加各组的人数，求42和48的最大公约数23=642和48的最大公约数为6。a :各组最多有六名学生。有长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，将其分割成几个面积最大、井面积相等的正方形。 能分割成几个正方

13、形？ (适合六年级左右)解：由于分割的正方形面积最大，面积相等，所以正方形边的长度必须是150和60的最大公约数。求150和60的最大公约数235=30150和60的最大公约数为30，也就是正方形边的长度为30厘米。以上短除式中，150、60除以2，再除以3、5，最后的商为5和2。 这意味着，如果正方形的边长是30厘米，则长方形的长度150厘米包含5个30厘米，宽60厘米包含2个30厘米。这个长方形可以分割成正方形52=10 (个)a :可以分割成10个正方形。有长方体的方木，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。 把这个方材切成相同体积的小方材，每个小方材尽量放大。 小木块的角有多长？这

14、样的小木块能切几片？(适合六年级左右)解： 3.25米=325厘米、1.75米=175厘米、0.75米=75厘米的问题，实际上求325、175、75的最大公约数。55=25325、175、75的最大公约数为25，即小立方体的木头块的长度为25厘米。75、175、325除以5的商15、35、65、15、35、65除以5的商，最后的商是3、7、13，小立方体木块的长度是25厘米，所以75厘米是3个25厘米，175厘米是7个25厘米，325厘米可以切成角长25厘米的小木头块3713=273 (模块)a :小立方体的木头块长25厘米，可以切成这样大的立方体273片。例4有三根绳子，第一根长45米，第二

15、根长60米，第三根长75米。 现在，把三根长绳子切成相同长度的短部分。 各段的最长是几米？一共能切成几段？(适合六年级左右)解：这个问题实际上是求三根绳子长度的最大公约数。35=1545、60、75的最大公约数为15，每根短绳子最长为15米。短除式的最后一个商是三、四、五，把绳子切成十五米左右的长，45米长的绳子可以切成三段，60米长的绳子可以切成四段，75米长的绳子可以切成五段。 所以：3 4 5=12 (段)a :每段最长15米，一共可以切成12段。有的学校男生234人，女生146人，把男生和女生分成同一人数的组后，男生和女生各留下3人。 为了使组数最小化，每个组需要多少人？ 可以分成多少

16、个小组(适合六年级左右)。解：男、女各留3人，所以各组的男、女人数分别如下234-3=231 (人)男146-3=143 (人)女人要使组数最小，每个组的人数必须最多。 也就是说，每组人数必须是231人和143人的最大公约数。231、143的最大公约数为11，即各组为11人。231、143除以11，商为21和13，所以男性分为21组，女性分为13组。21 13=34 (组)a :各组11人，可以分成34组。把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别放在小箱子里，使每个箱子里的玻璃球的数量相同，放得最多。 一共装几个小箱子(适合六年级左右)解：一共能装几个箱子，需要知道红、绿各装几个箱子。 把红色

17、和绿色分别放在箱子里，每个箱子的球数相同，放得最多的话，每个箱子的球数必定是330和360的最大公约数。235=30330和360的最大公约数为30。 也就是说，每个箱子有30个球。33030=11 (箱)装着11个红球36030=12 (箱)绿球12箱11十二=二十三(箱)一共二十三箱回答缩写。例71个数除以40小于2，除以68小于2。 这个数量最大是多少(适合六年级左右)解：“一个数除以40不到2，除以68不到2”是指40除以该数就不能整除，40加上2就能被该数除尽，68除以68上加2就能被该数整除。可被该数除尽的数为402=42，682=70。 该数为42与70的公约数，而且是最大公约数。27=14a :这个数量最大是14。昨天李明卖了三筐白菜，一筐