工程数学-第一章

1、第一章 行列式,1. 二元一次方程组与二阶行列式,一、二元一次方程组的求解公式,设关于 x1, x2 的二元一次方程组为,(1.1),其中a11, a12, a21, a22, b1, b2均为已知参数. 用中学的消元法解此方程组.,(1.2),将它代入第一个方程并化简, 得,(1.3),式(1.2)和(1.3)给出了两个变量两个方程的方程组(1.1)的求解公式(当 a11 a22 a12 a21 0时). 但公式(1.2)与(1.3)形式复杂难记.,二、二阶行列式的概念,其中横排称为行, 竖排称为列. 数 aij (i, j=1, 2)表示第 i 行第 j 列的元素.,副对角线,主对角线,在

2、方程组,中, 若令,其中D称为系数行列式, 则当系数行列式 D 0时, 上述方程组的解可简记为,(1.4),公式(1.4)与公式(1.2)及(1.3)表示的是同一式子, 但显然公式(1.4)简单易记得多.,公式(1.4)称为解两个方程两个未知量的二元一次方程组的克莱姆(Cramer)法则.,解：,=2+9=110,= 4,在1中我们利用二阶行列式已得到了二元一次方程组的求解公式. 但实际问题中, 往往要解多个变量的一次方程组(称为线性方程组), 其中最简单、最重要的是未知量的个数与方程的个数相同的线性方程组. 因此有必要引入高阶行列式的概念.,一、三阶行列式,其中 aij (i, j =1,

3、2, 3)表示第 i 行第 j 列上的元素.,2 n 阶行列式,三阶行列式的计算可如下图:,+,+,+,例1. 求三阶行列式,解：原式=32+4+012 (16) 0,=32+412 +16=40,以后我们将证明三元一次方程组,的解将与它的系数行列式,密切相关.,二、排列与逆序数,为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引 入排列和逆序数的概念.,n 级排列 (i1 i2in ) 的逆序数记为 (i1i2in), 简记为 . 例如, 四级排列 2314 中, 2与1, 3与1构成逆序, 故 (2314) = 2; 再如六级排列 243516 中, 2与1, 4与1, 3与1, 5与1,

4、4与3均构成逆序, 故 (243516) = 5.,奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列.,如四级列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列.,对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动, 则称对该排列作了一次对换.,每一次对换改变排列的奇偶性.,定理1,*证: 先考察相邻两个数字的对换. 设排列,( 表不动的数字) 经 j, k的对换, k j ,显然这时排列中除 j 与 k 两数顺序改变外, 其它任意两数的顺序并没有变, 而 j 与 k 之间, 若 j k , 则经对换后成自然顺序而使排列的逆序数减少1, 总之，排列的奇偶性改变了.,

5、j k ,变成排列,再看一般情形的对换. 设排列, j i1i2 im k ,经 j 与 k 对换变成排列, k i1i2 im j ,这可看作是通过一系列相邻对换得到的. 从排列 j i1i2 im k 出发把 k 与 im 对换, 再与 im1 对换, 一位位地向左移动, 经 m 次相邻对换就变成了排列 j k i1i2 im , 再把 j 一位一位地右移, 经 m+1次相邻对换就变成 k i1i2 im j , 总共经过 2m+1 (奇数)次对换. 排列的奇偶性也改变了.,由上述定理可知, 在 n 级排列中, 奇偶排列各占一半,三、n 阶行列式的定义,利用排列与逆序数的概念, 可以看出三

6、阶行列式,中共 3!=6 项, 其中一半带正号, 一半带负号.,(123)=0,(312)=2,(231)=2,(321)=3,(132)=1,(213)=1,其中是对所有三级排列( j1j2j3 )求和.,三阶行列式可记为,其中是对所有二级排列 (j1j2) 求和.,同样, 二阶行列式,仿此, 可得,其中是对所有 n 级排列 ( j1j2jn )求和, 而 aij仍称为第 i 行第 j 列的元素.,由定义3 可知, n 阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数和, 且共有 n!项, 其中一半带正号, 一半带负号.,例2. 在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41

7、a55 的前面应取什么符号?,解: 由于 (3 4 2 1 5) = 5, 列下标为奇排列, a13 a24 a32 a41a55 前应带负号。,例3: 计算下列 n 阶行列式,(称为(下)三角行列式),解: 由定义，D1中取自不同行不同列的n个元素的乘积，除了a11 a22 ann外，其余全为 0，而 a11 a22 ann 的 列下标的排列为(12 n), ( 1 2 n ) = 0,D1= (1)0 a11 a22 ann,故,作为例3的 特例，可知下面的n阶行列式(称为对角行列式),例4. 计算n 阶行列式,解：取 D2 中不在同一行不在同一 列的n 个元素的乘积, 除 a1n a2,

8、 n-1 an1 外, 其余全为 0, 而 a1n a2,n-1 an1 的列下标的排列为 (n, n1, 1),故,由例4立即可知,在 n 阶行列式的定义中，为了确定每一项的符号，把 n 个元素的行下标均按自然顺序排列。事实上，数的乘法是可交换的，因而这 n 个元素相乘时次序可以是任意的，,证：将,重排使其行下标成自然顺序,由乘法交换律知(2.4)与(2.5)是相等的.,(2.4),(2.5),由于 (2.5) 是由 (2.4) 经过一系列元素的对换得到的,而每作一次元素对换, 相应的行下标和列下标所成排列 i1 i2 in 和 j1 j2 jn 也同时作了一次对换, 由定理1知行下标和列下

9、标的排列的逆序数同时改变奇偶性, 因而行下标与列下标的排列的逆序数之 和不改变奇偶性.,从而,于是,由定理2还可知道, 若将列下标按自然顺序排列, 则有,n阶行列式的定义有三种形式：,小结,3 行列式的性质与行列式的展开,按定义计算行列式较麻烦, 因此有必要讨论行列式的性质以简化行列式的计算.,则 D = DT,即,如：,*证：令,则 bij = aji ( i, j = 1, 2 n), 由定义有,=D,由性质 1 知行列式中对行成立的命题对列也成立.,由上节例3及性质1还可知,上三角行列式,下三角行列式,三角行列式,性质2,互换n阶行列式的任意两行(列), 行列式仅改变符号.,即,*证:

10、设,其中 M 为D 经过互换第 p 行和第 q 行(1 p q n) 后得到, 则,ip, q 时, bij = aij ( j = 1, 2, , n);,i=p, q 时, bpj = aqj , bqj=apj( j = 1, 2, , n);,于是,若 n 阶行列式有两行(列)的对应元素相同, 则行列式为零.,这是因为行列式 D 的这两行互换后得 D = D, 从而 D = 0,如二阶行列式,而,两者异号.,推论1,把行列式的某行(列)的所有元素同乘以 k, 等于该行列式乘以数 k.,由性质3可知, 若行列式某行(列)有公因式则可提出来, 性质 3 的证明略.,性质3,即,结合性质2和

11、性质3, 有,若 n 阶行列式有两行(列)对应元素成比例,则该行列式为零.,若 n 阶行列式有某行(列)全为零, 则行列式为零.,推论2,推论3,性质4,若 n 阶行列式的某行(列)的各元素是两个数的和,则该行列式等于两个行列式的和.,即,如,= 10,而,即,性质5,把 n 阶行列式的某行(列)的各元素乘以数 k 后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.,即,性质5可由性质 4 及性质 3 的推论 2 得出.,如,两者相等,行列式有五条性质：,1. DT=D ;,2. 互换行列式的两行 (列)，行列式仅变号;,3. 行列式某行(列)的公因式可提出；,4. 行列式某行(列)的元素均为

12、两数之和，则原行列式等于另两行列式之和；,5. 行列式某行(列)的各元素乘以数 k 后加到另一行(列)对应元素上去，行列式的值不变；,小结,行列式还有三条推论：,1. 行列式 D 有两行(列)各元素对应相同，则D=0；,2. 行列式 D 有两行(列)各元素对应成比例，则D=0；,3. 行列式 D 有某行(列)各元素全为零，则D=0；,由上节例2可知三角行列式简单易求, 因此对任一行列式,可利用行列式的性质, 将其化为 一个与之相等的三角行列式, 从而简化行列式的计算.,例1.计算行列式,解：,例2. 计算 n 阶行列式,解：,例3.计算 n 阶行列式,解：,二、行列式按行(列)展开,计算行列式

13、时, 除将其化为三角行列式外,还可考虑将高阶行列式化为低阶行列式直至二阶行列式, 因为二阶行列式的计算极为简单, 为此引入余子式和代数余子式的概念.,在n阶行列式中,去掉 aij(i, j =1, 2, n)所在的行与所在列后剩下的 n1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记为 Mij . 余子式 Mij带上符号 (1)i+j 则称为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij, 即 Aij= (1)i+j Mij .,定义,元素 a11=1的余子式和代数余子式分别为,元素 a12= 2 的余子式和代数余子式分别为,而元素 a13=3 的余子式和代数余子式分别为,通过直接计算可知,而,两者相等

14、, 这个现象不是偶然的. 事实上, 有,(Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,D =,或,D =,定理1,即,*证: 先证明等式,(5.1),为此考虑特殊情形,(5.2),将上式左端表为,这就是 (5.2) 式.,(5.3),接下来将(5.1)式左端的行列式的第 i 行依次与其下面相邻的行对换, 经 ni 次对换后换到第 n 行, 然后再将第 j 列依次与其右边相邻的列对换, 经 nj 次对换后换到第 n 列, 这时 aij 换到右下角的位置, 由性质 2, 式 (5.1) 左端的行列式等于,由于经上述行列互换，除第 i 行与第 j 列

15、元素外，其它各行各列元素相对位置都没有改变，故上面行列式左上角的 n 1 阶行列式即为 aij 的余子式 Mij , 由 (5.2) 式得 (5.1) 式左端的行列式为,于是(5.1)式得证,下面证明定理, 先把 D 写成如下形式, 并利用行列式性质 5 及 (5.1) 式有,类似地按列证明便得,Laplace展开定理又称为行列式按行(列)展开的法则. 利用这一法则并结合行列式的性质, 可把高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算, 从而简化计算.,例4. 用Laplace展开定理解例1,例5. 计算 n 阶行列式,解: 将其直接按第一列展开, 得,例6.计算 n 阶行列式,解:,(i2),例7.

16、 证明范德蒙 (Vandermonde) 行列式,其中 n 2, 称为连乘号,这里表示所有可能的 xi xj (1 j i n)的乘积.,证: 用数学归纳法, 当 n = 2 时,结论正确.,假设对于 n1 阶范德蒙行列式结论正确,现在来证 n 阶的情形. 设法将 Dn 降阶, 为此, 从第 n 行开始,下面一行减去上面一行的 x1倍, 得,上式右端的行列式为 n1 阶范德蒙行列式, 于是由归纳假设有,例8. 求四阶行列式,解: 此为四阶范德蒙行列式, 于是,原式=,关于代数余子式, 还有下列定理,行列式的任一行(列)的所有元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之各等于零.,或,即,(

17、ij ),*证: 作行列式 ( i j),则其除第 j 行与行列式 D 的第 i 行相同外,其余各行均与 D 的对应元素相同. 由于第 i 行与第 j 行各元素对应相同, 故上行列式为零, 将其第 j 行展开可得,类似地, 有,例9. 设行列式为,解: 由定理 2 可知,4 克莱姆法则,有了 n 阶行列式 概念后，可以把解二元一次方程组的克莱姆法则加以推广。,(克莱姆法则) 设 n 个变量 n 个方程的线性方程组为,定理1,如果系数行列式,则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为,其中 Di ( i = 1, 2, , n)是用常数项 b1, b2, bn代替 D 中第 i列各元素而得到的 n 阶行列式, 即,i=(1, 2, , n ),*证: 用行