复旦王建军-工程数学-第9-2讲

1、卷积,1,卷积定义: 若, f1(t)和f2(t)是定义在0,+的函数, 则称积分,(6.4.2),为f1(t) 与 f2(t) 的卷积，记做 f1(t) * f2(t)。,卷积定理 设,则,证 设,2,3,那么,我们知道,由Laplac定义有,于是,4,看t- 平面,该二重积分是由满足0 t的点(t,)组成阴影区域上的积分。该二重积分是,t,t= ,从0到t,t再从0到,5,重排积分顺序，于是有,根据卷积定理求原函数的公式是,按(6.4.2)计算的卷积亦有 |f1(t) * f2(t)|f1(t)| * |f2(t)|, 它也满足交换律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1

2、(t) 同样, 它还满足结合律与对加法的分配律, 即 结合律： f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1 (t) * f2(t) * f3(t) 分配 律： f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t),6,不难推证, 若fk(t)(k=1,2,.,n)满足拉氏变换存在定理中的条件, 且 (k=1,2,.,n) 则有,7,例5 求t * sin t,8,9,10,11,12,13,14,拉氏变换解常系数微分方和 多项式为系数的微分方程,15,用拉普拉斯变换解微分方程的过程主要 有以下三个步骤： 求拉普拉斯变换； 解变换后得

3、到的代数方程； 求反变换。 下面举例来说明上述过程。 例9 解微分方程,16,解：1）求拉普拉斯变换,变换后原方程变为,17,2）解变换后得到的代数方程，得到,3）求反变换，得到,18,例10 解微分方程组,解：1）求拉普拉斯变换,19,变换后原方程组变为,2）解变换后得到的代数方程，得到,20,3）求反变换，得到,21,例11 解积分微分方程,电路如下图所示，假设开关在较短的时间内 闭合，求每一回路的电流。初始条件为每一 回路电流与电容的电量为0.(C=q/v),10V,R1=40,R2=60,C1= 1/120F,C2= 1/120F,i1,i2,22,解：由Kirchhoff电压定律得电

4、路的方程如下：,其中,上述方程组变为,23,1）求拉普拉斯变换,2）解变换后得到的代数方程，得到,24,3）求反变换，得到,25,26,例12 解微分方程,解：我们以前学过,微分方程的解法。如果我们将求解的方程写成这样的形式有,那么有 ，在给定初始条件下，p(t)没有定义。这和我们以前学过的微分方程的解存在而且唯一的类型不同。,27,更进一步说，在只有一个初始条件下，我们将寻求满足方程和初始条件的解。下面给出拉普拉斯变换的解法：,1）求变换,28,变换后原方程变为,合并整理后得到,29,2）解变换后得到的方程,这是一个一阶的微分方程，我们知道,的解法是先用积分因子 乘以方程的两端得到,于是方程

5、可以写为,两边积分后，得到方程的解为,30,即,变换后方程的解积分因子计算如下：,用该积分因子乘变换后方程的解得到,31,即,两边积分得到,即,32,3）求反变换，得到,33,故方程的解为,34,对任意实数C,该解满足微分方程和初始条件 y(0)=1.但该方程的解不是唯一的。,当我们用拉普拉斯解常系数微分方程,时，得到一个关于Y(p)的代数方程。在上面的 例子中，当用拉普拉斯解多项式为系数的微分 方程时，得到一个关于Y(p)的微分方程，这是 因为求tk f(t)的拉普拉斯变换时，包含了Y(p)的 导数。,在下一个字例子中，需要用到以下的性质,35,性质：对任意的正实数k, f(t)在0,k上是分段 连续的，并假定存在实数M和s，使得,如果 ，那么,证明,这就证明了,36,例13 解微分方程,解：我们从以前学过微分方程的解法知，该,方程的解存在，而且是唯一的。下面用拉普拉斯变换求解该方程,1）求变换,37,变换后原方程变为,合并整理后得到,38,2）解变换后得到的方程,这是一个一阶的微分方程，积分因子计算如下：,用该积分因子乘变换后方程的解得到,39,两边积分得到,于是,3）求反变换(介绍两种方法，定理与留数),我们没有进一步决定C的任何初始条件，为了满足 ，我们必须选C=0.,于是有 ，故得到满足方程和初始条件的解为,40,也可用留数计算 的原