2017-2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一)+Word版含解析

1、2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1已知集合M0，2，4，N1，2，3，P0，3，则(MN)P等于()A0，1，2，3，4 B0，3 C0，4 D0解析：MN0，1，2，3，4，(MN)P0，3，故选B.答案：B2函数ylg(x1)的定义域是()A(，) B(0，) C(1，) D1，)解析：对数函数要求真数大于0，所以x10，解得x1，故选C.答案：C3设i为虚数单位，则复数等于()A1i B1i C1i D1i解析：1i，故选D.答案：D

2、4已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为 cm3，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：充分性：若r1 cm，由Vr3可得体积为 cm3，同样利用此公式可证必要性也成立答案：C5已知直线l过点A(1，2)，且与直线yx1垂直，则直线l的方程是()Ay2x By2x4 Cyx Dyx解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k1k21)，所以直线l的斜率k2，由点斜式方程yy0k(xx0)可得，y22(x1)，整理得y2x4，故选B.答案：B6顶点在坐标原点，准线为x2的抛物线的标准方程是()Ay28x By28x Cx28y Dx28y

3、解析：因为准线方程为x2，所以焦点在x轴上，且2，所以p4，由y22px得y28x.答案：A7已知三点A(3，3), B(0, 1)，C(1，0)，则|等于()A5 B4 C. D.解析：因为(3，2)，(1，1)，所以(4，3)，所以|5，故选A.答案：A8已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(，2)，则下列等式不正确的是()Asin Bsin() Ccos Dtan 解析：依题意得，r3，sin ，cos ，tan ，所以sin ，cos ，tan ，所以A，B，C正确，D错误答案：D9下列等式恒成立的是()A.x(x0) B(3x)23x2Clog3(x21)log32

4、log3(x23) Dlog3x解析：x(x0)，故A错；(3x)232x，故B错；log3(x21)log32log32(x21)，故C错答案：D10已知数列an满足a11，且an1an2，则an的前n项和Sn等于()An21 Bn2 C2n1 D2n1解析：数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，由Snna1dn2n2，故选B.答案：B11已知实数x，y满足则z2xy的最大值为()A3 B5 C9 D10解析：如图，画出可行域，当y2xz移动到A点时，直线与y轴的截距z取得最大值，因为A(3，3)，所以z2xy的最大值为9.答案：C12已知点A(1，8)和B(5, 2)，则以线段AB为直

5、径的圆的标准方程是()A(x2)2(y5)23 B(x2)2(y5)218C(x2)2(y5)23 D(x2)2(y5)218解析：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心为C(2，5)，半径r3，所以圆的标准方程为(x2)2(y5)218.答案：D13下列不等式一定成立的是()Ax2(x0) Bx21(xR)Cx212x(xR) Dx25x60(xR)解析：A选项中，当x0时，显然不成立；C选项中，当x1时，显然不成立；D选项中，当x(3，2)时，x25x60，所以不成立；B选项中，x2(x21)1211(xR)，当且仅当x0时取“”答案：B14已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x(，

6、0时，f(x)x2sin x，则当x0，)时，f(x)()Ax2sin x Bx2sin x Cx2sin x Dx2sin x解析：设x0，)，则x(，0，所以f(x)(x)2sin(x)x2sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)f(x)x2sin x，故选A.答案：A15已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x16，x26，x36，x46，x56的平均数和方差分别为()A4和3 B4和9 C10和3 D10和9解析：由平均数的定义可知x16，x26，x36，x46，x56的平均数610，方差不变答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共1

7、6分将正确答案填在题中横线上)16已知x0，且，x，15成等比数列，则x_解析：因为， x，15成等比数列，所以x21525，又x0，所以x5.答案：517函数f(x)sin xcos(x1)sin(x1)cos x的最小正周期是_解析：f(x)sin xcos(x1)sin(x1)cos xsinx(x1)sin(2x1)，所以最小正周期T.答案：18从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是_解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31

8、，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为.答案：19中心在坐标原点的椭圆，其离心率为，两个焦点F1和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点，若|PF1|PF2|4，则椭圆的标准方程是_解析：根据焦点在x轴上可以设椭圆的标准方程为1(ab0)，因为长轴长2a|PF1|PF2|4，离心率e，所以a2，c1，b，所以椭圆的标准方程为1.答案：1三、解答题(本大题共2小题，共24分解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20(12分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)证明：ABC为等腰三角形；(2)若a

9、2，c3，求sin C的值(1)证明：因为，所以acos Bbcos A，由正弦定理知sin Acos Bsin Bcos A，所以tan Atan B，又A，B(0，)，所以AB，所以ABC为等腰三角形(2)解：由(1)可知AB，所以ab2，根据余弦定理有：c2a2b22abcos C，所以9448cos C，解得cos C，因为C(0，)，所以sin C0，所以sin C.21(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PAAB，PAAD，ACCD，ABC60，PAABBC2，E为PC的中点(1) 证明：APCD；(2) 求三棱锥PABC的体积；(3) 证明：AE平面PCD.(1)证明：因为PAAB，PAAD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，ABADA，所以PA平面ABCD，又CD平面ABCD，所以APCD.(2)解：由(1)可知AP平面ABC，所以VPABCSABCAP，又SABCABBCsin ABC22sin 60，所以VPABC2.(3)证明：