复变函数总结完整版

1、第一章复数1=-1欧拉式z=x iy实部Re z虚部Im z2运算二、共轭复数共轭技术运算法则第P1页3代数，几何表示z与平面点一对一对应，与向量一对一对应在放射角为z0时，矢量z与x轴正方向间的角度为=Arg z=k=123位于-的Arg z放射角主值=寻找arg z的方法例如： z=1-iz=iz=1 iz=-1 5极坐标：利用欧拉公式可以得到6高次幂及n次幂满足方程式的的值称为z的n次方根也就是说第二章解析函数一个极限双函数极限复函数哪个都有对应注：与实际相比，定义域、值域发生变化示例当时把a称为极限当时是连续的例1证明了在所有方面都是连续的证书：所有的点都是连续的。三导数在例2的情况下

2、证据：因为是这样。例3无法证明解：令当时因为不存在，所以没能引导。定理：可以到处导出u，v到处微小，可以满足C-R条件，并且例4证明不能引导。解：其中u、v对于x、y是微小的因为不满足C-R条件，所以不能在所有点上诱导例5解：因为不满足C-R条件，所以不能在所有点上诱导示例6 :解：其中可以在C-R条件下得到这个函数无处不在。4分析如果可以在附近引导的话，就在这里进行分析。必须在C-R条件下明确u、v四则运算/证明解：原则在某一点上满足C-R条件所以哪里都要解析练习：求下一个函数的导数解：所以可以从C-R方程式中得到因此，当时存在导数，导数为0，其他点不存在导数。初等函数I常数指数函数定义域

3、iii对数函数将满足的称为对数函数分类：类比的求法(经验)目标：寻找振幅的主值可用：流程：所以/求出的值PS函数对任意多个例1 :求出的值解：例2 :求v三角函数定义：对于任意多个，从关系式中得到的馀弦函数和正弦函数/求。解：第三章复函数的积分一复积分定理3.1如果复平面上的阶段性平滑曲线在c上连续，则可以积在c上注：C的线方式与原来相同方法1 :想法：复数实体化函数和微分相乘就能得到方法2 :参数方程法的核心：将c参数c :求C:0的直线段解：C :二结果不同二柯西积分定理示例：c :以a为中心、为半径的圆，方向：逆时针方向解： c :积分与路径无关：单连通处处分析/求。 其中c是连接o点的

4、摆线解：已知直线段l和c构成闭合曲线。 通过全面分析原则也就是说使函数沿曲线c的积分为沿直线段l的积分。 因为。故重要：适当的参数适当地带入z三不定积分定义3.2函数在区域d内连续，d内的一个函数满足条件时定理3.7如果使用上式的话/计算。解：演习：计算解：4柯西积分式定理到处解析用单纯闭曲线c包围的区域内则例1 :解：示例2 :解：示例3 :解：注：C :一次分数在d内到处找到分析示例4 :解： 5解析函数的高阶导数式： n=1，2应用要点：二正确分离示例：6调和函数如果满足，则称为d内的调和函数在d内分析的话所以称为共轭调和函数第四章级数理论从一个以上到距离如果有话的界限的话此时的极限点记

5、为或推进：关于测量空间可以谈极限2极限的性质3四级数问题部分和数列收敛的话，反而会发散。性质： 1收敛的话就收敛2一个收敛，一个发散，就可以发出发散3如果一定要收敛的话如果收敛，则条件收敛等比级数：时间收敛，其他发散幂级数原则求收敛域示例：计算的收敛半径和收敛圆解：级数的收敛半径为R=1，收敛圆为泰勒级数泰勒定理：把函数在圆k :内解析的话，可以在k内展开成幂级数其中，(n=0，1，2 )，展示式还是唯一的。求所在的泰勒展式解：全面分析的话泰勒的表演例2 :表示函数的幂级数解：罗兰级数如果罗兰定理函数在圆环d :内被解析的话当时在其中把函数放在环(1) (2)上内展变成了罗朗级数。解：包含(1

6、)，所以包括(2)在内孤立奇点定义：函数在的向心附近被解析，不在点被解析时，称为孤立奇点。/为了去奇点成为一级选手是本性的奇点第五章留数理论(馀数)定义：函数在孤立奇点，即离心附近解析有限项点时，积分值称为函数点上的馀数备忘录：其中，c的方向是逆时针方向。/求函数在哪里。解：因为觉得是一级零点，所以觉得是一级极。/求函数的在留数解：是的。 本质上的奇点。 因为。所以可得第七章傅立叶变换用一种方法简化复杂的问题，便于研究。定义：如果以上定义了满足特定条件的函数，称为傅立叶变换。同时傅立叶逆变换注：傅立叶变换是把函数变成函数傅立叶逆变换把函数变成函数为了求出傅立叶变换和傅立叶逆变换，计算积分很重要两种常见的积分方法：微分、支部积分复