七年级数学培优班讲义（教师版）

1、初中一年级基础数学讲义一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图：第二，绝对值的含义：(1)几何意义：一般来说，从数字A点到数轴上原点的距离称为数字A的绝对值，记为|a|。(2)代数意义：正数的绝对值本身；(2)负数的绝对值是它的反数；(3)零的绝对值为零。也可以写成：注：(1)|a|0表示| a |是非负数；()| a | a |概念包含分类讨论的思想。典型例1。(组合数字和形状的想法)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。那么代数表达式| a | | a | | b | | c-a |-| b-c |的值等于(a)A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b解决方案：| a | | a

2、b | | c-a |-| b-c |=-a-(ab)(c-a)b-c=-3a分析：在解决绝对值问题时，经常需要去掉绝对值的符号，将其转化为一般的有理数计算。当绝对值符号被去掉时，必须先确定绝对值符号，然后根据绝对值的代数意义去掉。本例利用数形结合的数学思想，从数轴上A、B、C的对应位置判断绝对值符号中的数的符号，从而消除绝对值符号，完成简化。案例2。已知：和，然后的价值A.是正数b，是负数c，是零d，符号无法确定。解答：根据问题的含义，数字轴上的X、Y和Z的位置如图所示。因此分析：数轴是数与代数领域中数与形结合的重要载体。本例中的三个看似复杂的不平等关系，借助数轴，直观、方便地找到了x、y、

3、z三个数的大小关系，为我们顺利简化铺平了道路。虽然例子中没有给出数值轴，但我们应该有把数字和形状结合起来解决问题的意识。例3。(分类讨论的思想)众所周知，A数的绝对值是B数的绝对值的3倍，在数轴上代表这两个数的点位于原点的两边，两点之间的距离是8，所以求这两个数；如果代表这两个数的数轴上的点在原点的同一侧呢？分析：从主题中找出解决问题的关键信息，“数字轴上指示这两个数字的点位于原点的两侧”意味着数字A和B的符号是相反的，即一个是正的，一个是负的。那么谁是积极的，谁是消极的，我们应该用分类讨论的数学思想来解决这个问题。解决方法：让一个数字是x，b是y从问题的含义来看：(1)数字轴上代表这两个数字

4、的点位于原点的两侧：如果x在原点的左侧，y在原点的右侧，即x0，y0，那么4y=8，所以y=2，x=-6如果x在原点的右侧，y在原点的左侧，即x0，y0，-4y=8，那么y=-2，x=6(2)数字轴上代表这两个数字的点位于原点的同一侧：如果x和y在原点的左侧，即x0和y0，则-2y=8，所以y=-4，x=-12如果x和y在原点的右边，即x0和y0，那么2y=8，所以y=4，x=12这个方程的解数是(d)A.1 b.2 c.3 d.infinity分析：我们用整个想法来解决这个问题。将x-2008作为一个整体，问题转化为求解方程。利用绝对值的代数意义，我们可以很容易地得出负数和零的绝对值等于它的

5、反数，所以零和任何负数都是方程的解，也就是说，这个问题的答案是d例5。(非负数)已知| AB-2 |和| A-1 |是倒数，请尝试找出以下公式的值。分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：| AB-2 |=| A-1 |=0，解为：a=1，b=2因此.在对以上分数进行累加和求和的过程中，我们采用了分裂项法，巧妙地得到了最终的结果。学生可以重新思考。如果问题变成了价值，你有办法解决它吗？有兴趣的学生可以课后继续探索。例6。(距离问题分析：点B代表的数是-1，所以我们可以找到点B在数轴上的位置。a点怎么样？因为x可以代表任何有理数，点a可以位于数轴上的任何地方。那么，你如何找到a点和b点之间的距离

6、？结合数轴，我们发现讨论应该分为以下三种情况。当x-1时，距离是-x-1，当-10时，距离是x 1总而言之，我们得到点a和b之间的距离可以表示为(3)组合数轴得到的最小值为5，得到最小值时X的取值范围为-3x_2_。分析：即x和2之差的绝对值，它可以表示数轴上x和2之间的距离。也就是x和-3之差的绝对值，它也可以表示数轴上x和-3之间的距离。如图所示，x在数轴上有三个可能的位置：图1图2图3图2符合主题(4)满足值范围为x-4或x-1分析：类似地，它表示数轴上的X和-1之间的距离，以及数轴上的X和-4之间的距离。主题是找出，当x是什么数时，x和-1之间的距离加上x和-4之间的距离将大于3。借助

7、数轴，我们可以得到正确的答案：x-4或x-1。注：借助数轴，绝对值问题可以转化为数轴上的距离问题。相反，数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化可以为解决某些问题带来便利。事实上，表示的几何意义是在数轴上表示数字A和数字B的点之间的距离。这是一个非常有用的结论。利用这个结论，结合数轴知识，我们解决了(3)和(4)两个难题。Iii .摘要1.理解绝对值的代数和几何意义以及绝对值的非负性2.体验重要数学思想的应用，如数形结合、分类和讨论解决问题第二讲：代数表达式的简化和评估一、知识链接1.“代数”是由数字或代表数字的字母与运算符号连接而成的表达式。它包括代数表达式、分数、二次根等。这是

8、初中学生应该关注的内容之一。2.通过用特定值替换代数表达式中的字母获得的值称为该代数表达式的值。注：一般来说，代数表达式的值随字母的值而变化。3.找到代数表达式的值可以帮助我们实现简单数学建模的好处，并为将来学习方程、函数和其他知识打下基础。第二，典型例子例1。如果多项式的值与X无关，所追求的价值。分析：多项式的值与x无关，即包含x的项的系数都为零因为.所以m=4M=4代，用“整体思维”寻找代数表达式的价值例2。当x=-2时，代数表达式的值为8。当x=2时，求代数表达式的值。分析：因为当x=-2时，我们得到，因此当x=2时，=例3。当代数表达式的值为7时，求代数表达式的值。分析：观察两个代数表

9、达式的系数利用方程的同解原理整整一代人，代数表达式的求值是中考中的一个热点问题。它的操作技巧和解决问题的方法需要我们灵活掌握，而整体替代人的方法就是其中之一。例4。已知的计算值。分析：解决方案1(整代):由所以：解2(降级):作为描述现实世界中等式关系的数学模型，该方程还具有降阶功能。到，到，所以：解决方案3(降阶、消去):(消去、相减)例5。(实际应用)甲公司和乙公司都准备从社会上招聘人才。两家公司的招聘条件基本相同，除了以下工资差异：公司甲，年薪1万元，年加工年龄工资200元；B公司，半年工资5000元，半年加工年龄工资50元。哪家公司对我有利从上面可以看出，B公司的年收入总是比a公司多5

10、0元，如果你不仔细检查，你很可能会犯错误。例6。三个数的乘积是负的，和是正的，那么这个值就是_ _ _ _ _ _。解决方法：因为abc0，A，B和C中只有一个是负的，或者三个都是负的因为有b c0，所以a，b和c中只有一个是负的。假设a0，b0，c0然后是ab0、ac0、bc0所以x=-11 1-1 1=0将x=0代入所需的代数表达式，结果是1。同样，当b0、c0、x=0时。另一方面，通过观察代数表达式并交换A、B和C的位置，我们发现代数表达式没有改变。这样的代数表达式变成了旋转形式。我们不需要再讨论A、B和C了。感兴趣的学生可以在课后查阅数据，了解旋转模式的重要特性。法律探索问题：1728

11、39410511612例7。如图所示，在平面上具有公共端点的六条射线0A、0B、0C、0D、0E、0F写数字1、2、3、4、5、6、7，在光线OA的逆时针方向上。17上的雷_ _，2008正在上映。(2)如果n是正整数，则射线OA上的数排列规则可以与n一起使用代数表达式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：OA上排列的数字是：1，7，13，19，据观察，这一栏的后一项比前一项多6。得出的结论是，列数可以表示为6n-5因为17=36-1，所以17在射线OE上。因为2008年等于3346年4等于3356年2月，2008年是在

12、射线外径例8。根据下表将正数和奇数排列成5列：第一列、第二列、第三列、第四列、第五列第一排1 3 5 7第二排15 13 11 9第三排17 19 21 23第四排31 29 27 25根据以上规则，2007年应该在a125行，3列，125行，2列，c251行，2列，d251行，5列分析：观察第二、三、四列数字的排列规律，发现第三列的数字规律很容易找到。第三列数字：3，11，19，27，规则8n-5因为2007=2508 7=2518-1因此，2007应该出现在第一列或第五列因为第251行是奇数行，所以数字从第二列开始从小到大排列。所以2007应该在第251行第5列。例9。(嘉兴市，2006)

13、对正整数N定义一个“F”运算：当N为奇数时，结果为3N 5；(2)当n是偶数时，结果是(其中k是正整数，这使得它是奇数)，并且重复该操作。例如，如果n=26，则：26134411第一次F第二次f1第三次F如果n=449，第449次“f运算”的结果是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。分析：解决问题的难点和关键是真正理解“f”的第二个运算，即当n是偶数时，结果是(其中k是构成奇数的正整数)，并且只有当得到的商是奇数时，运算才能完成。449奇数，通过“F”改为1352；1352是一个偶数，通过“F 2”变为169。169是奇数，512是“F 1”后的偶数，“F 2”后的1，1是奇数，通过“

14、F”改为8，8是偶数，通过“F”改为1，我们发现了以下规则。经过多次运算，其结果将有一个1和8的交替循环。再看一遍，手术的数目是449，奇数。因为在第四次运算之后，所有的奇数运算得到8，偶数运算得到1，结果是8。Iii .摘要通过使用字母代数，我们对对数的理解又有了一次飞跃。我希望学生能理解用字母和一些简单的数学模型代替数字后思维的扩展。体验从特殊到一般，再从一般到特殊的重要方法。第三讲：与单变量和单变量方程相关的问题一、知识回顾一元方程是我们知道的第一个方程，它使我们学会用代数解来解决一些用算术解不容易解决的问题。一元二次方程是初中代数的重要组成部分。它不仅巩固和深化了以前学过的有理数部分的知识，而且为以下内容如一元二次方程、不等式、函数等打下了坚实的基础。典型示例：第二，典型例子例1。如果x=1的一元方程的解是x=-1，那么k的值是()A.b . 1c-d . 0分析：本主题考察“方程的解”的基本概念因为x=-1是x=1的一元方程的解，所以，解决方法是k=-例2。如果方程3x-5=4与方程的解相同，A的值是多少？分析：这个问题有两个方程。第一个方程只有一个未知的X，所以X的值可以通过解这个方程得到。在第二个方程中，有两个未知数A和X，所以没有其他条件就无法得到A和X的值。因