光子气体与它的热力学函数关系

1、目目 录录 1 引言 .1 2 热辐射和平衡辐射 .1 3 用能量均分定律讨论热辐射.3 4 热力学量的统计表达式.5 4.1 总分数和内能的统计表达式 .5 4.2 广义作用力的统计表达式 .6 4.3 熵的统计表达式 .6 5 光子气体的热力学函数.7 6 结论.8 参考文献.9 致谢.10 光子气体与它的热力学函数关系光子气体与它的热力学函数关系 摘摘 要：要：早在 1900 年，马克斯普朗克解释黑体辐射能量分布时作出量子 假设，物质振子与辐射之间的能量交换是不连续的，一份一份的，每一分的能 量为,1905 年阿尔伯特爱因斯坦进一步提出光除了波动性之外还具有粒子hv 性，他指出电子辐射不

2、仅在被发射吸收时以能量为的微粒形式出现，而且以hv 这种形式以速度 在空间运动这种粒子称之为光量子；普朗克和爱因斯坦的光c 量子理论直到 1924 年康普顿成功地用光量子概念解释了光被物质散射是波长x 变化的 康普顿效应，从而光量子概念被广泛接受和应用 1926 年正式名称为光 子。光子不但具有能量，而且具有动量，光子的静止质量为零。 该文论述了光子气体热力学函数并根据光子气体巨配分函数推导出热力学函 数内能、压强、熵、焓、自由能和吉布斯函数以及物态方程。 关键词：关键词：光子；热辐射；巨配分函数；熵；压强。 1 1 引言引言 早在 1900 年，马克斯.普朗克解释黑体辐射能量分布时作出量子假

3、设，物质 振子与辐射之间的能量交换是不连续的，一份一份的，每一分的能量为,hv 1905 年阿尔伯特.爱因斯坦进一步提出光除了波动性之外还具有粒子性，他指 出电子辐射不仅在被发射吸收时以能量为的微粒形式出现，而且以这种形式hv 以速度 在空间运动这种粒子称之为光量子；普朗克和爱因斯坦的光量子理论c 直到 1924 年康普顿成功地用光量子概念解释了光被物质散射是波长变化的 x 康普顿效应，从而光量子概念被广泛接受和应用 1926 年正式名称为光子。光子 不但具有能量，而且具有动量，光子的静止质量为零。近代物理理论研究表明， 辐射除了具有波动性质外，还具有微粒性质，辐射场可看成是有各种频率的电 磁

4、波所组成，也可以将其视为是光子的集合是光子气体。光子气体也普通气体 一样按一定规律分布(波色分布)，但与普通气体相比有着如下差异：（1）光子 随时在产生或漂灭，故粒子数不能固定；(2) 由于光子具有相同的速度(光速) ,故 不存在速度分布；（3）普通气体分子之间按速度的平衡分布，是通过分子之间 相互碰撞与相互作用机制实现的.而光子气体中的光子彼此并不碰撞，其间的平 衡分布，只在辐射场中有某种能够吸收和辐射光子的物体存在时才能建立起来. 在吸收或辐射过程中，一种频率的光子将转变成另一种频率的光子.正是光子气 体与普通气体之间的这些差异，从而导致光子气体具有与普通气体不同的热力 学性质和特征函数。

5、 2 2 热辐射和平衡辐射热辐射和平衡辐射 只要温度不是绝对零度，任何物体的表面都会向外发射各种波长的，频谱为 连续的电磁波。温度升高，物体在单位时间内从单位面积表面上向外发射的辐 射总能量也之增加。一定时间内辐射能量随波长的分布也与温度有关，简单来 说爱热的固体会辐射电磁波，称为热辐射。一般情形下热辐射的强度和强度按 频率的分布与辐射体的温度和性质有关。如果辐射体对电磁波的吸收和辐射达 到平衡，热辐射的特性将只取决于温度，于热辐射的其它特性无关，称为平衡 辐射。. 考虑一个封闭的空窖，窖壁保持一定的温度。窖壁将不断向空窖发射并吸T 收电磁波，窖内辐射场与窖壁达到平衡后，二者具有共同的温度，显

6、然空窖内 的辐射就是平衡辐射。 平衡辐射包含各种频率，沿各个方向传播的电磁波.这些电磁波的振幅和相 位是无规的。有热力学的一般论据可以证明，窖内平衡辐射是空间均匀和各向 同性的。它的内能密度和内能密度按频率的分布只取决于温度，与空窖的其它 特性无关。现在根据热力学理论导出窖内平衡辐射的热力学函数.这里要用到电 磁理论关于辐射压强与辐射能量密度之间的关系：pu (2-1)uP 3 1 将窖内平衡辐射看作热力学系统.选温度和体积 为状态参量.由于空窖辐Tv 射是均匀的,其内能密度只是温度的函数.空窖辐射的内能可以表为利T),(VTU 用热力学公式 (2-2) VTuVTU, 根据 式可得 ，即P

7、T P T V U VT 33 u dT duT u (2-3)u dT du T4 积分可得 (2-4) 4 Tu 现在求出空窖辐射的熵，将式(2-3)的和式(2-1)的代入热力学基本方程 T pdVdu dS 积分可得 (2-5) VaTS 3 3 4 式（2-5）中没有积分常数，因为时不存在辐射场。0 3 VT 吉布斯函数。将式(2-1),(2-3),(2-5)代入，可得平衡辐射PVTSUG 的吉布斯函数为零。 G=0 （2-6） 统计物理可以导出平衡辐射的热力学函数.将看到式（2-6）是平衡辐射光子数 不守恒的。 如果在窖壁开一小孔，电磁辐射将从小孔射出.假设小孔足够小，使窖内辐 射场

8、的平衡状态不受显著破坏。以表示单位时间内通过小孔的单位面积向一 u J 侧辐射的辐射能量，称为辐射通量密度。辐射通量密度与辐射内能密度之 u Ju 间存在以下关系： （2-7）cuJu 4 1 dA 图 （1-1） 上式证明如下。考虑在单位时间内通过面积元向一侧辐射的能量.如果投射dA 到上的是一束传播方向与的法线方向平行的平面电磁波，则单位时间内dAdA 通过向一侧辐射的能量为。各向同性的辐射场包含各种传播方向，因dAcudA 此传播方向在立体角的辐射内能密度将为。单位时间内，传播方向在d 4 cud 立体角内，通过向一侧辐射的能量为，其中与传播方向ddA 4 cud dAcos 与法线方向

9、的夹角，如图（1-1）所示.对所有传播方向求积分，就可以得到dA 单位时间内通过向一侧辐射的总辐射能量： cudAdd cudA d cud dAJu 2 0 2 0 4 1 cossin 4 cos 4 这就证明了式（2-7） 。 将式（2-3）代入式（2-7） ，得 (2-8) 44 4 1 TTcJu （2-8）称为斯特藩玻耳式斯曼定律。 3 3 用能量均分定律讨论热辐射用能量均分定律讨论热辐射 我们根据能量均分定律讨论平衡辐射问题。前面讨论过这个问题,考虑一个 封闭的空窖原子不断地向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间后， 空窖内的电磁辐射与窖壁达到平衡，称为平衡辐射，二者具有共

10、同的温度。T 空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加.如果采用周期性边 界条件，单色平面波的电场分量可表为 （3-1） )( 0 trki eEE 其中是圆频率，是波矢，的三个分量的可能值为kk zyx kkk, （3-2） , 2, 1, 0, 2 , 2, 1, 0, 2 , 2, 1, 0, 2 zzz yyy xxx nn L k nn L k nn L k 有两个偏振方向。这两个偏振方向与垂直，并且相互垂直.单色平面波 0 E 的磁场分量也有相应的表示。将式（3-2）代入波动方程 （3-3）0 1 2 2 2 2 E tc E 可得，与间的关系：k ck （3-4） 具有一

11、定波矢和一定偏振的单色平面波可以看作辐射场的一个自由度。应k 用不确定关系的方法求得在体积内，在的波矢范围内，辐射场的自V zyx dkdkdk 由度数为 利用式（3-4）将换为，容易求出，在体积内，在 4 zyx dkdkVdk kV 的圆频率范围内，辐射场的振动自由度数为d （3-5） d c V dD 2 32 )( 根据能量均分定律，温度为时，每一振动自由度得平均能量为。所TkT 以在体积内，在范围内平均辐射的内能为Vd （3-6） kTd c V kTdDdU 2 32 )( 这结果是瑞利和金斯得到的，称为瑞利金斯公式. 根据瑞利和金斯公式，在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的。 （

12、3-7） kTd c V dUU 0 2 32 0 在前面讨论过，平衡辐射的能量与温度的四次方成正比，是一个有限值： （3-8）VTU 4 因此式（3-8）与实验结果不符.有式（3-8）还可以得出平衡辐射的定容热容 量也是发散的结论.据此辐射场不可能与其它物体（例如窖壁）达到热平衡，这 是与常识不符的.可以看出导致这个荒谬的根据原因是，根据经典电动力学辐射 场具有无穷多个振动自由度，而根据经典统计的能量均分定律每个振动自由度 在温度为时的平均能量为。由此可以看出，经典物理存在根据刑的原则困TkT 难.综上所示，经典统计的能量均分定律既得到一些与实验相符的结果，又有许 多结论与实验不符。这些问题

13、在量子理论中得到解决。 4 4 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式 4.14.1 总分数和内能的统计表达式总分数和内能的统计表达式 系统的平均总分子数由下式给出： （4-1） l l l l l e aN 1 引入一个函数，名为巨配分函数，其定义为： 1 （4-2） l l e l l l 1 取对数 （4-3）)1ln(ln l e l l 系统的平均总粒子数可通过表示为Nln （4-4） ln N 内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。所以 （4-5） l ll l l l l e aU 1 系统的粒子无规运动总能量统计平均值可通过表示为Uln （4-6） ln U 4.24.

14、2 广义作用力的统计表达式广义作用力的统计表达式 外界对系统的广义作用力是的统计平均值：，Y y l （4-7） ye a y Y l l l l l l l 1 可将可通过表示为Yln （4-8） ln 1 y Y 上式的一个重要特例 （4-10） ln 1 V P 4.34.3 熵的统计表达式熵的统计表达式 由式（4-4）和式（4-6）以（4-10）及（3-8）的 （4-11）) ln ( ln ) ln ()( d dy y dNdYdydU 注意上面引入的是的函数，其全微分为lny, （4-12）dy y ddd lnlnln ln 故有 （4-13）) lnln (ln)( d dN

15、dYdydU 上式指出是的积分因子。在热力学部分学过，对于开放系统NdYdydU 有积分因子，使:NdYdydU T 1 （4-14）dSNdYdydU T )( 1 比较可得 （4-15） kTkT , 1 所以 （4-16） ) lnln (ln d kddS 积分可得 （4-17） )(ln) lnln (lnUNk d kS 将式（4-3）代入式（4-17） ，与是比较就可得 )!( ! ! . lll l DF aa （4-18） lnkS 5 5 光子气体的热力学函数光子气体的热力学函数 根据热力学量的统计表达式推求光子气体的热力学函数。对于光子气体，巨 配分函数的对数为 （5-1

16、）)1ln()1ln(ln 0 2 32 h l l e c V e l 引入变量。可将上式表为 kT h x （5-2） )1ln( )( ln 0 2 332 x ex hc V 应用分部积分方法： 0 3 0 3 0 2 13 1 )1ln( 3 )1ln( x xx e dxx e x dxex 上式有第一项为零，因此 （5-3） 333 24 332 0 3 332 )( 1 45 ) 90 6( )(31)(3 ln hhc V hc V e dxx hc V x 求得巨配分函数的对数后，根据式（4-6）和式（4-10）即可求出光子气体的内 能和压强。 光子气体的内能为 （5-4）

17、 4 33 42 15 lnT hc Vk U 光子气体的压强为 （5-5） 4 33 42 45 ln 1 T hc k V P 光子气体的熵为 （5-6） 3 33 42 45 4 )(ln) ln (lnT hc Vk Uk d kS 光子气体的焓为 （5-7） 4 33 32 45 4 T hc Vk PVUH 光子气体的自由能为 （5-8） 4 33 42 45 T hc Vk TSUF 光子气体的吉布斯函数为 （5-9）0PVFG 6 6 结论结论 以上计算得知，光子气体的内能、压强、熵、焓和自由能都是温度的函数， 因而与普通气体一样都具有热力学特征，但吉布斯函数等于零，它们与普通

18、气 体有些差异。对于普通气体,上述各热力学量与温度一次方成正比。而光子气体 的内能、压强、焓和自由能热力学量却与温度的四次方成正比，光子气体的熵 与热力学量却与温度的三次方成正比，光子气体的吉布斯函数与温度无关。 参考文献参考文献 1熊呤涛统计物理学M北京：人民教育出版社，1981 年 12 月第一版 ，1982 年 6 月。 2王诚泰统计物理学M北京：清华大学出版社，1991 年 7 月第一版 ，2004 年 3 月 。 3注志诚热力学统计物理M北京：高等教育出版社，2008 年 12 月第四版，2010 年 1 月 。 4 马本堃 ，高尚惠，孙煜热力学统计物理M北京：高等教育出版社，1980 年 9 月。 5 姚启钧光学教程M北京：高等教育出版社，2008 年 6 月第四版，2008 年 6 月。 6 王启玲，俞雪珍热学M河南教育出版社，1987 年。 7 刘昌年,胡一飞普通物理 (第二分册:热学)M.高等教育出版社，1988 年。 9 梁绍荣普通物理学第二分册热学M高等教育出版社，1994 年。 10 黄淑清，聂宜如，申先甲热学教程M.北京：高等教育出版社，1994年. 致谢致谢 大学五年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了物理系的 各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心