初中数学竞赛试题精选

1、初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（5） （方程应用） 一、选择题： 1、甲乙两人同时从同一地点出发，相背而行 1 小时后他们分别到达各自的终点 A 与 B，若仍从原地 出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，甲乙的速度之比为（ ） A. 35B. 43C. 45D. 34 2、某种产品按质量分为 10 个档次，生产最低档次产品，每件获利润 8 元，每提高一个档次，每件 产品利润增加 2 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 60 件，提高一个档次将减少 3 件， 如果获利润最大的产品是第 R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加） ，那么 R 等

2、于 （ ） A. 5B. 7C. 9D. 10 3、某商店出售某种商品每件可获利 m 元，利润为 20%（利润） ，若这种商品的进价提高 售价进价 进价 25%，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元，则提价后的利润率为 （ ） A. 25%B. 20%C. 16%D. 12.5% 4、某项工程，甲单独需 a 天完成，在甲做了 c（cb，若两个 三角形的最小内角相等，则的值等于（ ） b a A. B. C. D. 2 13 2 15 2 23 2 25 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ） A. 0B. 1C. 3D. 5 8、若函数与函数的图象相交于 A，C

3、两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC 的面)0(kkxy x y 1 积为（ ） A. 1B. 2C. kD. k2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d，另一组对边的长分别为 a，b，则 d 与的大小关 2 ba 系是 2、如图 8-5，AA、BB分别是EAB、DBC 的平分线，若 AABBAB，则BAC 的度数为 3、已知五条线段长度分别是 3、5、7、9、11，将其中不同的三 个数组成三数组，比如（3、5、7） 、 （5、9、11）问有多少组中的三个数恰好构成一个三角 形的三条边的长 4、如图 8-6，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 P

4、D 5、如图 8-7，甲楼楼高 16 米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当 图 8-6 A B D C P 16 米 20 米 A B C D 甲乙 图 8-7图 8-8 B A C P 图 8-4 A BC D AD C F C B E A B B D C 图 8-5 E A 地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30，此时求如果两楼相距 20 米，那么甲楼的影 子落在乙楼上有多高？如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当 是米。 6、如图 8-8，在ABC 中，ABC60，点 P 是ABC 内的一点，使得 APBBPCCPA，且 PA8，PC6，则 PB 三、解答题 1、如

5、图 8- 9，AD 是ABC 中 BC 边上的中线， 求证： AD（AB+AC） 2 1 2、已知一个三角形的周长为 P，问这个三角形的最大边长度 在哪个范围内变化？ 3、如图 8-10，在 RtABC 中，ACB90，CD 是角平分线， DEBC 交 AC 于点 E，DFAC 交 BC 于点 F。 求证：四边形 CEDF 是正方形。 CD22AEBF 4、从 1、2、3、4、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形边长的 三个数（这里要求三角形三边长互不相等） ，试问满足条件的 k 的最小值是多少？ A B D C 图 8-9 A C F B D E 图 8-

6、10 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（8）参考答案）参考答案 一、选择题 1、如图过 C 作 CEAD 于 E，过 D 作 DFPB 于 F，过 D 作 DGCE 于 G。 显然 DGEFAB5，CDDG，当 P 为 AB 中点时，有 2 1 CDDG5，所以 CD 长度的最小值是 5。 2、如图延长 AB、DC 相交于 E，在 RtADE 中，可求得AE16， DE8，于是 BEAEAB9，在 RtBEC 中，可求得3BC33 ，CE6，于是 CDDECE2 BCCD5。333 3、由已知 AD+AE+EF+FDEF+EB+BC+CF AD+AE+FDEB+BC+CF11)( 2 1 C

7、DBCABAD EFBC，EFAD， FC DF EB AE 设，k FC DF EB AE 1 4 11 6 1 k k CD k k DF k k AB k k AE， AD+AE+FD3+ 解得 k4 1 313 1 4 1 6 k k k k k k 11 1 313 k k 作 AHCD，AH 交 BC 于 H，交 EF 于 G， 则 GFHCAD3，BHBCCH9-36 ， 5 4 AB AE BH EG 5 24 5 4 BHEG 5 39 3 5 24 GFEGEF 4、假设 、 三个角都是锐角，即 90，90，90，也就是 A+B90， B+C90，C+A90。2（A+B+C

8、）270，ABC135与 ABC180矛盾。 故 、 不可能都是锐角，假设 、 中有两个锐角，不妨设 、 是锐角，那么 有 AB90，CA90，A(ABC)b，故A 是 ABC 的最小角，设AQ，则以 b,b,a 为三边之三角形的最小角亦 为 Q，从而它与ABC 全等，所以 DCb，ACDQ，因有公共 底角B，所以有等腰ADC等腰CBD，从而得 BC BD AB BC ，即，令，即得方程，解得 b ba a b b a x 01 2 xx 2 15 b a x 。选 B。 7、C。由于任意凸多边形的所有外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不能超过 3 个，又因为 内角与外角互补，因此，内角

9、中锐角最多不能超过 3 个，实际上，容易构造出内角中有三个锐 角的凸 10 边形。 8、A。设点 A 的坐标为（） ，则，故ABO 的面积为，又因为ABO 与yx，1xy 2 1 2 1 xy CBO 同底等高，因此ABC 的面积2ABO 的面积1。 二、填空题 1、如图设四边形 ABCD 的一组对边 AB 和 CD 的中点分别为 M、N，MNd，另一组对边是 AD 和 BC，其长度分别为 a、b，连结 BD，设 P 是 BD 的中点，连结 MP、PN，则 MP 2 a ，NP，显然恒有，当 ADBC，由平行 2 b 2 ba d 线等分线 段定理知 M、N、P 三点共线，此时有，所以 2 b

10、a d 与d 的大小关系是。 2 ba ) 2 ( 2 d baba d 或 2、12。设BAC 的度数为 x，ABBB BBD2x，CBD4x ABAA AABAB ACBD4x AAB)180( 2 1 x ，于是可解出 x12。18044)180( 2 1 xxx 3、以 3，5，7，9，11 构成的三数组不难列举出共有 10 组，它们是（3，5，7） 、 （3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，9） 、 （3，7，11） 、 （3，9，11） 、 （5，7，9） 、 （5，7，11） 、 （5，9，11） 、 （7，9，11） 。由 3+59，3+511，3+711 可以判

11、定（3，5，9） 、 （3，5，11） 、 （3，7，11） 这三组不能构成三角形的边长，因此共有 7 个数组构成三角形三边 长。 4、过 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分别交 AB、CD 于 G、H。 设 AGDHa，BGCHb，AEBFc，DECFd， Q A B C D A B D C P M N A B D C P E F GH a a b b cd 则 222222 222222 DPadcbBP dbCPcaAP ， ， 于是，故， 2222 DPBPCPAP18453 2222222 BPCPAPDP DP32 5、设冬天太阳最低

12、时，甲楼最高处 A 点的影子落在乙楼的 C 处，那么图中 CD 的长度就是甲 楼的影子在乙楼上的高度，设 CEAB 于点 E，那么在AEC 中，AEC90， ACE30，EC20 米。 所以 AEEC（米） 。6 .11 3 3 2030tan20tanACE CDEBAB-AE16-11.64.4（米） 设点 A 的影子落到地面上某一点 C，则在ABC 中， ACB30，AB16 米，所以 7 . 27316cotACBABBC （米） 。所以要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼 至少要 27.7 米。 6、提示：由题意APBBPCCPA120，设 PBC ，ABC60 则ABP60，

13、BAPPBC， ABPBPC，BP2APPC PC BP BP AP 3448 PCAPBP 三、解答题 1、证明：如图延长 AD 至 E，使 ADDE，连结 BE。 BDDC，ADDE，ADCEDB ACDEBD ACBE 在ABE 中，AEABBE，即 2ADABAC AD（ABAC） 2 1 2、答案提示： 在ABC 中，不妨设 abc a+bca+b+c2c 即 p2cc， 2 p 另一方面 ca 且 cb2ca+b 3c。 3 p cpcba 因此 23 p c p 3、证明：ACB90，DEBC，DFAC，DEAC，DEBC， 从而ECFDECDFC90。 CD 是角平分线 DED

14、F，即知四边形 CEDF 是正方形。 在 RtAED 和 RtDFB 中， DEBC ADEB 16 米 20 米 A B C D 甲乙E A B D C E RtAEDRtDFB ，即 DEDFAEBF CDDEDF， BF DE DF AE 22 BFAEDFDEDFDECD2222 2 4、解：这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k1 个数，使其中任意三个数都不能成为三 边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条件的 数组，当 k4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或 等于已得数组中最大的两个数之和

15、，所以，为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最 大的两数之和，这样得： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2an显然总有 ai大于等于中的第 i 个数，所 以 n16k1，从而知 k 的最小值为 17。 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（9） （面积及等积变换） 一、选择题： 1、如图 9-1，在梯形 ABCD 中，ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 P 在 AB 的延长线上，且 BPCD，则图形中面积相等的三角形有（ ） A. 3 对B. 4 对 C. 5

16、 对D. 6 对 2、如图 9-2，点 E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 的中点，连 AF、CE，设 AF、CE 交于点G，则 等于（ ） ABCD AGCD S S 矩形 四边形 A. B. C. D. 6 5 5 4 4 3 3 2 3、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且，若在边 AC 上取一点 E，使四边形 AB AD 3 1 DECB 的面积为，则的值为（ ） 4 3 EA CE A. B. C. D. 2 1 3 1 4 1 5 1 4、如图 9-3，在ABC 中，ACB90，分别以 AC、AB 为边，在ABC 外 作正方形 ACEF 和正方形 AGHB

17、，作 CKAB，分别交 AB 和GH 于 D 和 K，则正方形 ACEF 的面积 S1与矩形 AGKD 的面积 S2的大小关 系是 （ ） A. S1S2B. S1S2 C. S1S2D. 不能确定，与的大小有关 AB AC 5、如图 9- 4，四边形 ABCD 中，A60，BD90， AD8，AB7，则 BC+CD 等于 （ ） A. B. 5C. 4D. 336333 6、如图 9-5，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设 a1，则正方形的面积为 （ ） A. B. 2 53 C. D. 2 537 2 15 2 )21 ( 7、如图 9-6，矩形 ABCD 中，ABa，BCb，

18、M 是 BC 的中点，DEAM，E 为垂足，则 DE（ ） A. B. 22 4 2 ba ab 22 4ba ab PA D C B O 图 9- 1 A B CD E FG 图 9-2 A B C D HGK F E 图 9-3 A B C D 图 9-4 a b a a b b 图 9-5 a b A BC D E M 图 9-6 C. D. 22 4 2 ba ab 22 4ba ab 8、O 为ABC 内一点，AO、BO、CO 及其延长线把ABC 分成六个小三角 形，它们的面积如图 9-7 所示，则 SABC（ ） A. 292B. 315 C. 322D. 357 二、填空题 1、

19、如图 9-8，梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 a，高为 h，则图中阴影部分的面积 为 2、如图 9-9，若等腰三角形的底边上的高等于 18cm，腰上的中线等 于 15cm，则这个等腰三角形的面积等于 3、如图 9-10，在ABC 中，CEEB12，DEAC， 若ABC 的面积为 S，则ADE 的面积为 4、如图 9-11，已知 D、E 分别是ABC 的边 BC、CA 上的点，且 BD4，DC1，AE5，EC2。连结 AD 和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作 PQCA，PRCB，它们分别与边 AB 交于点Q、R，则 PQR 的面积与ABC 的面积之比为 5、如图 9-12，梯形

20、 ABCD 中， ADBC， ADBC 25，AFFD11，BEEC23，EF、CD 延长线交于G，用最简 单的整数比来表示，SGFDSFEDSDEC 6、如图 9-13，P 是矩形 ABCD 内一点，若 PA3，PB4，PC5，则 PD 三、解答题 1、如图 9-14，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，F 是 CD 上 的点，SABESADFS矩形 ABCD。 3 1 求：的值。 CEF AEF S S A BC D E F O 84 x y y40 y 30 y 35 y 图 9-7 图 9- 8 A E D C F B A M C D B G 图 9-9 A C E B D 图

21、 9-10 A B QR D C E P 图 9-11 A BC D G F E 图 9-12 A BC D P 图 9-13 A D F C EB 图 9-14 2、一条直线截ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F。 求证：1 FB AF EA CE DC BD 3、如图 9-16，在 ABCD 中，P1、P2、P3Pn-1是 BD 的 n 等分点，连结 AP2，并延长交 BC 于点 E，连结 APn-2并延长交 CD 于点 F。 求证：EFBD 设 ABCD 的面积是 S，若 SAEFS，求 n 的值。 8 3 4、如图 9-17，ABC 是等腰三角形，C90，O

22、 是ABC 内一点，点 O 到ABC 各边的距离 等于 1，将ABC 绕点 O 顺时针旋转 45得到A1B1C1，两三角形的公共部分为多边形 KLMNPQ。 证明：AKL，BMN，CPQ 都是等腰直角三角形。 求证：ABC 与A1B1C1公共部分的面积。 A B CD E F 图 9-15 D B A C E F P1 P2 Pn-2 Pn-1 图 9-16 图 9-17 A B C C1 A1 B1 L M K N Q P O 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（9）参考答案）参考答案 一、选择题： 1、C。 ACDBCPBCDBCPBCDACDBOCAODABDABC SSSSSSSSSS

23、 ， 2、D。连结 AC，有，则3:1: ABCAGC SS 。 ABCDABCDABCDACDAGCAGCD 3 2 2 1 2 1 3 1 S 矩形矩形矩形四边形 SSSSS 3、B。如图联结 BE， ADE S 4 1 4 3 1 设，则x AC CE x ABE 1S 4 1 4 1 3 1 S x x ADE ， 3 1 EA CE 4、A。解：，因为，AGADSACS 2 2 1 ，ACBRtADCRt 所以，即，又因为 ABAG， AB AC AC AD ABADAC 2 所以，所以应选 A。 2 2 1 SAGADACS 5、B。解：如图延长 AD，BC 相交于 E，在 RtA

24、BE 中， 可求得 AE14，于是 DEAE，AD=6，又 BE，在 RtCDE 中，可求得3 CD2，CE4，于是33 BCBECE，BC+CD5。33 6、A。解：由右图与左图的面积相等，得，已知，所以有 2 )()(bababb1a ，即，解得，从而正方形 2 ) 1() 12(bbb01 2 bb 2 51 b A E D BC A B C D E 60 的面积为。 2 537 ) 2 53 () 1( 22 b 7、A。解：由ADEABM，得 DE 22 224 2 ) 2 1 ( ba ab ba ab AM ABAD 8、B。 ，即 CDO ACO BDO ABO S S DO

25、AO S S 30 35 40 84xy 又，即 CEO BCO BDE ABO S S OE BO S S 35 7084 x y ，解之得 842 11234 yx yx 56 70 y x SABC84+40+30+35+70+56315。 二、填空题 1、。解：延长 AF 交 DC 的延长线于 M，则ABFMCF，ahS 2 1 阴影 AFFM，SABFSCMF。S阴影SDFM，AFFM SADFSMDF ，。 ABCD S 2 1 梯形阴影 SahS ABCD梯形 ahS 2 1 阴影 2、144。解：作 MNBC 于 N，AMMC，MNAD，DNNC。 ，在 RtBMN 中，BM1

26、5，MN9。BN12，而9 2 1 ADMN BDDC2DN，3DN12，DN4，BC16，S ABC= ADBC1816144。 2 1 2 1 3、SADES。解：CEEB12，设 CEk，则 EB2k，DEAC， 9 2 而 BEBC2k3k23，SBDES 2 ) 3 2 ( s S BDE 9 4 DEAC ，则 SADE SBDES 2 1 BE CE BD AD 2 1 BD AD S S BDE ADE 2 1 9 2 4、。解：过点 E 作 EFAD，且交 BC 于点 F，则，所以 1089 400 5 2 EA CE FD CF 。因为 PQCA，所以 7 5 25 5 C

27、DFD 33 28 7 5 4 4 BF BD BE BP EA PQ 于是。因为 PQCA，PRCB，所以QPRACB， 33 140 PQ 因为PQRCAB 故。 1089 400 ) 33 20 ()( 22 CA PQ S S CAB PQR 5、126。解：设 AD2，则 BC5，FD1，EC3 GFGEFDEC13，GFFE12，SGFDSFEDGFFE12 显然有 SEFDSCEDFDEC13，SGFDSFEDSCED126。 6、3。解：过点 P 作 AB 的平行线分别交 DA、BC 于 E、F，过 P 作 BC 的平行线分2 别交 AB、CD 于 G、H。设 AGDHa，BG

28、CHb，AEBFc，DECFd，则 ， 222222222222 CPadDPcbBPdbcaAP， 于是，故， 2222 DPBPCPAP18453 2222222 BPCPAPDP DP3。2 三、解答题 1、设 BCa，CDb，由，得。BEa， 则 ABCD 3 1 矩形 SS ABE ab 3 1 BEb 2 1 3 2 ECa。同理 FCb，。 3 1 3 1 abba 18 1 3 1 3 1 2 1 S CEF ，abCDADECS AECD 3 2 )( 2 1 梯形 ababaabSS AEF 18 5 3 1 18 1 3 2 SS ADFCEFAECD 梯形 。 1 5

29、18 1 18 5 ab ab S S CEF AEF 2、答案提示：连结 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比；再约分。 3、解：因 ADBC，ABDC，所以DAPBEPABPFDP nn2222 ， 从而有 2 2AP 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n BP DP EP n DP BP FP AP n n n n ， 即 所以 EFBD FP AP FP AP n n 2 2 2 2 由可知，所以，同理可证 2 2 nAB DF S n S AFD 2 1 S n S ABE 2 1 显然，所以， 2 2 nDC DF 2 4 1 n n DC DF DC DFDC D

30、C FC 从而知，已知所以有S n n S ECF 2 ) 2 4 ( 2 1 , 8 3 SS AEF ，即S n n S n SS 2 ) 2 4 ( 2 1 2 1 2 8 3 8 3 )2(2 )4( 2 2 1 2 2 n n n 解方程得 n6。 4、证明：连结 OC、OC1，分别交 PQ、NP 于点 D、E，根据题意得COC145。 点 O 到 AC 和 BC 的距离都等于 1，OC 是ACB 的平分线。 ACB90 OCEOCQ45 同理OC1DOC1N45 OECODC190 CQPCPQC1PNC1NP45 CPQ 和C1NP 都是等腰直角三角形。 BNMC1NP45 A1

31、QKCQP45 B45 A145 BMN 和A1KQ 都是等腰直角三角形。 B1MLBMN90，AKLA1KQ90 B145 A45 B1ML 和AKL 也都是等腰直角三角形。 在 RtODC1和 RtOEC 中， ODOE1，COC145 OCOC1 CDC1E-122 PQNP2（-1）2-2，CQCPC1PC1N（-1）222222 223)22( 2 1 2 CPQ S 延长 CO 交 AB 于 H CO 平分ACB，且 ACBC CHAB， CHCOOH+12 ACBCA1C1B1C1（1）2222 223)22( 2 1 2 ABC S A1QBN（2+）（2-2）（2）2222

32、KQMN 2 2 2 1)2( 2 1 2 BMN S AK（2+）（2）2222 1)2( 2 1 2 AKL S 224 11)223)223( S-S-S-S AKLBMNCPQABCKLMNPQ （ 多边形 S 初中数学竞赛专项训练（初中数学竞赛专项训练（10） （三角形的四心及性质、平移、旋转、覆盖） 一、填空题： 1、G 是ABC 的重心，连结 AG 并延长交边 BC 于 D，若ABC 的面积为 6cm2， 则 BGD 的面积为（ ） A. 2cm2B. 3 cm2 C. 1 cm2D. cm2 2 3 2、如图 10-1，在 RtABC 中，C90，A30，C 的平 分线与B 的

33、外角的平分线交于 E 点，则AEB 是（ ） A. 50B. 45C. 40D. 35 3、在ABC 中，ACB90，A20，如图 10-2，将 ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角 到ACB的位置， 其中 A、B分别是 A、B 的对应点，B 在 AB上，CA交 AB 于 D，则BDC 的度数为（ ） A. 40B. 45 C. 50D. 60 4、设 G 是ABC 的垂心，且 AG6，BG8，CG10，则三角形的面积为（ ） A. 58B. 66C. 72D. 84 5、如图 10-3，有一块矩形纸片 ABCD，AB8，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将AE

34、D 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，CEF 的面积为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 6、在ABC 中，A45，BCa，高 BE、CF 交于点 H，则 AH（ ） A. B. C. aD. a 2 1 a 2 2 a2 7、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心，A1、B1、C1分别是点 I 关于 BC、CA、AB 的 对称点，若点 B 在A1B1C1的外接圆上，则ABC 等于（ ） A C B E 图 10-1 A B C D AB 图 10-2 A B CD D A E B C A D E B C F 图 10-3 A. 30B. 45C. 60D. 90 8、

35、已知 AD、BE、CF 是锐角ABC 三条高线，垂心为 H，则其图中直角三角形的个数 是（ ） A. 6B. 8C. 10D. 12 二、填空题 1、如图 10-4，I 是ABC 的内心，A40，则CIB 2、在凸四边形 ABCD 中，已知 ABBCCDDA2231，且ABC90，则 DAB 的度数是 3、如图 10-5，在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，将矩形 ABCD 沿对角线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形 覆盖桌面的面积是 4、在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）若现 在时间恰好是 12 点整，则经过秒钟后，OAB 的面积第一次达到最

36、大。 5、已知等腰三角形顶角为 36，则底与腰的比值等于 6、已知 AM 是ABC 中 BC 边上的中线，P 是ABC 的重心，过 P 作 EF（EFBC） ， 分别交 AB、AC 于 E、F，则 AF CF AE BE 三、解答题 1、如图 10-6，在正方形 ABCD 的对角线 OB 上任取一点 E，过 D 作 AE 的垂线与 OA 交于 F。求证：OEOF A C I B D 图 10- 4 A BC D E D 图 10-5 2、在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF，过 E、F 分别作 CA、CB 的垂线相交于 P，设线段 PA、PB 的

37、中点分别为 M、N。 求证：DEMDFN PAEPBF 3、如图 10-8，在ABC 中，ABAC，底角 B 的三等分线交高线 AD 于 M、N，边 CN 并延长交 AB 于 E。 求证：EMBN 4、如图 10-9，半径不等的两圆相交于 A、B 两点，线段 CD 经过点 A，且分别交两于 C、D 两点，连结 BC、CD，设 P、Q、K 分别是 BC、BD、CD 中点 M、N 分别是弧 BC 和弧 BD 的中点。 求证： QB NQ PM BP KPMNQK A E C B F D P M N 图 10-7 A B CD M N K P Q 图 10-9 A BC N M E D 图 10-8

38、 数学竞赛专项训练（数学竞赛专项训练（10）参考答案）参考答案 一、选择题 1、解：。选 C。)( 1 2 1 3 1 3 1 2 cmSSS ABCABDBGD 2、解：在 RtABC 中，C90，A30，则ABC60，因为 EB 是B 的 外角的平分线，所以ABE60，因为 E 是C 的平分线与B 的平分线的交点， 所以 E 点到 CB 的距离等于 E 到 AB 的距离，也等于 E 点到 CA 的距离，从而 AE 是A 的外角的平分线。 所以，AEB180607545。应选 B。 75 2 150 BAE 3、解：依题意在等腰三角形 BCB 中，有BCB，B902070。 所以 18027

39、040，即DCA40， 从而 BDCDCAA402060。应选 D。 4、解：设 AD 为中线，则 DGAG3，延长 GD 到 G，DGDG3， 2 1 。应选 C。7232468 2 1 GBCABCCGGGBC SSSS 5、解：由折叠过程知，DEAD6，DAECEF45，所以CEF 是等腰直角 三角形，且 EC862，所以 SCEF2。故选 A。 6、解：取ABC 的外心及 BC 中点 M，连 OB、OC、OM，由于A45，故 BOC90，OMa，由于 AH2OM，AHa。应选 C。 2 1 7、解：因为 IA1IB1IC12r（r 为ABC 的内切圆半径） ，所以 I 点同时是A1B1

40、C1 的外接圆的圆心，设 IA1与 BC 的交点为 D，则 IBIA12ID，所以IBD30。 同理，IBA30，于是ABC60。故选 C。 8、图中有 6 个直角，每一个直角对应两个直角三角形，共有 12 个直角三角形： ADB、ADC、BEA、CFA、CFB、HDB、HDC、HEC、HEA、 HFA、 BEC、HFB。故选 D。 二、填空题 1、解： 110 2 40 90 2 90) 22 () 22 ( ACABA DICBIDBIC 2、解：连 AC，即 ADa，则在等腰 RtABC 中 22222222 )3(8ADCDaaaBCABAC 有CAD90 DABDACCAB90+45

41、135。 3、解：设折叠后所成圆形覆盖桌面的面积为 S，则： ECECABS SSSSSS AEC AECABCDAECCADABC 2 5 2 1 1 矩形 由 RtABERtCD1E 知 ECAE 设 ECx，则，即 222 xBEAB 222 )12(5xx 解得： 48 2035 48 845 125 48 845 24 169 2 5 24 169 SSx AEC 4、解：答：。 59 15 15 设 OA 边上的高为 h，则 hOB，所以OBOAhOAS OAB 2 1 2 1 当 OAOB 时，等号成立，此时OAB 的面积最大。 设经过 t 秒时，OA 与 OB 第一次垂直，又因

42、为秒针 1 秒钟旋转 6 度，分针 1 秒钟 旋转 0.1 度，于是（60.1）t90，解得 t=。 59 15 15 5、解：设等腰三角形底边为 a，腰为 b，作底角B 的平分线交 AC 于 D，则 BCD、DAB 均为等腰三角形。70)36180( 2 1 B BDADBCa，而 CDba 由BCDABC a ab b a BC CD AB BC 即 则有（取正） 2 15 01)()( 2 b a b a b a 解得 6、解：如图分别过 B、C 两点作 BG、CK 平行于 AM 交直线 EF 于 G、K，则有 AP CK AF CE AP BG AE BE 两式相加 又梯形 BCKG

43、中，PM AP CKBG AF CF AE BE （BG+CK） ，而由 P 为重心得 AP2PM 2 1 A B M C KF D E G 故1 2 2 PM PM AF CF AE BE 三、解答题 1、证明：正方形 ABCD OADE DFAE F 是DAE 的垂心 EFAD EFAB OAOB OEOF 2、证明：如图，据题设可知 DM 平行且等于 BN，DN 平行且等于 AM， AMDBND M、N 分别是 RtAEP 和 RtBFP 斜边的中点 EMAMDN FNBNDM 又已知 DEDF DEMDFN 由上述全等三角形可知EMDFND AMEBNF 而AME、BNF 均为等腰三角

44、形 PAEPBF。 3、证明：连结 MC ABBC，ADBC 123 456 又78 M 是AEC 的内心 EM 是AEN 的平分线 MN AM EN AE 又EBN2NBD21 ENBNBD421 EBEN ENBN MN AM EB AE 4、证明：如图： 因为 M 是的中点，P 是 BC 的中点，所以 BC MPBC，BPM90，连结 AB，则有PBMCAB（180 2 1 2 1 DAB）90DAB90NBDQNB。 2 1 所以 RtBPMRtNQB。于是有 BQ NQ MP BP 因为 KPBD，且 KPBDBQ，所以，四边形 PBQK 是平行四边形。于是， 2 1 A BC N

45、M E D 41 2 3 5 6 78 有 BPKQ BQKP 由式得。又KPMKPB90 KP NQ MP KQ KQB90NQK，所以KPMNQK。 初中数学竞赛试题精选初中数学竞赛试题精选 1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位 数可以被（ ）整除。 A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 解：依题意设六位数为，则abcabc a105b104c103a102b10ca102（1031）abcabc b10（1031）c（1031）（a103b10c） （1031） 1001（a103b10c） ，而 a103b10c 是整数，所以能

46、被 1001 整除。 故选 C 方法二：代入法 2、若，则 S 的整数部分是_ 2001 1 1981 1 1980 1 1 S 解：因 1981、19822001 均大于 1980，所以，又90 22 1980 1980 1 22 1 S 1980、19812000 均小于 2001，所以，从而知 22 21 90 22 2001 2001 1 22 1 S S 的整数部分为 90。 3、设有编号为 1、2、3100 的 100 盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都 是关闭状态，现有 100 个学生，第 1 个学生进来时，凡号码是 1 的倍数的开关拉了一下， 接着第二个学生进来，由号码

47、是 2 的倍数的开关拉一下，第 n 个（n100）学生进来， 凡号码是 n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被 100 整除 的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。 解：首先，电灯编号有几个正约数，它的开关就会被拉几次，由于一开始电灯是关的， 所以只有那些被拉过奇数次的灯才是亮的，因为只有平方数才有奇数个约数，所以 那些编号为 1、22、32、42、52、62、72、82、92、102共 10 盏灯是亮的。 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比进价高 a%，后因市场的变化，该 店把零售价调整为原来零售价的 b%出售，那么调价后每件衬衣的

48、零售价是（ ） A. m(1+a%)(1-b%)元B. ma%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元 解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件 m（1a%）元，因调整后的零售价为原零售 价的 b%，所以调价后每件衬衣的零售价为 m（1a%）b%元。 应选 C 5、如果 a、b、c 是非零实数，且 a+b+c=0，那么的所有可能 |abc abc c c b b a a 的值为（ ） A. 0B. 1 或-1C. 2 或-2D. 0 或-2 解：由已知，a，b，c 为两正一负或两负一正。 当 a，b，c 为两正一负时： ；0 | 1 | 1 | abc abc c c

49、b b a a abc abc c c b b a a 所以， 当 a，b，c 为两负一正时： 0 | 1 | 1 | abc abc c c b b a a abc abc c c b b a a 所以， 由知所有可能的值为 0。 |abc abc c c b b a a 应选 A 6、在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，若B60，则 的值为（ ） bc a ba c A. B. 2 1 2 2 c A BC a b C. 1D. 2 解：过 A 点作 ADCD 于 D，在 RtBDA 中，则于B60，所以 DB，AD 2 C 。在 RtADC 中，DC2AC2AD2，所

50、以有（a）2b2C2，整理得C 2 3 2 C 4 3 a2c2=b2ac，从而有1 )( 2 2222 bbcabac bcabca bcba abacbc bc a ba c 应选 C 7、设 ab0，a2+b2=4ab，则的值为（ ba ba ） A. B. C. 2D. 336 解：因为(a+b)2=6ab，(a-b)2=2ab，由于 ab0，得，abbaabba26， 故。3 ba ba 应选 A 8.已知 a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式 a2+b2+c2-ab-bc- ca 的值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 32) 1() 1( 2 1 211 )()()( 2 1 222 222222 原式 ， 又 ，解： accbba accbbacabcabcba 9、已知 abc0，且 a+b+c0，则代数式的值是（ ab c ca b bc a 222 ） A. 3B. 2C. 1D