2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的数量积与平面向量应用举例(解析)

1、2016届高考数学一轮复习教学案平面向量的数量积与平面向量应用举例知识能否忆起一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如

2、果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a|2，|a|.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对R，(ab)(a)ba(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos .(为a与b的夹角)小题能否全取1已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A|a|B|ab|a|b|C(ab)ab D|ab|a|b|解析：选B|ab|a|b|cos |，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知B是错误的2已知|a|4，|b|

3、3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()A2 B.C2 D解析：选D|b|cos 3cos 120.3(2012重庆高考)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A. B.C2 D10解析：选Bab，ab0，即x20，x2.a(2,1)，a25，b25，|ab|.4已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：ab23.答案：35已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角_.解析：a(ba)aba22，ab2a23.cos .向量a与b的夹角为.答案：1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量

4、的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 (2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围 2向量运算与数量运算的区别 (1)若a，bR，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0. (2)若a，b，cR，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc. (3)若a，b，cR，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的

5、 (4)若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立平面向量数量积的运算典题导入例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()A6B5C4 D3 (2) (2012浙江高考)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.自主解答(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30.即183x30，解得x4. (2) 如图所示，MC，()()22|2|292516.答案(1)C(2)16由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式

6、ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解以题试法1(1)(2012天津高考)在ABC中，A90，AB1，AC2.设点P，Q满足，(1) ，R.若2，则()A. B.C. D2解析：选B由题意可知(1) ，且0，故(1) 222.又|1，|2，代入上式解得.(2)(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.又因为e1，e2为单位向量，夹角为，所以b1b23283186.答案：6两平面向量的夹角

7、与垂直典题导入例2(1)(2012福州质检)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()A150B90C60 D30(2)(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.自主解答(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与c的夹角为90.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0.又a与b不共线，cos 1.k1.答

8、案(1)B(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，试求a与b的夹角解：设|a|m(m0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0180，所以120，即a，b的夹角为120.由题悟法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系以题试法2(1)设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则a

9、(ab)的一个充分不必要条件是()Ax0或2 Bx2Cx1 Dx2(2)已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，向量d如图所示，则()A存在0，使得向量c与向量d垂直B存在0，使得向量c与向量d夹角为60C存在0，使得向量c与向量d共线解析：(1)选Ba(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故a(ab)2(x1)220x0或2，故x2是a(ab)的一个充分不必要条件(2)选D由图可知d4a3b4，故D正确；对于A，由图知若向量c与向量d垂直，则有0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60；对于C，若c)自主解答(1)由题意知，f(x)2cos2xsin 2x1co

10、s 2xsin 2x12cos，f(x)的最小正周期T，ycos x在2k，2k(kZ)上单调递减，令2k2x2k，得kxk.f(x)的单调递减区间，kZ.(2)f(A)12cos1，cos1.又2Ac，b3，c2.由题悟法向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题以题试法4(1)(2012朔州调研)质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4

11、，则F3的大小为()A2B2C2 D6(2)若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC为()A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：(1)选A由已知条件F1F2F30，则F3F1F2，FFF2|F1|F2|cos 6028.因此，|F3|2.(2)选B由()(2)0，可知()0，设BC的中点为D，则2，故0.所以.又D为BC的中点，故ABC为等腰三角形1(2012豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a(x1,2)和向量b(1，1)平行，则|ab|()A.B.C. D.解析：选C依题意得，(x1)210，得x3，故ab(2,2)(1，1)(1,1)，所以|ab|.

12、2(2012山西省考前适应性训练)已知向量a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为()A. B.C. D.解析：选D依题意得，向量a在b方向上的投影为.3已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1,1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2 B2C0 D2或2解析：选Bnn()nn(1，1)(1，1)2022.4(2012湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，1，则BC()A. B.C2 D.解析：选A1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos B，即94BC222.BC.5已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab

13、的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选B将|ab|ab|两边同时平方得ab0；将|ab|a|两边同时平方得b2a2，所以cos .6如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 B3C. D.解析：选D建系如图设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，(xCxB，yC)，(xB,1)，xCxBxBxC(1)xB，yC，(1)xB，)，(0,1)，.7(2013“江南十校”联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a，则a与b的夹角是_解析：设向量a，b的夹角为.由(ab)a得(ab)a0，即|a|2ab0，|a|2，ab4，|a|b|cos 4，又|b|4，cos ，即.向量

14、a，b的夹角为.答案：8(2012新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210.|b|3.答案：39(2012大连模拟)已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_解析：ab，x4.b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，解得y4.向量(8,8)，|8.答案：810已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45.(1)求b；

15、(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.解：(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120(n1)n6或n(舍)b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c与b同向，故可设cb(0)(ca)a0，ba|a|20.cb(1,3)11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(

16、a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直12设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小解：(1)证明：因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，所以ab与ab垂直(2)由|ab|ab|，两边平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0.而|a|b|，所以ab0，则cos sin 0，即cos(60)0，所以60k18090，即k18030，kZ.又0360，则3

17、0或210.1已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析：选B因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，即ab0，故ab.2(2012山东实验中学四诊)ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若2，且|，则向量在向量方向上的射影为()A. B.C3 D解析：选A由已知条件可以知道，ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此ABC是直角三角形，且A.又|，所以C，B，AB，AC1，故在上的射影|cos.3已知(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若，求x，y的值及四边形ABCD的

18、面积解：(1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立化简，得y22y30.解得y3或y1.故当y3时，x6，此时(0,4)，(8,0)，所以SABCD|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，SABCD|16.1ABC中，AB边的高为CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选D如图，ab0，ab，ACB90，AB.又CDAB，AC2ADAB，AD.(ab)ab.2(2012郑州质检)若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9x3y的最小值为()A12 B2C3 D6解析：选D依题意得4(x1)2y0，即2xy2,9x3y32x3y2226，当