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1、线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义： 设A为n阶矩阵，如果存在数及非零列向量，使得A=，称是矩阵A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义：|E-A|称为矩阵A的特征多项式（的n次多项式）。|E-A |=0称为矩阵A的特征方程（的n次方程）。注:特征方程可以写为|A-E|=03、重要结论：（1）若为齐次方程Ax=0的非零解，则A=0，即为矩阵A特征值=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，1)T为特征值为k的特征向量。（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的

2、：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|E-A|=0，得矩阵A的n个特征值1，2，n注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作1=2=s=实数，不能省略)（2）解齐次方程（iE-A）=0，得属于特征值i的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（iE-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量 1n-r（iE-A）ki（3）设A的特征值为1，2，n，则|A|=i，i=aii（4）当r（A）=1，即A=T，其中，均为n维非零列向量，则A的特征值为1=aii=T=T，2=n=0（5）设是矩阵A属于特

3、征值的特征向量，则Af（A）ATA-1A*P-1AP（相似）f（）-1|A|-1/P-1（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作AB8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP= ，称A可相似对角化。注：Ai=ii（i0，由于P可逆），故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量10、相似对角化的充要条件（1）A有n个线性无关的特征向量（2）A的k重特征值有k个线性无关的特征向量11、相似对角化的充分条件：（1）A有n个不同的特征值（不同特征值的特征向量线性无关）（2）A为实对称矩阵12、重要结论：（1）若A可相似对角化，则r（A）为非零特征值的个数，n-r（A）为零特征值的个数（2）若A不可相似对角化，r（A）不一定为非零特征值的个数（四）实对称矩阵13、性质（1）特征值全为实数（2）不同特征值的特征向量正交（

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