高一14方程的根与函数的零点

1、方程的根与函数的零点,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实数根,函数的图象 与x轴的交点,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,方程ax2 +bx+c=0 (a0

2、)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等的 实数根x1 、x2,方程的根是函数的图象与x轴交点的横坐标,对于函数 ，我们把使 的实数x 叫做函数 的零点,问题1：函数的零点是一个坐标点吗？,注1：函数的零点不是坐标点，而是函数图像与 X轴交点的横坐标,零点的定义,P87,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x

3、轴有交点,函数y=f(x)有零点,1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：,（1）x23x50；,（2）2x(x2)3；,（3） x2 4x4；,（4）5 x2 2x3 x2 5.,解：令f(x)=x23x5, 作出函数f(x)的图象，如下：,它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根。,(1) x23x50,解：2x(x2)3可化为 2x24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函数f(x)的图象,如下：,它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根。,(2) 2x(x2)3,解：x2 4x4可化为x24x 40，令f(x)= x24x4，作出 函数f(

4、x)的图象，如下：,它与x轴只有一个交点，所以方程x2 4x4有两个相等的实数根。,(3) x2 4x4,解：5x2 +2x3x2 +5可化为 2x2 2x50，令f(x)=2x2 2x5 , 作出函数f(x)的图象， 如下：,它与x轴有两个交点，所以 方程5x2 +2x3x2 +5有两个不 相等的实数根。,(4) 5 x2 2x3 x2 5,观察二次函数f(x)=x22x3的图象:,2,1 f(2)0 f(1)0 f(2)f(1)0 （2,1）x1 x22x30的一个根,2,4 f(2)0 f(2)f(4)0 （2,4）x3 x22x30的另一个根,观察对数函数f(x)=lgx的图象:,0.

5、5 , 1.5 f(0.5)0 f(0.5)f(1.5)0 （0.5 , 1.5) x1 lgx=0的一个根.,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。,注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。,注1：函数图象必须是连续不断的曲线,注2：若f(a)f(b)0，则零点一定存在,注3：若f(a)f(b)0，则零点一定存在，且个数至少有一个,注4：连续不断的曲线怎么理解？什么样的函数图象是连续不断的？,探究1

6、如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，,问是否有f(a)f(b)0 函数y=f(x)在区间(a,b) 内一定没有零点吗？,探究3如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象不是连续不断的一条曲线, f(a)f(b)0那么函数y=f(x)在区间(a,b) 内一定有零点吗？,由表3-1和图3.13可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(,） 上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有 且

7、只有一个零点。,2(1) f(x)= x33x+5,解：作出函数的图象，如下：,因为f(3)30,所以f(x)= 2x ln(x2)3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ln(x2)3是(2，）上的增函数， 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。,2(2) f(x)=2x ln(x2)3,解：作出函数的图象，如下：,因为f(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函数，所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。,2(3) f(x)=ex1+4x4,解：作出函数的图象，如下：,因为f(4)

8、40, f(2)20, 所以f(x)= 3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间 (4,3 )、 (3，2,)、 (2,3 )上各有 一个零点。,2(4) f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,.,（1）y=2x+1,例1、求函数 的零点,练习：求下列函数的零点：,练习1：观察下列图象，指出函数的零点,-4,-1,2,6,问题：若不会解方程又如何判断一个 函数的零点呢？,求方程f(x)=0的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。但对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们就将方程与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根,例1、已知函数 。问：方程 在区间 内有没有实数解？为 什么？,若函数 只有一个零 点，求实数a的取值范围,解:由己知得:方程ax2-2x+1=0只有唯一解, 从而当a0时,由=b2-4ac=0得:,44a=0, 解得,a=1.,当a=0时,方程-2x+1=0也符合题意, 故a的取值范围是0,1.,能力提升,能力提升,变式：,方程 的实数根 函数 的图象与x轴的交点的横坐标 函数 的零点,课堂小结,零点存在性