二次函数与销售问题

1、二次函数与实际问题,第一课时商品销售最大利润问题,塔耳中学：陈金咏,1,活动一：基础扫描,1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .,2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称 轴是 ，顶点坐标是 . 当a0时，抛 物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值， 是 。,抛物线,直线x=h,(h，k),抛物线,上,低,小,下,高,大,2,销售问题中的等量关系式回顾,1、每件商品的利润,=,售价-进价,2、商品的总利润,=,每件商品的利润X销售量,3、商品的总利润,=,总收入-总支出,4、

2、商品的利润率,=,3,活动二：利用二次函数解决销售最大利润问题,例1：已知某商品的进价为每件40元。现在:的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？,启发思考：,此商品的价格有几种调整方案？,如何定价利润最大，实质是比较哪几种调整方案的最大利润？,分析：,此商品的价格有两种调整方案：涨价方案和降价方案,分别求出涨价时的最大利润和降价的最大利润，再比较两个最值的大小，从而决定调价方案。,4,涨价时： 解：设总利润为y元，每件商品涨价x元，则现售价为 _元，每件商品的利润为_元,

3、现销量为_件，,y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250,(0x30),怎样确定x的取值范围,因为a=-100，所以抛物线开口向下，顶点（5,6250）为最高点 当x=5时，y的最大值是6250元. 定价为：60+5=65元时，利润最大为6250元,60+x,60+x-40,300-10 x,5,降价时： 解：设总利润为y元，每件商品降价x元，则现售价为 _元，每件商品的利润为_元,现销量为_件，,y=(

4、60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125,怎样确定x的取值范围,因为a=-200，所以抛物线开口向下，顶点（2.5,6125）为最高点 当x=2.5时，y的最大值是6125元. 定价为：60-2.5=57.5元时，利润最大为6125元,61256250,答：商品定价为65元，商品利润最大为6250元。,60-x,60-x-40,300+20 x,（0x20）,6,解这类题目的一般步骤,1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；,

5、2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。,7,活动三：巩固练习,某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?,解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x) （0x 20） =-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 a=-20 0 抛物线开口向下，顶点（5,4500）为最高点,当x=5时，y的最大值是4500元.

6、 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元,8,活动四：深化拓展1,已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。(商场规定试销期间每件商品获利不得低于40%又不得高于60%)市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元,每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？,9,涨价时： 解：设总利润为y元，每件商品涨价x元，则现售价为 _元，每件商品的利润为_元,现销量为_件，,y =(60-40+x)(300-10 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x ) +6

7、000 =-10(x-5)2-25 +6000 =-10(x-5)2+6250,60+x,60+x-40,300-10 x,（0x4）,怎样确定x的取值范围, 0x4 x=4时，y=6240元最大 涨价时，定价为60+4=64元时，商品总利润最大为6240元,10,降价时： 解：设总利润为y元，每件商品降价x元，则现售价为 _元，每件商品的利润为_元,现销量为_件，,y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125,61256240,答：商品定价为64元，商品

8、利润最大为6240元。,60-x,60-x-40,300+20 x,怎样确定x的取值范围,0x4, 0x4 x=2.5时，y=6125元最大 降价时，定价为60-2.5=57.5元时，利润最大为6125元最大,11,深化拓展2,商场对某种商品进行市场调查，1至6月该种商品的销售情况如下： 销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示； 销售收入q（元/千克）与销售月份x满足q=-1.5x+15； 销售量m（元/千克）与销售月份x满足m=100 x+200; 根据图形，求出p与x之间的函数关系式 求该商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式， 并求出哪个月的利润最大？,思路导析：

9、p与x是一次函数关系 销售月利润=（销售收入-成本）x销售量,12,解：设p=kx+b p=kx+b过（1,9）（6,4）,p=-x+10 (1x6 ),13,（2）y=(q-p)m,=-50 x2+400 x+1000,a=-500 抛物线开口向下，顶点（4,1800）为最高点。 x=4时，y=1800元最大 答：4月份的月销售利润最大为1800元,（1x6）,14,活动五：小结本课内容,今天我们共同探讨了哪些内容？你有什么收获？,15,销售问题中的等量关系式回顾,1、每件商品的利润,=,售价-进价,2、商品的总利润,=,每件商品的利润X销售量,3、商品的总利润,=,总收入-总支出,4、商品的利润率,=,16,解这类题目的一般步骤,1）列出二次函数