数值分析上机指导书

1、数值分析上机指导书数值分析上机指导书 曾繁慧曾繁慧 编著编著 辽宁工程技术大学 理学院 目目录录 MATLAB 平台简介.4 实验 1 数值计算误差与 MATLAB 语言.4 实验 2 非线性方程与 MATLAB 应用.5 实验 3 线性方程组与 MATLAB 应用.6 实验 4 插值法与 MATLAB 应用.8 实验 5 函数逼近与 MATLAB 应用.4 实验 6 数值微积分与 MATLAB 应用.6 实验 7 常微分方程与 MATLAB 应用.7 MATLAB 平台简介平台简介 MATLAB 名字由 MATrix 和 LABoratory 两词的前三个字母组合而成。 那是 20 世纪七

2、十年代后期的事：时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的 Cleve Moler 教授出于减轻 学生编程负担的动机， 为学生设计了一组调用 LINPACK 和 EISPACK 库程序的 “通俗易用” 的接口，此即用 FORTRAN 编写的萌芽状态的 MATLAB。经几年的校际流传，在 Little 的 推动下，由 Little、Moler、Steve Bangert 合作，于 1984 年成立了 MathWorks 公司，并把 MATLAB 正式推向市场。从这时起，MATLAB 的内核采用 C 语言编写，而且除原有的数 值计算能力外，还新增了数据图视功能。MATLAB 以商品形式出现后，仅短短几

3、年，就以 其良好的开放性和运行的可靠性，使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的 UMIST， 瑞典的 LUND 和 SIMNON，德国的 KEDDC）纷纷淘汰，而改以 MATLAB 为平台加以重 建。在时间进入 20 世纪九十年代的时候，MATLAB 已经成为国际控制界公认的标准计算 软件。 到九十年代初期，在国际上 30 几个数学类科技应用软件中，MATLAB 在数值计算 方面独占鳌头，而 Mathematica 和 Maple 则分居符号计算软件的前两名。Mathcad 因其提 供计算、图形、文字处理的统一环境而深受中学生欢迎。 在欧美大学里，诸如应用代数、数理统计、自动控制、数字信号处

4、理、模拟与数字通 信、时间序列分析、动态系统仿真等课程的教科书都把 MATLAB 作为内容。MATLAB 是 攻读学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的基本工具。在国际学术界，MATLAB 已经 被确认为准确、可靠的科学计算标准软件。在许多国际一流学术刊物上， （尤其是信息科 学刊物） ，都可以看到 MATLAB 的应用。在设计研究单位和工业部门，MATLAB 被认作进 行高效研究、开发的首选软件工具。如美国 National Instruments 公司信号测量、分析软件 LabVIEW，Cadence 公司信号和通信分析设计软件 SPW 等，或者直接建筑在 MATLAB 之 上，或者以 M

5、ATLAB 为主要支撑。又如 HP 公司的 VXI 硬件，TM 公司的 DSP，Gage 公 司的各种硬卡、仪器等都接受 MATLAB 的支持。 MATLAB 的一些功能如下： MATLAB 拥有世界一流水平的数值计算函数库。MATLAB 自问世起，就抱定一个宗 旨：其所有数值计算算法都必须是国际公认的、最先进的、可靠算法；其程序由世界一流 专家编制，并经高度优化；而执行算法的指令形式则必须简单、易读易用。MATLAB 正是 仰赖这些高质量的数值计算函数赢得了声誉。MATLAB 数值计算函数库的另一个特点 是其内容的基础性和通用性。它正由于这一特点，而适应了诸如自动控制、信号处理、动 力工程、

6、电力系统等应用学科的需要，并进而开发出一系列应用工具包。 MATLAB 的图形可视能力在所有数学软件中是首屈一指的。MATLAB 的图形系统有 高层和低层两个部分组成。高层指令友善、简便；低层指令细腻、丰富、灵活。一般说来， 不管二元函数多么复杂，它的三维图形，仅需 10 条左右指令，就能得到富于感染力的表 现。数据和函数的图形可视手段包括：线的勾画、色图使用、浓谈处理、视角选择、透视 和裁剪。MATLAB 有比较完备的图形标识指令，它们可标注：图名、轴名、解释文字和绘 画图例。 MATLAB 的图形用户界面(GUI)以其友好性和直观易懂性在软件编程上被广泛使用。 开发一个 GUI 程序的过程

7、主要有： 布局好图形用户界面对象和给这个图形用户界面编写代 码。具体的开发步骤：GUI 界面的设计和布局、GUI 的编程、菜单的设计和布局以及菜单 的编程。 MATLAB 的控制仿真功能 SIMULINK。这是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、 分析集成环境。它的出现使人们有可能考虑许多以前不得不做简化假设的非线性因素、随 机因素，从而大大提高了人们对非线性、随机动态系统的认知能力。MATLAB 开发了与外 部进行直接数据交换的组件，打通了 MATLAB 进行实时数据分析、处理和硬件开发的道 路。 MATLAB 的符号计算工具箱。 1993 年 MathWorks 公司从加拿大滑铁卢大学购得

8、 Maple 的使用权，以 Maple 为“引擎”开发了 Symbolic Math Toolbox 1.0。MathWorks 公司此举 加快结束了国际上数值计算、符号计算孰优孰劣的长期争论，促成了两种计算的互补发展 新时代。 MATLAB 的 Notebook 功能。MathWorks 公司瞄准应用范围最广的 Word ，运用 DDE 和 OLE，实现了 MATLAB 与 Word 的无缝连接，从而为专业科技工作者创造了融科学计 算、图形可视、文字处理于一体的高水准环境。 影像处理也是 MATLAB 最主要的特色与功能之一。影像是指经过摄影而获得的像。 影像处理的科学定义是：使用计算机将数

9、字影像信息进行数字化，并进一步予以分析、加 强、编码、解译、分割、辨识、复原、强化、缩放、着色等及与之相关的技术。事实上 MATLAB 几乎可以设计与处理所有的影像处理方面的问题。 它不但可以生成各种各样的影 像，而且处理起来具有更高的理论层次水平。比如对一幅影像它可以取出该影像的外缘， 而舍弃其它部分不要，它还可以对该影像进行傅立叶分析与处理把影像处理在频域内进 行。 数字信号的处理。MATLAB 对数字信号进行基本处理，包括进行快速傅立叶变换、求 信号的功率谱和滤波等，从被处理的信号中获得我们想要的信息。 MATLAB 的神经网络功能。神经网络这门学科是受了人脑这部高度智能、发达的“机 器

10、”的启发，而逐渐发展起来的一门前沿技术科学。神经网络的优势在于它的学习性和自 动调整性，所以非常适合于处理非线性的问题。它被广泛应用于各行各业上，例如语音识 别、实时语言翻译、目标的跟踪和识别、工业方面的过程控制等等。神经网络无论是工业 应用还是科学研究都是一个有力的工具，有着巨大的潜力。它的应用主要是偏重于特征的 提取、过程的控制和状态的预测。 实验实验 1 数值计算误差与数值计算误差与 MATLAB 语言语言 要求：掌握 MATLAB 语言，理解误差与数值稳定性。 1实验目的：掌握 MATLAB 语言的程序设计。 实验内容：对以下问题，编写 M 文件。 （1）用起泡法对 10 个数由小到大

11、排序。即将相邻两个数比较，将小的调到前头。 （2）有一个 45 矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。 （3）编程求 20 1 ! n n。 （4）一球从 100 米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它 在第 10 次落地时，共经过多少米？第 10 次反弹有多高？ （5）有一函数yxyxyxf2sin),( 2 ，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。 2实验目的：掌握 MATLAB 语言的图形绘制。 实验内容： （1）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。并且 1）在图形上加格栅、 图例和标注；2）定制坐标；3）以不同角度观察马鞍面。 （2）以不同的视角观察球面 2

12、222 rzyx和圆柱面rxyx 22 所围区域。 3实验目的：理解算法的数值稳定性。 实验内容：对于积分 1 0 1 ), 1 , 0(ndxexeI xn n ，有下面两个算法。 算法 1： 1 0 1 6321. 0 nn nII I ，), 2 , 1(n； 算法 2： )1 ( 1 0684. 0 1nn n I n I I ，) 1 , 8 , 9(n。 数值对比说明舍入误差与算法的数值稳定性的关系。 实验实验 2 非线性方程与非线性方程与 MATLAB 应用应用 要求：理解非线性方程数值求解思想，掌握常用算法的设计，掌握用 MATLAB 实现 的数值解法。 1. 实验目的：比较不

13、同方法的计算量。 实验内容：比较求0210xex的根到三位小数所需的计算量： （1）在区间0,1内用二分法； （2）用迭代法10/ )2( 1 k x k ex ，取初值0 0 x； （3）用牛顿迭代法，取初值0 0 x。 2. 实验目的：研究不同的初值对牛顿迭代过程的影响。 实验内容：用牛顿法求方程01 3 xx在区间3 , 3上误差不大于 5 10的根。分别取 初值5 . 1 0 x、0 0 x、1 0 x进行计算，比较它们的迭代次数。 3. 实验目的：研究迭代法的收敛性与收敛速度。 实验内容：1225 年，达芬奇研究了方程020102 23 xxx并得到它的一个根 368808107.

14、1 * x。没有人知道他用什么方法得到的。分别对上述方程建立迭代法 （1）, 2 , 1 , 0 102 20 2 1 k xx x kk k ； （2）, 2 , 1 , 0 10 220 32 1 k xx x kk k 。 分别研究这两个迭代法的收敛性、收敛速度以及用斯蒂芬森加速的可能性。通过数值 计算加以比较，请自行设计一种比较形象的记录方式，如利用 MATLAB 的图形功能。 4. 实验目的：研究一般迭代公式的复杂行为，初步看到混沌现象。 实验内容：考虑迭代公式, 2 , 1 , 0)1 ( 1 kxxx kkk 。 取4 , 2 . 0中不同的值，并取) 1 , 0( 0 x进行迭

15、代，画出不同情况下的)50( kxk的图形， 并分析取值与 k x图形的关系。你将对于迭代法有更深刻的理解。 实验实验 3 线性方程组与线性方程组与 MATLAB 应用应用 要求：理解线性方程组直接法与迭代法思想，掌握常用算法的设计，掌握用 MATLAB 实现的数值解法。 1实验目的：理解矩阵的范数与条件数。 实验内容：已知矩阵 1111 1111 1111 1111 A 求 1 A， 2 A， A和)( 2 Acond。 2实验目的：研究高斯消去法的数值稳定性（出现小主元） 。 实验内容：设方程组bAx ，其中 （1） 1121 2592 .11 21130. 6291. 5 1314.59

16、103 . 0 15 1 A， 2 1 78.46 17.59 1 b （2） 2010 1515 2699990999999999. 23 10710 2 A， 1 5 00019000000000. 5 8 2 b 分别对以上两个方程组 （1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ （2）用列主元消去法求得 L 和 U 及解向量 4 21, Rxx； （3）用不选主元的高斯消去法求得 L 和 U 及解向量 4 21 , Rxx； （4）观察小主元并分析对计算结果的影响。 3实验目的：研究线性方程组直接法的时间复杂性。 实验内容：分别用高斯消去法、LU 分解法、追赶法、平方根法解

17、方程组 1 1 1 41 1 41 14 2 1 n x x x 取500n，比较所用时间。 4实验目的：理解条件数的意义和方程组的性态对解向量的影响。 实验内容：设bxA 1 和bxA 2 ，其中 1 1 2 11 1 2 2 22 1 1 2 11 1 0 2 00 1 1 1 1 1 n nnn n n n xxx xxx xxx xxx A ， ) 12/(1) 2/(1) 1/(1/ 1 ) 2/(15/ 14/ 13/ 1 ) 1/(14/ 13/ 12/ 1 / 13/ 12/ 11 2 nnnn n n n A b由相应矩阵的元素计算，其计算公式为 T n j n j nj n

18、 j jj aaab),( 111 21 。 对 1 A取1, 2 , 1 , 0,1 . 01nkkxk，下面均用 MATLAB 函数bAx求方程组的解。 （1）取n=4,6,8，分别计算)( 12 Acond和)( 22 Acond，判断 1 A和 2 A是否为病态矩阵？随 n的增大，矩阵性态的变化如何？ （2）取n=6，分别求出两个方程组的解向量 6 21, Rxx； （3）取n=6，b不变，对 1 A的元素 22 a和 66 a分别加一个摄动 10 -6，分别求出 bxA 1 的 解向量 6 11, Rxx； （4）取n=6，b不变，对 2 A的元素 22 a和 66 a分别加一个摄动

19、 10 -7，分别求出 bxA 2 的 解向量 6 22, Rxx； 2 A不变，对b的元素 6 b加一个摄动 10 -4，求出 bxA 2 的解向量 6 2 Rx ； （5）观察和分析A和b的微小扰动对解向量的影响，得出你的结论； （6）求 1 11 x xx ， 2 22 x xx 和 2 22 x xx 的计算结果和理论估计。 5. 实验目的：理解雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代法。 实验内容：设)( ij aA 是n阶矩阵。取方程组bAx 的精确解 T x) 1 , 1 , 1 (，并且对于 nji, 2 , 1,，)(,max(jijiaij，iaii10，由此形成右端向量b。 取初始向

20、量 T x)0 , 0 , 0( )0( ，分别取7 , 5 , 3n，用雅可比迭代法与高斯塞德尔迭代 法求解，并分别对 3 10， 5 10记录所需的迭代次数。分析结果并得出你的结论。 6. 实验目的：理解迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速 度的影响。 实验内容：用迭代法解方程组bAx ，其中 2020 32/14/1 2/132/14/1 4/1 2/132/14/1 4/12/132/1 4/12/13 RA （1）选取不同的初始向量 )0( x和不同的方程组右端向量b，给定迭代误差要求，用雅 可比迭代法与高斯塞德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否收敛？若收敛

21、，记 录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论； （2）取定初始向量 )0( x和右端向量b，将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对 角线元素不变，每次用雅可比迭代法计算。要求迭代误差满足 5)()1( 10 kk xx，比较收 敛速度，分析现象并得出你的结论。 实验实验 4 插值法与插值法与 MATLAB 应用应用 要求：理解插值的基本原理，掌握常用算法的设计，掌握用 MATLAB 实现插值。 1. 实验目的：研究人口数据的插值与预测。 实验内容：下表给出了从 1940 年到 1990 年的美国人口，用插值方法推测 1930 年、 1965 年、2010 年人口的近似值。 美国人口数据 年1

22、94019501960197019801990 人口： 千132,165151,326179,323203,302226,542249,633 1930 年美国的人口大约是 123203 千人，你认为你得到的 1965 年和 2010 年的人口数 字精确度如何？ 2. 实验目的：理解插值的基本原理。 实验内容：已知数据如下 i x 0.20.40.60.81.0 )( i xf 0.97986520.91777100.80803480.63860930.3843735 （1） 设计全区间上拉格朗日插值或者 Newton 插值程序，并在第一个图中画出离散 数据及插值函数曲线。 （2） 在第一个图

23、中画出分段线性插值函数，并与（1）作对比说明。 （3） 对于自然边界条件0)0 . 1 ( )2 . 0( SS，在第二个图中画出离散数据及满足边 界条件的三次样条插值函数。 （4） 对于第一种边界条件55741. 1)0 . 1 ( ,20271. 0)2 . 0( SS，在第三个图中画出离 散数据及满足边界条件的三次样条插值函数。 3. 实验目的：研究高次插值的数值不稳定性。 实验内容：这是 Runge 提出的著名的多项式插值问题。设函数)251 (1)( 2 xxf，在 -1， 1上取1n个等距节点， 构造n次 Lagrange 插值多项式)(xLn。 Runge 提出一个问题， 随着n

24、的增加，)(xLn是否收敛于)(xf？答案是，对一些x是收敛的，但对另一些不成立。 （1） 在同一个图上，分别画出10, 8 , 6 , 4 , 2n的)(xLn与)(xfy 。对 Runge 现象分析， 对什么样的x有，当n时)()(xfxLn？ （2） 改变插值点的分布，使它们不等间距，这样做对收敛有何影响？你是否能找到 一种分布，使得)()(xfxLn对-1，1区间内所有x都成立？ 4. 实验目的：一维插值的应用画图。 实验内容：画你自己的手的形状，在 MATLAB 中输入 figure(position,get(0,screensize) axes(position,0 0 1 1)

25、x,y=ginput; 将你的手掌张开放在计算机屏幕上，然后使用计算机鼠标选取一系列点勾勒出手的轮 廓，按回车键结束ginput过程，这样就获得了一系列你的手掌外形数据点),(yx。也可以这 样获得数据点),(yx，先把手放在一张白纸上，并用笔画出它的轮廓线，然后将纸贴在计算 机屏幕上，透过纸能看到平面上的鼠标，并通过ginput记录下轮廓上的点。 将x和y坐标值看作是两个独立变量的函数，独立变量的取值为从1到记录的点的数 目。下面程序利用MATLAB的插值函数进行插值，并画出你的手掌外形轮廓。 n=length(x); s=(1:n);t=(1:0.05:n); u=interp1(s,x,

26、t,spline); v=interp1(s,y,t,spline); clf reset, plot(x,y,.,u,v,-), %xlabel(X),ylabel(Y) 5. 实验目的：一维插值的应用机床加工。 实验内容：待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据),(yx给出（在平面情况下） ， 用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得 到加工所要求的步长很小的 ),(yx 坐标。机翼断面的下轮廓线上的部分数据如表 x/m035791112131415 y/m01.21.72.02.12.01.81.21.01.6 求出加工时x每改变 0.1m 时的y坐

27、标，并画出相应的轮廓曲线。 6. 实验目的：二维插值的应用山区地貌图。 实验内容：利用 MATLAB 的 peaks 函数生成某山区的一些地点及其高度三维数据（单位： m） 。命令格式：x,y,z=peaks(n)，生成的 n 阶矩阵 x,y,z 为测量的山区地点三维数据。根据 peaks 函数生成的数据画出该山区的地貌图和等值线图。 实验实验 5 函数逼近与函数逼近与 MATLAB 应用应用 要求：理解函数逼近的基本原理，掌握常用算法的设计，掌握用 MATLAB 实现逼近 与数据的最小二乘拟合。 1实验目的：最小二乘拟合的经验公式。 实验内容：某类疾病发病率为y和年龄段x(每五年为一段，例如

28、 05 岁为第一段， 610 岁为第二段)之间有形如 bx aey 的经验关系，观测得到的数据表如下 x 123456789 y 0.8982.383.071.842.021.942.222.774.02 x 10111213141516171819 y 4.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8 （1）用最小二乘法确定模型 bx aey 中的参数a和b。 （2）利用 MATLAB 画出离散数据及拟合函数 bx aey 图形。 （3）利用 MATLAB 画出离散点处的误差图，并计算相应的均方误差。 （4）谈一谈你对最小二乘拟合的理解，并举出一个应用此方法的

29、例子。 2实验目的：最小二乘拟合的经验公式。 实验内容：在某科研中，观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量w的数据如下 t (秒) w(克)4.224.023.853.593.443.022.59 已知t与w之间的关系有经验公式 ctw , 试用最小二乘法（用 Matlab 中的函数 polyfit 或非线性拟合函数 nlinfit）确定c和。 3实验目的：最小二乘拟合模型。 实验内容：某年美国轿车价格的调查资料如表，其中 i x表示轿车的使用年数， i y表示 相应的平均价格，试分析用什么形式的曲线来拟合表中的数据，并预测使用 4.5 年后轿车 的平均价格大致为多少？ i x 123456

30、78910 i y 2615194314941087765538484290226204 4实验目的：理解不同的逼近方法。 实验内容：对被逼近函数xxf)(，在区间0,1上分别利用插值方法、最佳一致逼 近以及最佳平方逼近三种方法求形如xaaxP 101 )(的逼近函数， 并进行比较。 再画出每种 方法的逼近函数曲线以及误差图。 5. 实验目的：研究最佳平方逼近多项式的收敛性质。 实验内容： 取函数 x exf)(， 在-1， 1上以勒让德多项式为基函数， 对于10, 1 , 0n 构造最佳平方逼近多项式)(xpn， 令)()()(xpxfx nn ， 将xx n )(的曲线画在一个图上。 令)

31、()(max)( 11 xpxfx n x n ，画出n n 的曲线。做出n n 之间的最小二乘曲线，能 否提出关于收敛性的猜测。 实验实验 6 数值微积分与数值微积分与 MATLAB 应用应用 要求：理解数值微积分思想，掌握常用算法的设计，掌握用 MATLAB 实现数值微积 分。 1. 实验目的：理解复化求积公式。 实验内容：对于定积分 1 0 2 4 dx x x I。 （1） 分别取10, 3 , 2n利用复化梯形公式计算， 并与真值比较。 再画出计算误差与n 之间的曲线。 （2）取0，1上的 9 个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。 2.实验目的：数值积分的应用（

32、选择适当的求积函数计算定积分） 。 实验内容：地球卫星的飞行轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是 d a c aS 2/ 0 2 2 sin1 其中，a是椭圆的长半轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离。令h为近地点距 离，H为远地点距离，6371R(km)为地球半径，则2/ )2(hHRa，2/ )(hHc。 我国第一颗人造地球卫星近地点距离439h(km)，远地点距离3484H(km)，试求卫星 轨道的周长。 3.实验目的：数值微分的应用。 实验内容：已知 20 世纪美国人口统计数据如下表，计算表中这些年份的人口增长率。 20 世纪美国人口统计数据 年份1900191019201930194019501960197019801990 人口（ 6 10） 76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4