工程数学-概率统计简明教程-第六章-随机变量的函数及其分布

1、第六章 随机变量的函数及其分布,会求一维连续型随机变量函数的概率分布,会求一维离散型随机变量函数的概率分布,随机变量函数的分布,在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数, 例:, 测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：,d为随机变量, S 就是随机变量d的函数。,的分布。, 在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：,背景,一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。,在这一节中，我们将讨论如何由已知的随机变量X的分布去求得它的函数Y=g(X)的分布。,离散随机变量的函数的分布,设随机变量X的分布

2、律为,X,1 0 1 2 2.5,pk,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,求Y=-2X与 Y=X2 的分布律,Y可能的取值为 2,0,-2,-4,-5。,例,解(1),0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,-2X,2 0 -2 -4 -5,(2),设随机变量X的分布律为,X,1 0 1 2 2.5,pk,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,求Y=-2X与 Y=X2 的分布律,例,-2X,2 0 -2 -4 -5,1 0 1 4 9/4,设X为离散型 RV, 其分布律为,随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为,有可能g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应

3、概率相加,离散随机变量的函数的分布,练习 已知 X 的概率分布为,求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律,解,设 X 为一个连续型R.V，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x) 为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数 fY(y) 。,连续型随机变量的函数的分布,解,先求Y3X2的分布函数,先求Y= 3X2的分布函数 FY (y).,Step1:,求Y=2X+8的概率密度函数,Step 2:,设 X 为一个连续型R.V，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x) 为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数 fY(y) 。,(1) 求Y的分布函数

4、 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),连续型随机变量的函数的分布,一般方法,解不等式转化 为求关于X的概率,例(课本) 设随机变量X服从正态分布N(0,1),试求随机变量的函数 的密度函数 。,解,X的密度函数为,先求分布函数 FY (y)。,由于,于是,证明 只证 的情形，,定理 设连续型随机变量X的密度函数为 ，y=g(x)是一单调函数，且具有一阶连续导数，xh(y)是y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的密度函数为,此时g(x)单调递增，,它的反函数x=h(y)在定义域内也单调递增，可导。,从而，,同理， 时，,综合可得：,例(课本)设随机变量X服从参数 的指数分布

5、，求随机变量函数 的密度函数 。,解,由于X服从参数为1的指数分布，因此其密度函数为:,函数 是一个单调递增的函数，且具有一阶导数，其反函数为,由定理得:,即 Y 服从19，21上的均匀分布,Y=0.1X+10的密度函数为,X的密度函数为,设随机变量X服从90，110上的均匀分布,求 Y=0.1X+10的密度函数。,练习,解,设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求y=-2lnx的概率密度函数。,练一练,二维离散型随机变量函数的分布,解,X-Y的取值为0,-2,-3,3,1,0,二维连续型随机变量函数的分布,设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为 是一个已知的连续函数， 是随机变量(X,Y)的函数