复旦王建军-工程数学-第15讲

1、工程数学第15讲,1,10.3 波沿半无限和无限弦的传播,10.3.1 波沿无限弦的传播,如果涉及到长的距离(例如，用于监控海洋温度变化的声波)，那么波的运动有时用一无限弦来作为模型。在这种情况下，没有边界条件。向讨论有限弦一样，我们将分别考虑初始速度和初始位移为0的情况。,I)初始速度为0,2,考虑初值问题,没有边界条件，但我们将强加条件，该条件使得到的解为有界函数。,为了分离变量，设y(x, t)=X(x)T(t), 向前面一样，我们可以得到,下面考虑的取值情况,1) =0,这时有X(x)=ax + b, 如果a=0, 这是一有界函数。,3,因此，是一个特征值，对应的特征函数是非0的常函数

2、。,2) 0,令 ，那么 ，其通解为,4,对所有的0, 这些函数都是有界的。因此每一正数 是一个特征值。对应的特征函数为 ，a和b是两个不全为0常数。,我们可以看到1)包括在3) 中，因为如果=0，那么 等于常数。,接下来考虑T的方程， T方程可以写为,其通解为,代入初始条件,所以b=0, T方程的解是下列函数的常数倍,5,对任意的 ，我们得到下列函数,该函数满足波动方程和下列条件,我们还需要它满足条件y(x,0)=f(x). 这与前面 0, L上的问题类似，在前面我们知道，对每一正整数n, 我们得到一个函数 , 并尝试 。现在特征函数在x的正半轴有定义， 所以用积分号来代替求和符号。,6,初

3、始位移条件要求,(10.3.1),上式的左边的积分是f(x)在-x0, 每一函数满足波动方程及边界条件，以及 。为了满足初始位移，我们必须选择系数，以便,上式是f(x)在0, )上的Fourier正弦积分展开，所以系数为,20,问题的解为,再假设f(x)=0，初始速度为g(x)，同样可以得 到其解为,其中,故该问题的解为,21,例10.3.3 求定解问题,解：对该定解问题，我们需要得到一个有界解，设 y(x,t)=X(x)T(t),将其代入微分方程得到,根据边界条件，有,22,从而有X(0)=0. 我们现在求特征值和其对应 的特征函数。,考虑值的情况,于是有X(x)=ax + b.因为X(0)

4、=0, 所以X(x)=ax.除了a=0外,该函数在0, )是无界的，因此=0得到一个无界的非平凡解，故=0不是特征值。,1）=0,2）0,设 , 得到 ，该方程的通解为,因为X(0)=a=0, 只有sin 项。因此每一正数是一个特征值，对应的特征函数是 sin(x)的常数倍数。,我们现在求解T的方程 ，其通解为,24,因为初始速度为0， 那么,所以 b=0, 并且T(t)必须是 cos(4t) 的常数倍数。,因此我们得到函数,定义积分,对x0, 每一函数满足波动方程及边界条件，以及 。为了满足初始位移，我们必须选择系数，以便,25,上式是f(x)在0, )上的Fourier正弦积分展开，所以系

5、数为,故其解为,26,10.3.3 无界域的Fourier变换求解法,使用各种工具和方法解定解问题是非常有用的。作为本节结束，我们将再次考虑波沿无,界和半无界传播及用Fourier变换来求解这类问题的方法。,首先，我们给出用变换解偏微分方程的的简要描述。,对定解问题求变换； 解变换后得到的方程； 求逆变换。,27,最后，实函数的Fourier变换常常是复函数。如果解是实函数，那么利用Fourier变换得到表达式的实部就是要求的解。由于表达式 比 cos(x)和 sin(x)容易运算，所以我们将保留全部的复数表示作为解。,当需要数字值，图形或其他信息时，我们提取实部。,28,我们给出Fourie

6、r变换的几个公式：,Fourier变换,Fourier余弦变换,Fourier正弦变换,29,无界波动方程的Fourier变换解,我再次求解方程,1.对定解问题求Fourier变换,由于我们只对x求Fourier变换, t作为常数处理,30,上式中的 是y(x, t)对x的Fourier变换。,2.解变换后的方程,或,由于该方程是 关于t的常微分方程，作为参数。其通解为,对初始条件进行变换，可以得到系数。首先求初始位移的Fourier变换。,31,其次求初始速度的变换,因此 ，且,3.求 逆变换,(10.3.4),上式是解的积分公式，由于f(x)是给定的函数， 也是已知的 及 是复函数，所以为

7、了得到y(x, t),我们必须取该积分的实部。,32,在知道y(x, t)是式(10.3.4)的实部后，解通常是用式(10.3.4)表示的。,下面我们将说明用Fourier变换和Fourier积分求解该问题，得到的解是相同的。,将上面用变换得到的解写为,33,由于位移函数是实函数，所以我们必须取上述积分的实部，得到,上述积分是的偶函数，所以,于是得到,该解与前面通过Fourier积分得到的解(10.3.2)一致。,34,例10.3.3 求定解问题,上式中,解,为了使用式(10.3.4), 我们要计算系数,35,因为,所以 是连续的。其解可以写为,由于y(x, t)是该积分右边的实部，如果我们取

8、其实部，可以得到,36,在一些场合，灵活使用Fourier变换可 以得到闭合解。,例10.3.4 求定解问题,解：对方程进行Fourier变换，得到,37,该方程的通解为,利用初始条件中的位移函数，我们得到,其次利用初始速度,所以 ，故变换后的解为,我们现在可以将解的积分形式写为,38,但是，我们可以利用Fourier变换的一些性质明确的来求 的逆变换。,首先使用卷积定理,我们需要计算cos(3t)的Fourier逆变换。这里是变换函数的变量，t作为参数。逆变换的后的变量是x.我们由Fourier的性质知道,(10.3.5),39,得到,因此,，利用调制定理,得到,利用对称定理,令 ,得到,4

9、0,因此(10.3.4)式可以写为,该解是闭合的，且容易验证。,半直线上波动方程的变换求解法,我们将讨论左端固定x=0，也就是半直线上波动方程的Fourier变换求解法。,41,这时，我们将考虑初始位移为0，但初始速度不为0的情况：,用Fourier变换求解该问题是不适当的，因为x和t的变化范围只是非负实数。我们可以试 用以x为变量的Fourier的正弦或者余弦变换来求解。从 Fourier的正弦或者余弦变换的运算规则看到， Fourier的正弦要求解在x=0的值，而Fourier的余弦要求解在原点的导数的值。,42,因为已给出了条件y(0,t)=0(左端固定的弦)，所以我们可以用Fourie

10、r正弦变换试解该问题。设 ，对波动方程求Fourier正弦变换。这里t作为参数，只对x求正弦变换，得到。,该方程的通解为,立刻得到,和,所以,43,因此,该解是Fourier正弦变换的解。求逆变换得到的解为,例10.3.5 求下面半直线的定解问题,44,解：我们使用Fourier正弦变换求解，其解为,而,将得到的 代入解的表达式，就得到了问题解的一个积分表达式。,45,10.4 波动方程的特征和达朗贝尔(dAlembert) 解,这一节，我们将涉及到重复的链规则求导，在链规则求导中，将偏导数用下标表示是方便的。例如 等等。我们的目的就是考察下述问题的不同方面：,这里我们使用u( x, t)表示

11、位置函数，因为我们将把变量从(x, t)平面变换到(,)平面，而且我们不想混淆不同坐标点的解函数。,把我们已经用Forurier积分求解的定解问题或,46,再次使用Fourier变换求解的定解问题称为波动方程的柯西(Cauchy)问题。我们把直线写为,这里k1和 k2是常数，把这种形式的直线称为波动方程的特征。这些形成了两个直线族，一个直线族由斜率为1/c的平行线组成，另一个平行线的斜率为- 1/c。下图给出了这些特征。,x,t,x-ct=k1,x+ct=k2,47,我们将要看到这些直线与波动方程是密切相关的。我们首先用它们将波动方程的解用初始数据的显式表示。,坐标变换定义为,该变换是可逆的，

12、因为,定义,现在就可以计算导数,48,代入波动方程得到,在新坐标系下，得到的波动方程为,49,该方程称为波动方程的规范式(Canonical form)，且容易求解。首先将方程写为,这就说明U与无关，设U=h().,积分得到,上式中F()是对积分时的偏导数常数。现在h()d仅是的另一个函数，我们将其写为G(). 从而得到U(, )= F()+G(), 这里F和G除了是任意连续可导函数外，必须是一个变量的两次连续可导函数。我们已经得到utt=c2uxx 的解为u(x, t)=F(x - ct)+G(x + ct) (10.3.6),50,，我们将说明怎样选择F和G以便满足初始条件。首先,u(x,

13、 t)=F(x - ct)+G(x + ct) 称为波动方程的达朗贝尔(dAlembert) 解。自法国数学家达朗贝尔(dAlembert)给出这种定义后， utt=c2uxx的每一解一定只是这种形式。,(10.3.7),(10.3.8),对(10.3.8)积分得到,51,将该方程与(10.3.7)相加，得到,于是有,(10.3.9),但从方程(10.3.7)，得到,(10.3.10),最后利用方程(10.3.9)和(10.3.10)，解写为,52,整理后，得到,(10.3.11),(10.3.11)是整个直线上，波动方程柯西(Cauchy) 问题解的达朗贝尔(dAlembert)公式。 该公

14、式是给定初始位移和速度柯西(Cauchy) 问题解的显式表示。,53,解：使用dAlembert公式，立即得到,例10.3.6求解定解问题,54,使用波动方程的特征，我们将写出下面非齐次波动方程解的表达式,10.4.1非齐次波动方程,由于该方程中含有F(x, t)，该方程称为非齐次波动方程。假设F(x, t)对所有实数x和t0是连续的，可以把F(x, t)看作是作用在弦上的外力或阻尼力。,假设我们要求方程在点(x0,t0)的解。我们知道波动方程的特征是x, t平面内的直线。,55,存在两个特征准确地通过该点，这些直线是,这些特征的线段与区间x0-ct0, x0+ct0一起构成了一个特征三角形，

15、如下图所示。,x,t,x + ct=x0 + ct0,x- ct=x0- ct0,x0- ct0,x0+ ct0,(x0, t0),L,M,I,将三角形的边标记为L, M和I。因为三角形在x, t平面是一个区域，所以我们可以在上计算-F(x, t)的二重积分：,56,应用格林(Green)定理，用x, t为独立变量代替x, y。这就将二重积分变为三角形边的线积分。该分段光滑曲线C由的三边组成，其积分路径是逆时针的。由格林(Green)定理得到,现在依次计算曲线C每一段的线积分。在线段I上，t=0,所以dt=0, x从x0-ct0变到 x0+ct0，所以,57,在线段L上，x + ct= x0+

16、ct0，所以dx = - cdt, L的起点(x0+ct0,0),终点(x0,t0),在线段M上，x - ct= x0-ct0，所以dx = cdt，M的起点(x0,t0) 终点(x0-ct0,0).,将这些线积分相加，得到,58,于是有,从上式中求出u(x0,t0),得到,59,故，具有外力项F(x, t)的波动方程在点(x, t)的解是齐次波动方程(没有外力)的达朗贝尔解加上(1/2c)乘以外力项在(x, t)为顶点的特征三角形上的二重积分。,u(x0,t0)是我们在点(x0,t0),得到的解。但 (x0,t0)可以是任意的点(x, t),因此任意的点(x, t)的解为,60,解：该方程在

17、任何点(x, t)的解为,例10.3.7求解定解问题,接下来就是计算积分,61,外力项二重积分计算，区域由下图给出,- 5=x- 5t,x- 5t,x+ 5t,(x, t),+5=x+5t,(x- 5t+5, ),(x+5t-5, ),62,该波动方程的解为,10.4.2 向前波与反向波,我们继续讨论整个实轴上波动方程的定解问题，我们可以把对该方程解的达朗贝尔公式,63,上式中,写为,我们称(x - ct)向前(或右)波，而(x + ct)为反向(或左)波。 (x - ct)的图形是(x) 向右传播 ct个单位。因此我们可以认为 (x - ct)是(x) 的图形以速度c向右移动。,64,做为该

18、方法的一个例子，考虑c=1时的定解问题：,(x + ct)的图形是(x) 向左传播 ct个单位。 从而(x + ct)是(x)的图形以速度c向左移动。在时间t, 假设y=u( x, t)的图形是x的函数，弦的轮廓是这些向前波和反向波的和。,初始位移的函数如下图所示.其解是向前波与 反向波的和。,65,在任意时间t，波的运动由初始位移函数(图(a)向右传输t个单位，与初始位移函数向左传输t个单位叠加而成。我们将看到初始位移函数同时向左和向右移动的情况。因为f(x)在-2,2外是0，这些向前和反向波分别移动，一个沿直线向左移动，另一个沿直线向右移动。这些移动如图(b)-(h)所示。,66,u(x,

19、0),x,u(x,1/3),x,t=1/3时，向前波与反向波的和,(a),(b),67,u(x,1.2),x,u(x,1.6),x,t=1.2时，向前波与反向波的和,t=1.6时，向前波与反向波的和,(c),(d),68,u(x,1.8),x,x,u(x,2.1),t=2.1时，向前波与反向波的和,t=1.8时，向前波与反向波的和,(e),(f),69,u(x,3),x,u(x,7),x,t=3时，向前波与反向波的和,t=7时，向前波与反向波的和,(g),(h),70,10.5 圆形弹性膜振动的标准方式,我们将分析一紧绷于一圆形架上膜（如鼓面皮）的运动，假设在初始位移和速度下开始运动。设膜的中

20、心在原点，其余位置在x,y平面，膜的半径为R.使用极坐标，假设膜在(r,) 质点的振动垂直于x,y平面，在时间t时,质点与其它位置的位移是z(x, y, t).,极坐标下的波动方程为,71,我们暂时假设膜的运动是关于原点是对称的，在这种假设下，z 只由r和t决定。于是波动方程变为,设初始位移为 初始速度为,试解为 ，代入方程，得到,如果0, 设=2，F的方程是0阶的Bessel方程，其通解为,72,因为当r 0时(膜的中心)，Y0(r/c)-,所以选取b=0。现在T的方程为 ，其通解为,对每一0,得到,因为膜是固定在一圆形架上，所以,如果 ，该条件是成立的。,设 是J0的正根，按升序排列,73

21、,选取 或,得到方程的特征值为,我们现在得到,所有上述函数满足边界条件z(R, t)=0。为了满足初始条件，求叠加和,立即得到,74,该式是f(r)的Fourier-Bessel展开式。设s=r/R,级数转换为,上式中s从0变到1，我们知道展开式中的系数为,其次，我们计算系数bn:,该式是g(r)的Fourier-Bessel展开式。于是我们选取系数为,75,或,选择了这些系数，膜位移函数的解为,是振动标准(normal)方式的频率，其周期为 。振动的标准方式是函数,这些函数常常被写为相位角的形式,上式中An和n为常数。,76,第一标准方式为,当r从0变到R时，j1r/R从0变到j1。在任意时

22、间t, 通过膜的径向截面用J0(x) (0 x j1)的图形表示如下图(a)所示,x,0,x,J0(x),j1,x,0,0,j1,j2,j1,j2,j3,J0(x),J0(x),(a),(b),(c),第一标准方式,第二标准方式,第三标准方式,77,第二标准方式为,当r从0变到R时，j2r/R从0变到j2，通过j1向前。因为j2r/R= j1时， J0(j2r/R)=0，该方式在半径r= j1R/j2处有一固定圆(膜振动中)。通过膜的径向截面用J0(x) (0 x j2)的图形表示如上图(b )所示。,类似地，第三标准方式为,这种方式有两个固定圆(膜振动中) ，一个在r= j1R/ j3处，第

23、二个在r= j2R/ j3处。通过膜的径向截面用J0(x) (0 x j3)的图形表示如上图(c )所示。,78,一般来说，第n个标准方式n-1个固定圆(膜振动中) , 出现在 处。,在下一节，我们将再次考虑该问题，不作任何假设，也就是z 由r、t和决定。这样，我们将得到的解含有二重Fourier正弦级数。,10.6 圆形弹性膜振动,这一节，我们将再次考虑上一节的问题，也就是固定在圆形架上的圆形弹性膜振动。不过，z 由r、t和决定。考虑完整的波动方程,79,初始条件为,所以膜是从给定初始位移静止时释放的。,在柱坐标下，对任何整数n,可以用 +2n代替。所以我们也加上强制周期条件：,用分离变量发

24、，将 代入波动 方程，因为方程的左边是t的函数，右边是r和的函数，它们是相互独立的，并令方程等于某一常数,得到,80,于是有,因为左边是r的函数，右边是的函数，它们是相互独立的，并令方程等于某一常数,得到,于是有,81,在求解T(t), F(r)和 ()方程时，我们有下面的定解条件。,首先，周期条件,其次，由于膜是固定在圆形架上，,最后，由于膜的初始速度是0，,()的方程是一个周期Sturm-Liouville问题，该方程的特征值和特征函数分别如下：,82,将 代入F(r)的方程，有,从前几节的内容，我们已经知道该方程的通解为第一类和第二类n阶Bessel函数的组合,当r0+时， 无界，为了得

25、到有界解，选取b=0.该解只剩下 。为了找到允许的值，我们需要,为了得到非平凡解，a不能选为0，因此只有 要使该式成立，必须选取 是,83,的正根之一。设这些正根是 由于该方程的解是根据选取 得到的，所以下标是二重的。那么特征值为,是 的k个正根。特征值对应的特征函数非0常数乘以,将这些特征值代入T(t)的方程，得到,84,该方程的解是常数乘以,我们立刻构成函数,这些函数中的每一个满足波动方程、边界条件和初始速度为0的条件。为了满足给定的初始位移函数f(r,), 进行叠加求和,85,现在，我们需要,为了明白怎样选择这些系数，首先将方程写成如下形式,对给定的r,把函数f(r,)看作是的函数。上式是f(r,) 作为的函数在-, 上的Fourier级数展开。因为我们知道Fourier级数展开中的函数系数的选择，我们立即得到,86,对于n=0,1,2,我们上述三式是r函数以Bessle函数展开的级数，由Fourier-Bessel级数展开知系数的计算如下：,87,对于n=1,2,计算系数的想法是首先计算的积分，得到函数0(r), n(r)和n(r)，再将它们写成Fourier-Bessel级数。计算这种特征函数展开的积分系数，我们就可得到这些级数的系数 由于n阶Bessel函数的根只能近似计算， 这些积分