江苏省苏州市第五中学2020学年高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示学案 新人教A版必修4（通用）

1、2.3矢量的坐标表示一、学习内容、要求和建议知识、方法要求建议平面向量的基本定理及其意义明白；理解用直角坐标系理解向量的基本定理和正交分解平面向量的正交分解及其坐标表示谅解用坐标表示平面向量的加法、减法和乘法明白；理解坐标表示的平面向量共线的条件(线段固定点坐标公式没有要求)谅解第二，预览指导1.预览目标(1)理解将平面上的任何向量分解成给定方向上的两个向量的过程，并理解平面向量的基本定理；(2)阅读课本，学会用坐标(x，y)表示平面向量，学会用坐标计算平面向量，学会用向量坐标运算判断两个向量是否共线，用向量坐标运算解决几何问题。2.预览大纲(1)平面向量基本定理。阅读教材P7071，理解以下

2、内容：平面向量基本定理；基底；向量分解。思考和讨论：平面向量定理中“有且仅有”的含义是什么？(2)当表示向量时，基数是唯一的吗？地下室有什么特点？(2)平面向量的坐标表示。阅读教材P7276，理解以下内容：向量的坐标表示；平面向量的坐标运算；向量平行度的坐标表示。思考和讨论：等向量坐标的特征是什么？有多少个向量以(x，y)为坐标？3.典型例子(1)平面向量基本定理根据平面向量的共线定理，任何向量都可以用与其共线的非零向量线性表示，这种表示是唯一的；平面向量基本定理是向量共线定理的推广。平面上的任何向量都可以用两个不共线的向量来表示。例1在平行四边形中，假设并试着表达。分析：为了解决这个问题，首

3、先，借助三角形或多边形规则，使用矢量加减，使用表达式来寻找或建立方程，并求解方程。解决方案：如图所示，方法一(转变观念)让交流电和直流电与o点相交，有，；嘿。方法2(等式思维)集合，有也就是说，也就是说。注释：本主题的类型是使用基向量来表示未知向量。一般来说，有两种方法，一是充分利用矢量线性运算，灵活运用三角形法则和平行四边形法则来解决问题；另一种是用等式思维，也就是说，直接把它表达出来，然后把它当作一个未知数，用等式思维去解决它。(2)平面向量的坐标运算与以前研究的向量的“形”的角度相比，向量的坐标运算主要是从“数”的角度来研究的，在学习中要始终注意数与形相结合的思想。例2众所周知，实际上，

4、x，y，表示。分析：根据矢量坐标运算和待定系数法，可以用方程求解。解答：问题的意思是=又=3和=5X=7，y=4。注释：解方程常用于矢量坐标运算。例3我们知道a (-1，2)，b (2，8)，=，=-，并找到点c，d和向量的坐标。分析：用待定系数法设定点C和D的坐标，然后根据矢量和关系计算坐标，用方程的思想求解。解决方法：让C和D的坐标为，从问题的含义来看，=(3，6)，和=，=也就是=(1，2)，=(1，2)还有，还有还有，还有点c和d的坐标和向量分别是(0，4)，(-2，0)和(-2，4)。点评：这个话题涉及到方程的思想，要求有较高的计算能力。例4众所周知，当实数与实数平行时？分析：本课题

5、可以通过两种方法解决：平面向量的基本定理和平行向量的坐标表示。这两种方法的本质是一样的。从这个主题出发，当研究两个向量的平行性时，如果坐标是已知的，坐标法更简单。解决方案：方法1:当与平行时，有一个唯一的实数使=()，即=，即，和不是共线的，根据平面向量的基本定理，我们可以知道我们可以得到。方法2:制作分析：这个问题检查向量共线性的坐标表示，然后证明三个点是共线的。证明：证明1:从=(-9，2)-(3，4)=(-12，6)，=(-1，-2)-(9，2)=(8，-4)，=-,/.并且因为有向线段具有公共端点b，所以A、b和c共线。证词2:(-12，6)，=(8，-4)，和(-12) (-4)-6

6、8=0。/,and，因为有向线段具有公共端点b，A，b和c共线。例6已知，询问：(1)当t是数值时，p在第二象限？(2)四边形OABP能形成平行四边形吗？如果我们能找到相应的t；如果没有，请解释原因。分析：使用向量等式来建立向量坐标之间的关系，然后从条件中获得它。解决方法：(1)因为，如果p在第二象限，那么；(2)如果四边形OABP是平行四边形，那么就没有解。因此，四边形OABP不能形成平行四边形。备注：这类问题的关键是正确进行坐标运算，充分转换条件，即矢量相等的条件，并得到P点的水平和垂直坐标关系。4.自我测试(1)在ABC中，e和f分别是AB和AC的中点。如果、表示为=。(2)、非共线，使

7、，可用作平面中所有向量的一组基，实数的范围是。(3)如果我们知道=(3，-1)，=(-1，2)，那么-3-2=。(4)已知=(2，1)，=(x，-4)，当2和-平行时，x=。(5)给定向量=(5，2)，=(x2 y2，xy)，和=，求x和y的值第三，课后巩固练习a组1.如果它是平面上所有向量的一组基，给出以下命题：(1)如果实数m和n使m=n，那么m=n=0；(2)空间中的任何向量都可以表示为=1 2，其中1和2是实数；(3)实数m，n，m，n不一定在这个平面上；(4)对于平面上的一个向量，有两对以上的实数m，n，因此=m，n .那么上述命题是正确的。2.在梯形ABCD，DC/DAAB，下列向

8、量对其中，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(填入序号)可用作表示其平面的所有向量的基数3.中值是在正中线上的一个点，G是重心。如果，那么。4.众所周知，如果实数x和y满足向量方程3x (10-y)=(4y7) 2x，则x=_ _ _ _ _ _ _，y=_ _ _ _ _ _ _。5.假设矢量不共线，为了使它们成为平面上所有矢量的一组基，实数的范围是。6.在平行四边形ABCD中，E和F是边CD和BC的中点。7.斜边长度相同的两个直角三角形放在一起，如果是这样，那么x=，y=。8.给出以下陈述：等向量的坐标是相同的；平面上的向量对应于唯一的坐标；(3)坐标对应于唯一的向量；平面上的一个点与

9、一个以原点为起点和终点的向量一一对应，其中正确的表述是_ _ _ _ _ _。9.如果=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，则=_ _ _ _ _ _ _。10.点p在平面上匀速直线运动，速度=(2，5)。当t=0时，p在(-6，-2)，当t=5时，p点的坐标为。11.在以下各组点中，共线的三个点是(0，0)、(1，1)、(3，1)；(-1，-1)，(1，1)，(3，3)；(-1，2)、(1，4)、(3，5)；(2，0)，(0，-1)，(3，2)。12.众所周知，正方形PQRS的对角线的交点是m，坐标的原点不在正方形内，并且=(4，0)。那么向量=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

10、。13.如果=(-3，-4)，-=(5，2)，则向量=_ _ _ _ _，| |=_ _ _ _ _。14.如果一个已知的向量平行于，那么实数的值就是_ _ _ _ _ _ _。15.如果向量平行于轴，则=0.16。如果向量是已知的、和可以形成一个三角形，则实数的范围是。17.如果已知向量小于5，则实数的值域为0.18。=(3，-4)的平行单位向量是_ _ _ _ _ _ _ _。19.如果向量=(1，0)和=(1，1)是已知的，单位向量在与2相同的方向上的坐标表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _。b组20.让它成为两个不共线的向量。如果a，b和d共线，求k的值.21.取向量=，=作为边，

11、使平行四边形OADB，对角线OD和AB相交于c，并且=，=，尝试，并将其表示为基数。22.如图所示，攻角=120，攻角=30，攻角=0角=1，攻角=，让=，=，试着表达。CBAO23.如图所示。设置、使用和表达为。24.在平行四边形中，交点是线段的中点，平行四边形的延长线与交点相交。如果、表示为。25.在中，已知它是边上的一个点，如果，则获得该值。26.已知平面上顶点a (3，1)，b (5，2)，C(-1，6)，向量，2-3的坐标表示。(2)线l1平行于X轴并穿过(0，4)点，而线l2平行于Y轴并穿过(-1，0)点。点A在线l1上，点B在线l2上，向量=(-4，-3)。试着找出点A和点b的坐

12、标.27.给定a (2，1)，b (3，2)和c (-1，4)，如果a，b和c是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点d的坐标.28.让=(、)、=(、)和/，找到值。29.在平面直角坐标系中，逆时针旋转矢量后，得到矢量，点的坐标为。30.已知三个点A、B和C的坐标分别为(-1，0)、(3，1)、(1，2)、=、=，以验证：/。31.让向量=(k，12)，=(4，5)，=(10，k)。当k为该值时，三个点A、B和C共线。32.当已知甲(2，3)，乙(5，4)，丙(7，10)时，(1)点p在第一和第三象限的平分线上？(2)从点p到两个坐标轴的距离相等？c组33.它是平面上的一个不动点，A、B和C是平

13、面上的三个不共线的点，并且移动点P满足，那么P的轨迹必须通过中心。34.如图所示，在中间，点是中点，穿过点的直线分别与直线相交在两个不同的点上，如果、值为。35.让两个向量，其中一个是实数。if的值范围。36.已知向量和向量之间的对应关系用表格求解(1)假设并找到矢量和的坐标；(2)证明任何向量和常数总是真的；(3)找出向量的坐标，使其保持不变。知识点标题号注意力平面向量的基本定理及其意义注意平面向量共线定理的坐标计算，正确使用平面向量基本定理平面向量的坐标表示和运算坐标表示的平面向量共线的条件(线段固定点坐标公式没有要求)第四，学习体验V.开阔你的视野固定比率矢量公式的应用教科书示例4证明了公式：它被称为向量中不动点的向量公式。这个公式为我们解决一些数学问题提供了方便，可以开拓我们解决问题的思路，提高我们解决问题和分析问题的能力。L 1.固定比率点的向量公式一般来说，假设直线l上有两个点，这个点是l上不同于，的任何一个点，取平面上的一个点。如果有一个实数，那么，我们称之为固定比率向量公式，它被称为点与有向线段的比率。2.固定比率矢量公式的应用例1如图(1)所示，假设点c在直线AB上。验证：(1)；(2)集合，用T表示；(3)如图(2)所示，用(1)求出中航重心的矢量公式。ABDCGF图(2)OACBO图(1)分析：确定