2020届高三数学一轮复习 数学归纳法巩固与练习（通用）

1、合并1.关于自然数N的一个命题，如果证明了当n=1时该命题为真，并在假设该命题为真的基础上当n=k (k 1且kN*)时，证明了当N=k 2时该命题为真，那么将上述情况进行总结，为()A.所有正整数命题都成立B.所有积极的和奇怪的命题都是有效的C.所有积极的甚至是积极的主张都成立D.以上都不正确分析：选择b。这个问题证明了n=1，3，5，7，的命题成立，也就是说，这个命题对所有的正奇数都成立。2.在系列an中，an=1 .-，那么AK 1=()A.ak+B.ak+-C.ak+D.ak+-分析：D1=1-，A2=1-，An=1-，AK=1-，所以AK 1=AK -。3.如果平面上有K条直线，其中

2、任意两条直线不平行，任意三条直线不公共，并且K条直线的交点个数为f(k)，则f(k 1)与f(k)的关系为()A.f(k+1)=f(k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+2分析：选择c。当n=k 1时，取任意一条直线记为L，那么除了L之外的其他K条直线的交点个数为f(k)，因为已知任意两条直线不平行，所以直线L必须与平面上的其他K条直线相交(有K个交点)；而且因为已知任何三条直线都只是同一个点，上面的k个交点彼此不同，并且也不同于平面上的其他f(k)交点，所以平面上的交点的数量是f (k) k=f (k 1)。4.用数学归纳

3、法证明了当nN*，1 2 22 23 25n-1是31的倍数时，当n=1时，原公式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _分析：可以通过比较n=k和n=k 1得到。答：1 2 22 23 24 25k 25k 1 25k 2 25k 3 25k 45.数学归纳法证明，当1 2 3.N2=，当n=k 1时，左端将加上_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _当n=k1时.分析：当n=k时，左端为1 2 3k2；当n=k 1时，左端

4、是1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k 1) 2。答：(k2 1)(k2 2)(k1)26.序列an满足sn=2n-an (n n *)。(1)计算a1、a2、a3和a4，并猜测通式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想。解决方案：(1) a1=1，a2=，a3=，a4=，因此，我们猜测an=(n n *)。(2)证明了当n=1，a1=1时，结论成立。如果n=k (k 1且kN*)，则结论成立。那是AK=，然后当n=k 1 (k 1且kN*)时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1。2ak+1=2+ak，ak+1=，这表明当n=k

5、1时，结论成立。an=(nN*).实践1.用数学归纳法证明“当n是正奇数时，xn yn可以被x y整除”，第二个归纳法假设应该写成()A.假设n=2k 1 (k n *)是正确的，然后推n=2k 3使其正确B.假设n=2k-1 (k n *)是正确的，然后推n=2k 1至正确C.假设n=k (k n *)是正确的，然后推n=k 1至正确d假设n=k (k 1)是正确的，然后推n=k 2至正确分析：选择b .首先，注意n是奇数，然后使n=2k-1得到1，所以选择b .2.在用数学归纳法证明方程1 3 5 (2n-1)=N2 (n n *)的过程中，第二步假设方程在n=k时成立，然后在n=k 1时

6、得到()。A.1+3+5+(2k+1)=k2B.1+3+5+(2k+1)=(k+1)2C.1+3+5+(2k+1)=(k+2)2D.1+3+5+(2k+1)=(k+3)2分析：当选择b .n=k1时，等式的左边=1 3 5 (2k-1) (2k 1)=k2 (2k 1)=(k 1) 2。因此，乙.3.数学归纳法证明：“1 a a2 an 1=(a 1)”当n=1被验证时，左端计算的项为()A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3分析：选择c。当n=1时，左端=1 a2。4.以下代数表达式(其中kN*)可被9整除()A.6+67kB.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3(

7、2+7k)分析：选择d。(1)当k=1时，显然只有3 (2 7k)能被9整除。(2)如果k=n (n n *)，该命题成立，即3 (2 7n)可以被9整除，那么3 (2 7n 1)=21 (2 7n)-36。也就是说，当k=n 1时，这个命题成立。5.众所周知，1 23 332 433 n3n-1=3n (na-b) c适用于所有nN*，那么a、b和c的值为()a=a，b=c=B，a=b=c=C.A=0，B=C=D。没有这样的A，B，C分析：对于所有的nN*，选择一个方程是正确的，当 n=1，2，3，即得到解决，答案是a=，b=c=。6.在序列an，a1=，和sn=n (2n-1) an中，通

8、过找到a2，a3和a4，我们猜测an的表达式是()A.B.C.D.解析：从a1=，sn=n (2n-1)和，得到S2=2 (22-1) a2，即a1 a2=6a2。a2=,S3=3(23-1)a3，也就是说，a3=15a3。 A3=，A4=。所以选择c .7.数学归纳法证明了当“(n=k+1) (n 2)时.(n n)=2n13.(2n-1)，nN*”从“n=k”变为“n=k 1”，左侧应乘以的因子为分析：当n=k (k n *)时，左边的公式是(k1)(k2)(k k)；左边的方程是(k1 1)(k1 2)(k1 k-1)(k1 k)(k1 k 1)。左边应该相乘的公式是=2(2k 1)。答

9、案：2 (2k 1)8.如果f (n)=12 22 32.(2n) 2，f(k 1)和f(k)之间的递归关系是_ _ _ _ _ _。分析：f (k)=12 22 (2k) 2，f(k+1)=12+22+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.答：f (k 1)=f (k) (2k 1) 2 (2k 2) 29.在数列an中，已知a1=1，当n2时，an-an-1=2n-1。依次计算a2、a3和a4后，我们猜想an的表达式是_ _ _ _ _ _ _。分析：我们计算A1=1，A2=4，A3=9，A4=16。可以猜到，安=N2。回答：n

10、210.对于nN*，用数学归纳法证明：1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1=n(n+1)(n+2)。设f (n)=1n 2 (n-1) 3 (n-2) (n-1) 2 n1。(1)当n=1时，左侧=1，右侧=1，等式成立；(2)当n=k，即1k 2(k-1)3(k-2)(k-1)2 k1=k(k 1)(k 2)时，让方程成立。然后当n=k 1时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3)。从

11、(1)和(2)可以知道，当nN*时，方程成立。11.已知点Pn(an，bn)满足1=anbn 1，bn 1=(n n *)并且点P1的坐标是(1，-1)。(1)找出通过P1和P2点的直线l的方程；(2)用数学归纳法证明了对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上。解：(1)从P1坐标(1，-1)，我们知道A1=1，B1=-1。b2=.a2=a1b2=。点P2的坐标是(，)直线l的方程式是2x y=1。(2)证明：当n=1时，2a1 B1=21 (-1)=1保持。如果n=k (k n *，k1)，2ak bk=1成立。然后当n=k 1时，2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1，当n=k 1时，这个命题成立。根据 ，对于nN*，2an bn=1。也就是说，点Pn在直线L上.12.在已知的正序列an和bn中，a1=a (0 a 1)，B1=1-a，当n2时，an=an=an-1bn，bn=0。(1)证明对于任何nN*，一个bn=1；(2)找到序列an的通式。解答：(1)证明：用数学归纳法证明。(1)当n=1，a1 B1=a