2020届高三数学一轮复习必备精品：平面向量的概念及运算（通用）

1、2020学年高三数学(印教版a版)第一次复习资料第25课平面矢量的概念和计算一.课程要求(1)平面矢量的实际背景和基本概念通过力和力的分析等实例，了解矢量的实际背景，理解平面矢量和矢量的相同含义，理解矢量的几何表示；(2)向量的线性运算通过实例掌握矢量加、减运算，理解其几何意义。通过实例掌握矢量数乘法的运算，理解其几何意义和两个矢量共线的意义。了解矢量的线性运算特性和几何意义(3)平面向量的基本定理和坐标表示理解平面向量的基本定理及其意义。掌握平面矢量的正交分解和坐标表示。平面向量的加、减、乘运算用坐标表示。了解用坐标表示的平面矢量的共线条件二、命题趋势这门课的内容是平面矢量的基本内容，出题量

2、小于平面矢量的数倍。用选择题、空问题探讨本章的基本概念和特性，重点探讨矢量的概念、矢量的几何表示、矢量的加法、实数和矢量的乘积、两个矢量共线的必要充分条件、矢量的坐标运算等。这种问题难度不大，相差5-9分。2020年高考预测：(1)问题类型可以是一个选择题或一个空白问题。(2)出题知识点可以用矢量表示平面图形，使用基本矢量表示交点位置，或者用矢量的坐标表示共线问题。三、要点1.向量的概念矢量有大小和方向的量。向量通常是.显示为，或以大写字母显示垂直线段的起点和终点，例如几何图形标记。坐标表达。向量的大小是向量的强度(长度)，并以向量大小| |记录。向量无法比较大小，但向量的模具可以比较大小零矢

3、量零长度矢量的方向是随机的，并记录为与任意矢量平行的零矢量=| |=0。方向是随机的，并且指定为与所有矢量平行，因此必须确保矢量平行(共线)问题具有“非零矢量”条件。(请参见与0的区别。)单位向量强度为1个单位长度且向量为单位向量| |=1的向量。平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零矢量。平行矢量集可以移动到同一条直线上。平行向量或相反方向的向量显示为。平行向量有时称为共线向量，因为向量可以执行任意转换(即自由向量)，所以平行向量可以永远转换为同一条线。您在数学中研究的向量是自由向量，其大小、方向只有两个特征，起点可以任意选取，现在必须区分共线向量的共线和几何图形的共线的意义，并清楚地理解

4、平行向量的平行与几何图形的平行不同等于向量长度相同、方向相同的向量等向量在转换后可以永远重合。大小相同，方向相同。2.向量运算(1)矢量相加寻找两个向量之和的运算称为向量的加法启用此选项后，为=。法规：(1)；(2)矢量加法满足交换法和结法。向量加法的“三角定律”和“平行四边形定律”(1)使用平行四边形法则时，两个已知矢量成为公共起点，矢量是起点与已知矢量起点重合的对角线，差分矢量是从减小矢量指向减小矢量的另一条对角线。(2)三角形法则的特点是“结束和结束”，表示从第一个矢量的起点指向最后一个矢量的终点的垂直线段之和。差值向量从递减向量的末端指向递减向量的末端当两个向量的起点共同时，使用平行四

5、边形规则。当两个矢量从末端连接到末端时，使用三角形法则。向量加法的三角形定律可以加到多个向量上，但必须“前后相连”。(2)向量的相减相反向量：等于长度且方向相反的向量，称为的相反向量记住，0向量的相反向量仍然是0向量。对于相反向量：(I)=；(ii)()=()=；(iii)如果向量相互相反=，=，=，=。矢量减法添加到矢量的相反矢量称为和的差记录：寻找两个向量差的运算映射方法：可以表示为端点指向的端点的矢量(，有共同的起点)。(3)实数和向量的乘积实数和向量的乘积用记录，其长度和方向规定如下。(I)；(ii)当时的方向等于的方向。当时的方向与的方向相反。当时的方向是任意的。乘法矢量满足交换法、

6、结合法和分配法3.两个向量的共线定理：矢量与非零矢量共线，且只有一个实数，因此创建=。4.平面向量的基本定理如果一个平面上的两个非共线矢量，则该平面上的任意矢量只有一对实数。非共线向量称为一组基准，表示该平面上的所有向量5.平面向量的座标表现法(1)平面向量的座标表现法：在正投影座标系统中，两个具有与x，y轴相同方向的单位向量分别用作基底平面向量的基本定理，因为此平面内的所有向量与数字对(x，y)一一对应，所以(x，y)称为向量的座标，这称为=(x，y)其中x称为x轴的坐标，y称为y轴的坐标。法规：(1)具有相同矢量坐标、相同坐标的矢量；(2)向量的座标与表示该向量的乳香线段的起点、终点的特定

7、位置无关，仅与相对位置相关。(2)平面向量的座标运算：情况；如果是；如果=(x，y)，则=(x，y)；如果那样的话。四、典型分析问题1:平面向量的概念范例1。(1)给出以下命题：如果| |的话=；如果a，b，c，d是不共线的四点，四边形ABCD是平行四边形的充分条件。如果=、=、如果=；=先决条件是| |和/；/，如果是/，则为/；其中正确的序列号为。(2)设定为单位向量，(1)如果是平面内的向量，则=| |；(2)平行于A0时=| |；(3)平行且|=1时=。上述命题中的假命题数为()A.0B.1C.2D.3分析：(1)错了。两个向量的长度相同，但方向不一定相同。准确；和，此外，a、b、c、

8、d是非共线的4点，四边形ABCD是平行四边形。相反，如果四边形ABCD是平行四边形，因此。准确；875=，的长度相同，方向相同。长度相同，方向相同。因为的长度相同，方向相同=。不正确；/和方向相反时，不能使用| |=| |，| | |和/不是=的先决条件，而是先决条件；不正确；考虑=在此特殊情况下；总结，正确命题的序号是。意见：本例主要回顾矢量的基本概念。向量的基本概念更多，所以很容易忘记。为此，复习时一方面要构建好知识结构，一方面要善于物理、生活上的模型和类比、联想。(2)向量是具有现有大小和方向的量，与| |模块相同，但方向不一定相同，因此(1)假命题；平行于时，有两种情况：和方向。一个方

9、向相反，另一个方向相反=-| |，因此(2)，(3)也是假命题。总之，答案是d。注释：矢量有更多的概念，容易混淆，因此在学习中要注意区分和理解每个概念的实体，区分共线矢量、平行矢量、各向同性矢量等概念。问题2:平面向量的运算规则范例2 .(1)如图所示，正六角形ABCDEF，o是其中心，它表示为=，=，试用，矢量，(1)分析：根据矢量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，考虑哪个平行四边形或三角形的边，将其他矢量表示为矢量。六边形ABCDEF是正六边形，因此中心o和顶点a、b、c 4点形成平行四边形ABCO。所以，=，=，a、b、o、f 4点也构成平行四边形ABOF，因此=2，同样，在平行四

10、边形BCDO中=()=2，=-。注释：事实上，a、b、c、d、e、f、o 7点中的两点可以用作起点和终点，可以表示，可以同时使用两个矢量，还可以指定其馀两点作为起点和终点。(3)(2020年湖南语，4)11.已知向量=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。【答案】2【分析】原因(4)(2020广东体积)已知平面矢量a=，b=，矢量()a平行于轴b。与象限1平行的角度平分线C.平行于轴d。平行于第二和第四象限的角度平分线回答c通过分析，矢量的特性可以看出，c是正确的。范例4 .设定为未知向量，为已知向量求解方程式2-(5 3-4)-3=0解析：原始方程式为(2-3)

11、 (-5) (4-3)=0，是。注释：平面向量的乘法运算类似于代数中实数和未知数的运算法则，在求解中考虑向量的特性。问题3:平面向量的座标和运算范例5 .已知、a (2，-1)、B(3，2)、c (-3，1)、BC边的高度为AD。分析：设定D(x，y)后是的所以。范例6 .试验用于查找已知点、直线和(坐标原点)交点的坐标的矢量方法。分析：设置因为是和的交点，所以在直线上，也在直线上。好的，用点。得到方程式。因此，直线和的交点坐标为。问题4:平面向量的性质范例7 .在平面中指定了三个矢量，并回答以下问题：(1)满足的实数m，n；(2)如果是，正确的数目k；如果满意的话，请。分析：(1)通过提问，

12、所以。(2)、(3)从问题中得到，或。范例8 .已知(1)追求；(2)对于实数，是和平行，对于平行，是相同方向还是相反方向？解决方法：(1)因为所以邮报(2)、因为与平行，所以可以。此时矢量与方向相反。观点：以上两个例子重点分析了平面矢量的特性在坐标运算中的表现方式，着重讨论了平面矢量共线的确定和平面矢量模块的计算方法。问题5:共线向量定理和平面向量基本定理范例9 .(2020北京卷文本)已知矢量，如果那么()A.和相同方向b .和反向C.和相同方向d .和反向回答d此问题的主要检查向量的共线(平行)、向量的加减。基本知识，基本运算检查。a，b，如果是，cab，dab，显然，a与b不平行，a，

13、b除外。如果是，那么cab、dab、Cd反转c和d，选择d(c除外)。注释：熟练使用矢量的加减、实数和矢量的乘积的坐标运算；两个矢量平行的坐标表示；使用矢量的坐标表示，完全代数矢量的运算，将数量和形状有机地组合在一起。范例10 .(1) (06 Fujian Li，11)已知=1，=，=0，点c位于AOB内，AOC=30，设置=A.b.3 c.d(2)(2020安辉卷)是两个长度为1的平面向量及其夹角。点c在o形中心圆弧上发生变化，如图所示。如果你在里面的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _。回答2解析设定也就是说问题6:平面向量合成问题范例11 .(2020上海圈)ABC的角a、b和c分别

14、被称为a、b和c，并且设定了向量。，(1/的情况下，证据：ABC是等腰三角形；(2)如果 I，边长C=2，角度C=ABC的面积求。证明：(1)也就是说，其中r是三角形ABC外切圆半径的等腰三角形解决方法(2)可以通过问题的意义来知道余弦定理就知道了。第五。事故摘要数学教材是学习数学基本知识和形成基础技术的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中培养和发展的。新课程试卷中的一些平面向量问题与教科书中的例子练习相同，只是个别的小问题，但它对学习有意义，在教学中使用教材有不可估量的作用。因此，学习阶段必须在掌握教材的基础上，按照一定的观点和方法将各个局部支撑式联系在一起，形成知识体系。本章主要建立数字转换和结合的观点，用多代、形状、代数运算处理几何问题，特别是处理矢量的相关位置关系，正确使用共线和平面