习题课质点力学和刚体力学

1、力学习题课 （质点力学）,运动学部分,位移(矢量)：,速度(矢量)：,加速度(矢量)：,1、 描述质点运动的物理量：,位矢(矢量)：,2、运动学中的两类问题：,2）已知： 及初值条件。 求： 解法：积分。,1) 已知：质点运动学方程 。 求： 及轨迹方程等。 解法：求导。,3、圆周运动：,角量与线量的关系：,4、相对运动：,角量描述：,切向与法向加速度：,5、注意区分：,例：质点在运动过程中： 1） 是否变化？,2） 是否变化？,3） 的运动是什么运动？ 的运动是什么运动？,变化,不变,匀速直线运动,匀速率运动,动力学部分,一、牛顿运动定律：,1、第一定律：,惯性和力的概念，惯性系的定义。,2

2、、第二定律：,当m 视为恒量时，,3、第三定律：,二、运动的守恒定律：,1、描述运动的状态量：,质点 质点系,动 能：,动 量：,角动量：,2、基本原理：,质点 质点系,动量定理：,角动量定理：,动能定理：,功能原理：,3、守恒定律：,角动量守恒：,动量守恒：,条 件,内 容,机械能守恒：,4、基本概念：,1）质心：,2）惯性力：,3）力矩：,4）角动量:,7）势能：,重力势能：,万有引力势能：,弹力势能：,5）功：,6）保守力：,5、注意区分：,1、质点的动量与动能：,2、质点的动量与角动量：, 作匀速直线运动的质点角动量是否一定为零？一定守恒？ 作匀速圆周运动的质点角动量是否一定守恒？,

3、若把电子视为经典粒子，电子绕核作圆周运动时，电子的 动量是否守恒？对圆心的角动量是否守恒？,不一定为零；一定守恒；,动量不守恒；对圆心的角动量守恒。,动量不同；动能相同。,只对圆心角动量守恒。,应注意的几个问题：,1、矢量形式:,2、方向问题:,c：解题过程中必要的说明（适用定理），对结果的分析。,3、应注意解题的基本步骤：,a：系统（研究对象）的选择，过程的分析；,b：参考系的选择，坐标系的建立，受力分析；,1、某人骑自行车以速率v 向正西方向行驶，遇到由北向南刮的 风（设风速大小也为 v ），则他感到的风是从 A）东北方向吹来 B）东南方向吹来 C）西北方向吹来 D）西南方向吹来,2、质量

4、分别为m A 和m B 的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结 后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为，系统 在水平拉力作用下匀速运动。如突然撤消拉力，则刚撤消后 瞬间，二者的加速度a A 和 a B 分别为, C , D ,练习题,3、力 作用在质量 的物体上，使物体由 原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为：,4、一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，用一绳一端 连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔， 该物体原以角 速度 在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下 拉，则物体 A）动能不变，动量改变 B）动量不变，动能改变 C）角动量不变，动量不变 D）角动量改变，动量改变 E

5、）角动量不变，动能、动量都改变, B , E ,5、一块很长的木板，下面装有活动轮子，静止地置于光滑的水 平面上，质量为m A 和m B 的两个人A 和B 站在板的两头，他 们由静止开始相向而行，若m A m B ，A 和B 对地 的速率 相同，则木板将： A）向左运动 B）静止不动 C）向右运动 D）不能确定,6、质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为， 式中A、B、都是正的常数，则力在 t = 0 到 t = / (2) 这段时间内所作的功为：, C , C ,7、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为： ，则该质点作：,A）匀速直线运动。 B）变速直线运动。 C）抛物线运动。

6、 D）一般曲线运动。,8、湖中一小船，有人用跨过高处定滑轮的绳子拉船靠岸。 当收绳速率v 0 保持不变时，小船的运动：,A）匀加速运动。 B）匀减速运动。 C）变加速运动。 D）变减速运动。, C , B ,9、质量为m 的小球在向心力的作用下，在水平面内作半径R、 速率为v 的匀速圆周运动，小球自 A 点逆时针运动到 B 点 的半周内，动量的增量为：, B ,10 质点系的内力可以改变 A）系统的总质量B）系统的总动量 C）系统的总动能D）系统的总角动量, C , C ,11以质量为m 的木块沿固定的光滑斜面下滑，当下降 h 时， 重力的瞬时功率是：,A）不受外力作用的系统，动量和机械能必然

7、守恒。 B）合外力为零，系统的动能和动量同时为零。 C）只受保守内力作用的系统，其动量和机械能必同时守恒。 D）合外力为零，内力为保守力，则系统的动量和机械能必然 同时守恒。, C ,13、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩 为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、 机械能三个量中一定守恒的量是 ,12、下列说法中正确的是：,动 量,不一 定,14、质量为m 的物体,以 从地面抛出。抛射角 ，忽略 空气阻力。则从抛出到刚要接触地面的过程中 1) 物体动量增量大小为（ ） 2) 物体动量增量方向为（ ）,竖直向下,15、x 轴沿水平方向，y 轴竖直向下。在t = 0 时刻将质量为

8、m 的质点由a 处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t， 质点所受的对原点O 的力矩 （ ）； 在任意时刻t，质点对原点O 的角动量 （ ）。,16、质量为0. 25kg的质点，受力 的作用， t 为时间。 t = 0 时该质点以 的速度通过坐标原点，则该质 点任意时刻的位置矢量为（ ）。,18、一质点在平面上作曲线运动，其速率V 与路程S 的关系 为：V =1 + S 2 ，则其切向加速度以路程 S 来表示的表达 式为：a t =（ ）。,17、炮车以仰角 发射一炮弹，炮弹与炮车质量分别为m 和 M ，炮弹相对于炮筒出口速率为v，不计炮车与地面间的 摩擦，则炮弹出口时炮车的反冲速率为（ ）

9、。,例1在光滑水平面上，有一原长为l0 = 0.6m，倔强系数k = 8N/m 的弹性绳，绳的一端系一质量为m = 0.2 kg 的小球，另一端 固定在水平面的A 点，最初弹性绳是松弛的，小球B 的位置 及初速度如图，当小球的速率为v 时，它与A 的距离最大， 此时l = 0.8m,求：此时的速率v 及初速率 v 0,解：,B与A端的距离最大时，,小球的速度与绳垂直。,角动量守恒：,机械能守恒：,由1）,例4在光滑面上有一运动物体P。在P的正前方有一个连着弹簧和挡板的静止物体Q(弹簧和挡板的质量不计)。 P和Q质量相等。碰后P静止， Q以P的速度运动，则在碰撞中弹簧压缩量最大的时刻是：,(A)

10、 P的速度正好变为零时。 (B) P与Q速度相等时。 (C) Q正好开始运动时。 (D) Q正好达到 P原来的速度,注：若vP vQ，则弹簧继续压缩,若vP vQ ,弹簧伸张,只有vP = vQ时弹簧压缩量最大,例5由l1 伸长至l2的过程中，弹性力作的功为：,例 判断 (1)保守力作正功时，系统内相应势能增加。 (2)质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 (3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作的功代数和必为零。,例题6 质量为M的很短的的试管，用长为L、质量可忽略的硬直杆悬挂。试管内盛有乙醚，管口用质量为m的软木塞封闭。当加热试管时，软木塞在乙醚蒸汽压力下飞出。要使

11、试管绕选点绕悬点在竖直面内作一完整的圆周运动，则软木塞飞出的最小速度为多少？若将换成细绳，结果如何？,解：V1为软木塞飞出的最小速度，取软木塞和试管为系统,由动量守恒,(1)直杆：,由机械能守恒,(2)细绳：,由机械能守恒,在最高点,例7在倔强系数为k的弹簧下挂一质量为M的盘，一团质量为m 的黏土有距盘底高h处自由落下，碰到盘底即粘在上面。 求：弹簧的最大伸长量。,解：从黏土开始自由落下到弹簧达到最大伸长 的全过程可分为三个过程。,第一过程：以黏土为研究对象。,第二过程：把黏土和盘视为一个质点系。,受力分析如图：外力为重力和弹力。,因为在碰撞过程中，内力远大于外力，可认为 质点系动量守恒。,第

12、三过程：把黏土、地球、弹簧和盘视为一个系统。,系统受外力，但外力不作功；且系统无非保守内力，系统机械能守恒。,取O点为弹性势能零点；碰撞瞬间的位置为重力势能零点。,由机械能守恒定律得：,联立1） 4）式，得：,例9如图所示，两人通过定滑轮将一重物拉起。若两人拉绳子 的速率均为常数v0，试求当两绳夹角为2 时，重物上升的 速度及加速度。,解：1）求导法：,对 t 求导：,速率：,2）取微元法：,t ：运动到A点，A,t + t ：运动到D点，位移y,由图知：,ay 与 vy 同号为加速，且为变加速。,例题10 如图，两个带理想弹簧缓冲器的小车A和B，质量分别为m1和m2B不动，A以速度 与B碰撞

13、，如已知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为k1和k2，在不计摩擦的情况下，求两车相对静止时，其间的作用力为多大？（弹簧质量略而不计）,解：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中 当两小车相对静止时，两车速度相等 在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒 x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩量由牛顿第三定律 相对静止时两车间的相互作用力,例题11 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J = 初始时棒静止今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示子弹的质量为m= 0

14、.020 kg，速率为v = 400 ms-1试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度w有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 Nm的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度q？,解：(1) 角动量守恒： 15.4 rads-1 （2） Mr()b 0w 22bq 0w 22bq 15.4 rad ,刚体力学习题课,刚体力学小结,一、基本概念：,刚体：在任何外力作用下, 形状大小均不发生改变的物体。 是特殊的质点系。,刚体转动惯量：刚体对某定轴的转动惯量等于刚体上各质点 的质量与该质点到转轴垂直距离平方的乘积的总和。,刚体的转动动能：,刚体定轴转动角动量：,力矩的功：,刚体的重力

15、势能:,2、基本原理：,1）刚体角动量原理：,刚体定轴转动角动量原理：,2）刚体的角动量守恒定律：,刚体定轴转动角动量守恒定律：,3） 刚体定轴转动定律：,4）刚体定轴转动的动能定理：,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。,5）刚体的机械能守恒定律:,若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统 机械能守恒.,三、基本计算：,1、转动惯量的计算：,若质量离散分布：（质点，质点系）,若质量连续分布：,平行轴定理：,正交轴定律：,2）均匀圆盘 （圆柱体）：,4）均匀球体：,3）薄圆环（薄圆筒）：,常用的转动惯量：,1) 均匀细棒,练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：,5）薄球壳：,2、刚体

16、定轴转动定律：,具体应用时应注意以下问题：,1) 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 2) 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负。 3) 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程。,例1 一轴承光滑的定滑轮，质量为M =1.00kg，半径为R = 0.10m， 一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一 质量为m = 2.00 kg 的物体，已知定滑轮的转动惯量 , 其初角速度0 = 5.00rad/s ，方向垂直纸面向里。 求：1）定滑轮的角加速度。 2）定滑轮角速度变化到零时，物体上

17、升的高度。,解：1）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。 取滑轮转动方向为正。,由转动定律：,研究物体的运动。分析受力。取向上为正。,关联方程：,联立解得：,2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。,法2,由刚体的运动公式：,3、刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：,1）光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加一对 大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中，细 杆的动量是否守恒/，对杆中心点O的角动量是否守恒？ 动能是否守恒？,注意区分：,角动量守恒与动量守恒的条件。,合外力为零，则系统的动量守恒。,合外力矩不为零，则系统的角动量不

18、守恒。,合外力矩作正功，则系统的动能不守恒。,解: 把演员视为质点，A、B 和跷板作为一个系统， 以通过点C垂直平面的轴为转轴。,例2 一杂技演员A 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的 一端，并把跷板另一端的演员B 弹了起来。跷板是均匀 的，长度为l ，质量为m ，支撑板在板的中点C，跷板 可绕 C 点在竖直平面内转动，演员A、B 的质量都是m ， 假定A 落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞， 问演员B 可弹起多高？,由于作用在系统上的合外力矩为零，故系统角动量守恒： 初状态：,末状态：,J 为其跷板的转动惯量，把板看成是窄长条形状。,这样演员B 将以速率v = l / 2 跳起，

19、 达到的高度h为：,例3 质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平 轴O无摩擦地转动。现有一质量为m 的子弹以速度 水平射 入杆中。 求：子弹与杆一起运动时的角速度及转过的最大角度？,解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰 撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。 系统相对于O 轴的角动量守恒。,第二阶段：系统绕 O 轴转动过程中，合外力不为零，且合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能守恒。,解得：,子弹与杆一起运动时的角速度：,子弹随杆转过的最大角度：,讨论：当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩却可以 为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。,例4质量分

20、别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行。原来它们沿同一转向分别以10，20的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示.求最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1，2。,二圆柱系统角动量守恒故有,解：在接触处无相对滑动时,由以上二式就可解出1、2,答：原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之和是错误的，因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算。当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反，所以应为,正确的解法： 对两圆柱分别使用角动量定理，由于两柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同,

21、则:,这种解法对吗?,由此可解得:,例5已知棒的M、l,其上的m,m可滑动。M受阻力正比于速度。初始两m固定,距离o是r，随棒以1 转动。求(1)松开两m,当其达棒端A,B时,系统角速度？ (2)两m飞离时，棒的？,解：(1)阻力通过固定轴动力矩为零。系统角动量守恒,(2)两m飞离时,对棒无力矩作用,因而棒的角速度仍为2,例6如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到h0高度，令它自静止状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,解:碰撞前单摆摆锤的速度为,令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v 由

22、角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中机械能守恒:,二式联立解得：,按机械能守恒,碰撞后摆锤达到的高度显然为,而杆的质心达到的高度满足,由此得,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例题7一个飞轮的质量为69kg，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力N为多大？(=0.46）,1、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量 为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度 = ( ),2、一轻绳绕于半径 r = 0.2 m 的飞轮边

23、缘，并施以F = 98 N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于39.2 rad / s2， 此飞轮的转动惯量为（ ）, 练习题 ,4、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这 几个力的矢量和为零，则此刚体 A）必然不会转动 B）转速必然不变 C）转速必然改变 D）转速可能改变，也可能不变。,5、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小 C）它受热或遇冷时，角速度均变大 D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大,3、质量分别为m、2m的两物体，用一长为l的轻质刚性细杆相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定转

24、轴O转动，已知O轴离质量为2m的质点距离为 l / 3，质量为m 的质点的线速度为 v 且与杆垂直，则该系统对转轴的角动量大小为,6、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举 二哑铃在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒 B）机械能守恒，角动量不守恒 C）机械能不守恒，角动量守恒 D）机械能不守恒，角动量也不守恒 ,7、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 A）取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 D）取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。 ,8、均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小 B）角速度从小到大，角加速度从小到大 C）角速度从大到小，角加速度从大到小 D）角速度从大到小，角加速度从小到大 ,9（本题3分）0291 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体(m1m2)，如图所示绳与轮之间无相对滑动若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，