7-5空间直线及其方程

1、第七章,第五节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间直线及其方程,二、两直线的夹角,一、直线方程,三、直线与平面的夹角,四、过直线的平面束方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,直线的一般式方程,一、空间直线的一般方程,其中 A1 ,B1 , C1 与 A2 ,B2 , C2 不成比例。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，则这个向量就称为这条直线的方向向量,二、空间直线的对称式方程与参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有,直线的对称式方程,直线方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线的对称式

2、方程有时也称直线的标准方程,说明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 直线的两点式方程, 直线的参数方程 （t 为参数）, 直线的参数方程 （t 为参数）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于直线的参数方程，我们可以从另一个角度来看,解：,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,还能怎么做？,解：,只有这一种形式 ！,机动 目录 上页 下页 返回 结束,想想下面这个题能化成几种形式 ？,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解1,在直线上任取一点,取,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取,对称式方程,参数方程,例2 用对称式方程及参数方程表示直线,解2,在直线上找出两点,取,解

3、得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取,解得,求出直线上的两点,由两点式得,参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以对称式方程,解:,所以交点为,所求直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,说明:,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,直线,定义：两相交直线所成的锐角（包括直角） 称为两直线的夹角。,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：,（1）若两直线平行，则认为它们的夹角为零。,（2）若两直线是异面直线，先将它们平移至相 交状态，这时两直

4、线的夹角就称为异面直 线的夹角。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两直线的位置关系：,/,定义：,一直线与它在某平面上投影直线之间的夹角 称为该直线与此平面之间的夹角。,四、直线与平面的夹角,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、点到直线的距离,点到直线的距离公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1：直线的方向向量为,由公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在直线上找一点,解2：直线的方向向量为,直线与平面的交点为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、过直线的平面束,机动 目录 上页 下页

5、 返回 结束,过直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1：已知直线的方向向量为,已知平面的法向量为：,显然，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,取投影直线的方向向量为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,投影直线的方向向量,又投影直线过已知直线和平面的交点,则所求投影直线方程为,解2：已知直线的方向向量为,直线在已知平面上的投影平面的法向量为,则直线在已知平面上的投影平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则所求投影直线方程为,在已知直线上找一点,解3：过直线的平面束方程为,其法向量为,由题意,解得,则直线在已知平面上的投影平面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则

6、所求投影直线方程为,七、两直线共面的条件、异面直线之间的距离,已知两直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知两直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,异面直线间的距离：即公垂线上两垂足之间的距离。,如图，公垂线长等于以,为棱的平行六面体的高, 异面直线间的距离,解1:,故两直线异面。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又因为,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故其方向向量为,则点 上任一点到平面,的距离就是所求的异面直线间的距离。,先来分析一下:,解2:,同解1，可证两直线异面。,过L1且平行于L2的平面的法向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,过L1且平行于L2的

7、平面方程为,L2上任一点到的上平面的距离即为两直线的距离,设两垂足的坐标分别为,求异面直线公垂线的方法：,求得垂足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求得公垂线方程和公垂线长即异面直线的距离。,例10：,解1,公垂线 L 的方向向量为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10：,解2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,公垂线 L 的方向向量为：,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10：,解3,公垂线 L 的方向向量为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题意，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题意，,一般式,对称式,参数式,机动

8、 目录 上页 下页 返回 结束,1. 空间直线方程,八、内容小结,直线,2.线与线之间的关系,直线,两直线的夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面 :,L,L / ,直线与平面的夹角公式：,3.线与面之间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 距离,直线,直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.过直线的平面束方程,过直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题6-5(P29) 3 ，7，10， 12，16，18,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,作业,习题6-4(P23) 13,备用题,分析：,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,解法1：,习

9、题课 目录 上页 下页 返回 结束,解法2：,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,即,解法3：,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,即,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,解1,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入平面方程得 ,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：求直线与平面的交点的方法,将 L 化为参数方程：,代入平面方程，确定 t 值，从而就可确定交点(x,y,z).,注：当 L 为一般方程时，需要解三元一次方程组。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2,由题意，有,已知直线的方向向量为：,所求直线方程为:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解3：,已知直线的方向向量为：,所求直线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解4：,已知直线的方向向量为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解5：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,机动