全国中考数学试卷分类汇编专题 8操作探究

1、操作探究 一选择题 1. 2013 绍兴 4 分）小敏在作O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤： （1）作O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交 OA 于点 M，如图 1； （2）以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点 D，连结BD，如图2若O 的半径 为 1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是（） A 2 BD = B 2 BD =ODOD CBD2=OD D 2 BD =OD 【答案】C 【解析】如图 2，连接 BM， 根据题意得：OB=OA=1，ADOB，BM=DM， OA 的垂直平分线交 OA 于点 M， OM=AM=OA=， BM= DM=，

2、=， 、 （20132013 深圳，深圳，9 9，3 3 分）分）如图 1，有一张一个角为30o， =， OD=DMOM= 最小边长为 2 的直角三角形纸片， 沿图中所示的中位线剪开后， 将两部分拼成一个四边 形，所得四边形的周长是 A8或2 3 【答案】【答案】D D B10 或42 3C10 或2 3D8或42 3 【解析】【解析】如图，有三种拼接方式，前一种拼接方式的周长为42 3，后两种拼接方式的周 长为均 8，故选 D 【方法指导】【方法指导】 本题考查了直角三角形的边角关系及特殊四边形的相关性质。 拼接时注意分类， 做到不重不漏，细心计算。 30 2. (2013 (2013 山东

3、烟台，山东烟台，8,38,3 分分) )将正方形图 1 作如下操作：第 1 次：分别连结各边中点如图2， 得到 5 个正方形；第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3得到 9 个正方 图 1 形，依此类推，根据以上操作若要得到2013 个正方形，则需要操作的次数是（） A502B.503C.504D. 505 【答案】B 【解析】从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过观察、分析、比较、提炼、验证，从而 发现规律，推出结论. 第一次操作后正方形的个数：41+1=5；第二次操作后正方形的个数：42+1=9； 第三次操作后正方形的个数：43+1=13第 n 次操作后正方形的个数：4

4、n+1=4n+1（n 为正整数）4n+1=2013n=503. 【方法指导】本题考查了图形的规律探索.探索规律型问题一般包括数字规律问题、等式规 律问题、图形排列规律问题、图形变换规律问题、数形结合规律问题和计算类问题等等.解 决这类问题往往需要我们借助于一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出 一般性的结论，并对结论进行验证.通常以填空或选择的形式出现. 二填空题 1.（20132013 四川绵阳，四川绵阳，1616，4 4 分）分）对正方形 ABCD 进行分割，如图 1，其中 E、F 分别是 BC、 CD 的中点，M、N、G 分别是 OB、OD、EF 的中点，沿分化线可以剪出一

5、副“七巧板” ， 用这些部件可以拼出很多图案， 图 2 就是用其中 6 块拼出的 “飞机” 。 若GOM 的面积为 1， 则“飞机”的面积为14 。 解析连接 AC，四边形 ABCD 是正方形， ACBD，E、F 分别 BC、CD 的中 点，EF/BD，ACEF，CF=CE，EFC 是等腰直角三角形，直线AC 是EFC 底边上的高 所在直线，根据等腰三角形“三线合一” ，AC 必过 EF 的中点 G，点 A、O、G 和 C 在同一 1 条直线上，OC=OB=OD，OCOB，FG 是DCO 的中位线，OG=CG= OC, M、N 分别是 OB、 2 111 OD 的中点，OM=BM= OB，ON

6、=DN= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形 GOM 的 224 11 面积为 1， OMOG= OM2=1，OM= 2 ,BD=4 OM=4 2 ,2AD2= BD2=32,AD=4,图 2 中飞机面积 22 图 1 中多边形 ABEFD 的面积，飞机面积=正方形 ABCD 面积-三角形 CEF 面积=16-2=14。 2 （2013 江西南昌， 16， 3 分） 平面内有四个点 A、 O、 B、 C， 其中AOB=120， ACB=60， AO=BO=2，则满足题意的 OC 长度为整数的值可以是 【答案】【答案】2，3，4 【解析】【解析】 由AOB=120， AO

7、=BO=2 画出一个顶角为 120、 腰长为 2 的等腰三角形， 由60 与120互补，60是120的一半，点 C 是动点想到构造圆来解决此题 【方法指导】【方法指导】 本题主要考查学生阅读理解能力、 作图能力、 联想力与思维的严谨性、 周密性， 所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识， 分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变 化中抓住不变量的探究能力 3（20132013 湖南永州，湖南永州，1616，3 3 分）分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游 戏规则:一个方块下面最多埋一个雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围方 块(最多八个)中雷的个数(0 常省略

8、不标)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且只有 3 个埋有雷，图乙是张三玩游戏的局部，图中有4 个方块已确定是雷(方块上标有旗子)，则 图乙第一行从左数起的七个方块中(方块上标有字母)，能够确定一定是雷的有(请填 入方块上的字母) A B C D E F G 图甲图乙 【答案】【答案】D、F、G. 【解析】【解析】根据 B 下方 2 下方的 1，判断 A 下方的方块一定是雷，再根据B、C、D、E、F 下 方的数字判断 A、B、C 中只有 1 个雷，B、C、D 中有 2 个雷，C、D、E 中只有 1 个雷，D、 E、F 中有 2 个雷，E、F、G 中有 2 个雷. (1)如果 A 是雷，

9、则 B、C 都不是雷，而 B、C、D 中有 2 个雷，相矛盾，则A 不可能是雷. (2)如果 B 是雷，则 A、C 都不是雷，则 D 是雷，E 不是雷，F、G 是雷，即 B 是雷时，B、 D、F、G 一定是雷； (3)如果 C 是雷，则 A、B 都不是雷，则 D 是雷，E 不是雷，F、G 是雷，即 C 是雷时，C、 D、F、G 一定是雷； 所以图乙第一行从左数起的七个方块中，能够确定一定是雷的有D、F、G. 【方法指导】【方法指导】我们在确定了 A，B，C 下有一只雷时，需要分情形来讨论，于是我们分A 是 雷，B 是雷，C 是雷三种情形来讨论。 4. （20132013 广东省，广东省，151

10、5，4 4 分）分）如题 15 图，将一张直角三角形纸片ABC 沿中位线 DE 剪开后， 在平面上将BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转180 0， 点 E 到了点E位置， 则四边形ACEE 的形状是 【答案】【答案】平行四边形. 【解析】【解析】因为 DE 是ABC 的中位线，所以 DEAC，且 AC=2DE=2DE，所以，旋转之后，EE AC，且 EE=AC，所以四边形ACEE的形状是平行四边形又因为AC 不一定恰好等于 AE，所以四边形ACEE的形状不一定是菱形故答案填平行四边形 【方法指导】【方法指导】 操作类的题目在近几年的中考试卷中比较常见， 解决这类问题最好的办法就是 实际

11、操作，当然，也可以根据图形的性质通过计算确定答案 5. 5. (2013 湖南邵阳,11,3 分)在计算器上，依次按键2,x2，得到的结果是_. 【答案】 ：4 【解析】 ：22 4 【方法指导】 ：本题考查了计算器有理数，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是 一道比较容易出错的题目. 三解答题 1 （2013 河 南 省 ，22，10 分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合 放置，其中C 90,B E 30. （1 1）操作发现）操作发现 如图 2，固定VABC，使VDEC绕点C旋转。 当点D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是； 设VBDC的面积为S

12、1，VAEC的面积为S 2 。 则S1与S 2 的数量关系是。 【解析】由旋转可知：AC=DC， C 90,B E 30，AD 60 ADC 是等边三角形，ACD60,又CDE60 DEAC 过 D 作 DNAC 交 AC 于点 N，过 E 作 EMAC 交 AC 延长线于 M，过 C 作 CFAB 交 AB 于点 F。 由可知：ADC 是等边三角形,DEAC，DN=CF,DN=EM CF=EM C 90,B 30，AB 2AC,又AD AC BD AC S 1 11 CFgBDS 2 ACgEMS 1 =S 2 22 （2 2）猜想论证）猜想论证 当VDEC绕点C旋转到图 3 所示的位置时，

13、小明猜想（1） 中S1与S 2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了VBDC和VAEC 中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想。 【证明】DCE ACB 90,DCM ACE 180 又ACN ACE 180,ACN DCM 又CNA CMD 90, AC CD ANCDMC AN=DM 又CE=CB,S1 S2 （3 3）拓展探究）拓展探究 已知ABC 60，点D是其角平分线上一点， ，若在射线BA BDCD 4，OEAB交BC于点E（如图 4） 上存在点F，使SVDCF SVBDC,请直接写出相应的BF的长 【解析】如图所示，作DF 1 BC交BA于点F 1 ,作DF 2 BD交BA于点

14、F 2 。 按照（1） （2）求解的方法可以计算出 BF 1 4 38 3 BF 2 33 2.（20132013 陕西，陕西，2525，1212 分）分） （本题满分 12 分） 问题探究问题探究 （1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分； （2）如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中 一条直线必须过点 M），使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决问题解决 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a，CD=b，且b a，那么在边BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直

15、线将四边 形 ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在， 求出 BQ 的长； 若不存在， 说明理由. A A 图B 图 C BC M D D P 图 （第（第 2525 题图）题图） 考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的 性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分 问题。问题。 解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，

16、动手操作能力， 问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡， 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。 （1 1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。 （2 2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线 的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个

17、部分。而在正方形中就更特殊， 常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有 这些知识的积累足够解决。这些知识的积累足够解决。 （3 3）问中可以考虑构造（）问中可以考虑构造（1 1） （2 2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点 的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线 构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应

18、用。 解：解： （1 1）如图）如图所示所示 （2 2）如图，连接）如图，连接 ACAC、BDBD 相交于点相交于点 O O，作直线，作直线 OMOM 分别交分别交 ADAD、BCBC 于于 P P、 Q Q 两点，过点两点，过点 O O 作用作用 OMOM 的垂线分别交的垂线分别交 ABAB、CDCD 于于 E E、F F 两点，则直线两点，则直线 OMOM、 EFEF 将正方形将正方形 ABCDABCD 的面积四等分的面积四等分. . 理由如下：理由如下： P A M D F E B 答图 （第（第 2525 题答案图）题答案图） 答图 O Q C 点点 O O 是正方形是正方形 ABCD

19、ABCD 对角线的交点，点对角线的交点，点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的对称中心的对称中心 AP=CQAP=CQ，EB=DFEB=DF， D D 在在AOPAOP 和和EOBEOB 中，中， AOP=90AOP=90- -AOEAOE，BOE=90BOE=90- -AOEAOE AOP=AOP=BOEBOE OA=OBOA=OB，OAP=OAP=EBO=45EBO=45AOPAOPEOBEOB AP=BE=DF=CQAP=BE=DF=CQAE=BQ=CF=PDAE=BQ=CF=PD 设点设点 O O 到正方形到正方形 ABCDABCD 一边的距离为一边的距离为d. . 111

20、1 (AP AE)d (BE BQ)d (CQ CF)d (PD DF)d 2222 S 四边形APOE S 四边形BEOQ S 四边形CQOF S 四边形POFD 直线直线 EFEF、PQPQ 将正方形将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 另解：点另解：点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 对角线的交点，点对角线的交点，点 O O 是正方形是正方形 ABCDABCD 的的 中心中心 OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=ODOAP=OAP=OBE=OBE=OCQ=OCQ=ODF=45ODF=45 PQPQEFEF，POD+POD+DOF=90DOF=90，POD+PO

21、D+POA=90POA=90 POA=POA=DOFDOF 同理：同理：POA=POA=DOF=DOF=BOE=BOE=COQCOQ AOPAOP BOEBOE COQCOQ DOFDOF 1 S 四边形APOE S 四边形BEOQ S 四边形CQOF S 四边形POFD S 正方形ABCD4 直线直线 EFEF、PQPQ 将正方形将正方形 ABCDABCD 面积四等分面积四等分 （3 3） 存在存在. .当当 BQ=CD=BQ=CD=b时，时，PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分. . EF 理由如下：如图，延长理由如下：如图，延长 BABA 至点至点 E E，

22、使，使 AE=AE=b， 延长延长 CDCD 至点至点 F F，使，使 DF=DF=a，连接 EF. D BEBECFCF，BE=CFBE=CF四边形四边形 BCFEBCFE 为平行四边形，为平行四边形， P BC=BE=BC=BE=a+b，平行四边形平行四边形 DBFEDBFE 为菱形为菱形 M A BC 答图Q （第（第 2525 题答案图）题答案图） 连接连接 BFBF 交交 ADAD 于点于点 M M，则，则MABMABMDFMDF AM=DM.AM=DM.即点即点 P P、M M 重合重合. . 点点 P P 是菱形是菱形 EBCFEBCF 对角线的交点，对角线的交点， 在在 BCB

23、C 上截取上截取 BQ=CD=BQ=CD=b，则，则 CQ=AB=CQ=AB=a. . 设点设点 P P 到菱形到菱形 EBCFEBCF 一边的距离为一边的距离为d S ABP S QBP 11 (AB BQ)d (CQ CD )d S CQP S CDP22 所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. . 另解：存在另解：存在. .当当 BQ=CD=BQ=CD=b时，时，PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 面积二等分面积二等分. . 理由如下：如图，连接理由如下：如图，连接 BPBP 并

24、延长并延长 BPBP 交交 CDCD 延长线于点延长线于点 F F，连接，连接 CPCP 点点 P P 是是 ADAD 的中点，的中点，PA=PDPA=PD ABABCDCD，ABP=ABP=DFPDFP，APB=APB=DPFDPFAPBAPBDPFDPF AB=DFAB=DF，PB=PFPB=PF，所以，所以 CPCP 是是CBFCBF 的中线，的中线， S CPB AB+CD=BCAB+CD=BC，DF+CD=BCDF+CD=BC，即：，即：CB=CFCB=CF，CBF=CBF=CFBCFB ABP=ABP=DFPDFPABP=ABP=CBPCBP 即即 PBPB 是角平分线是角平分线.

25、 . 点点 P P 到到 ABAB 与与 CBCB 的距离相等，的距离相等， BQ=BQ=b，所以，所以 CQ=AB=CQ=AB=a S ABP S CPF F D P A B C S CQP S 四边形ABQP S 四边形QCDP 3. （20132013 山西，山西，2626，1414 分）分）综合与探究：如图,抛物线y = 答图Q （第（第 2525 题答案图）题答案图） 所以当所以当 BQ=BQ=b时，直线时，直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分. . 1 2 3 x -x- 4与 x 轴交于 A,B 42 两点(点 B 在点

26、 A 的右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0） ，过点P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线 于点 Q （1）求点 A,B,C 的坐标。 （2）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时， 四边形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。 （3）当点P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q，使BDQ 为直角三角形，若存在，请直 接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解析： （1）当 y=

27、0 时， 1 2 3 x -x- 4 =0，解得，x 1 =-2,x 2 =8 42 点 B 在点 A 的右侧， 点 A,B 的坐标分别为： （-2，0） ， （8，0） 当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（0，-4） ， （2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（0，4）. 1b =4 设直线 BD 的解析式为 ykxb，则.解得，k=-，b=4. 28k +b =0 直线 BD 的解析式为y =- 1 x+4. 2 113 ， （m，m2-m- 4）m+4） 242 lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（m，- 如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形. （- 113

28、 m+4）-(m2-m- 4)=4-(-4) 242 化简得：m2- 4m =0.解得，m1=0， （舍去）m2=4. 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形. 此时，四边形 CQBM 是平行四边形. 解法一：m=4，点 P 是 OB 中点.lx 轴，ly 轴. BPMBOD. BPBM1 =.BM=DM. BOBD2 四边形 CQMD 是平行四边形， DM 行四边形. CQBMCQ.四边形 CQBM 为平 1b 1 =-4 解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4 2 8k1+b 1 =0 直线 BC 的解析式为 y= 1 x-4 2 又lx

29、轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2. 点 N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点 M,Q 的坐标分别为： （4，2） ，Q(4,-6). MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN. 又四边形 CQMD 是平行四边形.DBCQ，3=4， 又1=2，BMNCQN.BN=CN. 四边形 CQBM 为平行四边形. （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是 Q1（-2，0） ，Q2（6，-4）. 4.（ （20132013 四川绵阳，四川绵阳，2525，1414 分）分） （本题满分 14 分） 我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点， 这一点就叫做三角形的重心。 重心有很

30、多美 妙的性质，如在关线段比面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中 的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若 O 是ABC 的重心（如图 1） ，连结 AO 并延长交 BC 于 D，证明： （2）若 AD 是ABC 的一条中线（如图 2） ，O 是 AD 上一点，且满足 是ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若 O 是ABC 的重心，过O 的一条直线分别与 AB、AC 相交于 G、H（均不与ABC 的顶点重合） （如图 3） ，S 四边形BCHGS AGH 分别表示四边形 BCHG 和AGH 的面积，试探 S四边形BCGH 究的最大值

31、。 S AGH AA A AO2 ； AD3 AO2 ，试判断 O AD3 G OO O H 解： （1）证明： 如图 1，连结 CO 并延长交 AB 于点 P，连结 PD。 点 O 是ABC 的重心， P 是 AB 的中点， D 是 BC 的中点， PD 是ABC 的中位线， AC=2PD， AC / PD， DPO=ACO，PDO=CAO， OPD CA， AO2 =； AD3 （2）点 O 是是ABC 的重心。 证明：如图 2，作ABC 的中线 CP，与 AB 边交于点 P，与ABC 的 另一条中线 AD 交于点 Q，则点Q 是ABC 的重心，根据（ 1）中的证 AQ2 明可知 =， A

32、D3 AO2 而 =，点 Q 与点 O 重合（是同一个点） ，所以点 O 是ABC 的重心； AD3 （3）如图 3，连结 CO 交 AB 于 F，连结 BO 交 AC 于 E，过点 O 分别作 AB、AC 的平行线 OM、ON，分别 与 AC、AB 交于点 M、N， 点 O 是ABC 的重心， OE1OF1 =， = , BE3CF3 OMOE1 在ABE 中，OM/AB， = =，OM ABBE3 1 = AB， 3 ONOF1 在ACF 中，ON/AC， = =，ON = ACCF3 1 AC， 3 OMOH 在AGH 中，OM/AH， =， AGGH ONOG 在ACH 中，ON/AH

33、， =， AHGH ODPD1ADOD+OA1+23 = =, = , AOAC2AOOA22 11 ABAC 33OMONOHOGABAC + = + =1， + =1, + = 3 , AGAHGHGHAGAHAGAH ABAC 令 = m , = n , m=3-n, AGAH S四边形BCGHSABC-SAGH =, S AGHS AGH S四边形BCGH S AGH 11 ABACsinBAC- AGAHsinBAC 22 1 AGAHsinBAC 2 =ABAC-AGAH AGAH = ABAC3 = -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2+3n-1= -(n- )2 AGA

34、H2 5 + , 4 S四边形BCGHAC35 当 = n =，GH/BC 时，有最大值。 S AGHAH24 BGCHABAC 附： +=1 或 +=3 的另外两种证明方法的作图。 AGAHAGAH 方法一：分别过点 B、C 作 AD 的平行线 BE、CF，分别交直线 GH 于点 E、F。 方法二：分别过点 B、C、A、D 作直线 GH 的垂线，垂足分别为 E、F、N、M。 下面的图解也能说明问题： 5(2013 浙江湖州,23,8 分)一节数学课后，老师布置了一道课后练习： 如图，在RtABC中，ABBC，ABC90，BOAC于点O，点P、D分别在AO和BC上， PBPD，DEAC于点E

35、求证：BPOPDE （1）理清思路，完成解答 本题证明的思路可以用下面的框图表示： PBPD（已知） 要证 BOPPEDBOAC， DEAC （已知） BPOPDE 3PBD134 42C 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程 （2）特殊位置，证明结论 若BP平分ABO，其余条件不变求证：APCD （3）知识迁移，探索新知 1C45 PBD2 已知 条件 若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC 上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程） 【思路分析】（1）求出3=4，BOP=PED=90，根据 AAS 证BPOPDE 即可；

36、（2）求出ABP=4，求出ABPCPD，即可得出答案； （3）设 OP=CP=x，求出 AP=3x，CD= 2x，即可得出答案 【解】（1）证明：PBPD，PBD2 ABBC，ABC90，C45 BOAC于点O，145 1C45 3PBD1，42C， 34 又BOAC，DEAC，BOPPED90 PBPD，BPOPDE （2）由（1）可得34 BP平分ABO，ABP3 ABP4 又AC，PBPD，APBCPD APCD （3）CD与AP的数量关系是：CD 2 AP 3 【方法指导】本题考查了全等三角形的性质和判定， 等腰直角三角形性质， 等腰三角形性质 等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和

37、计算能力 6(2013 湖北荆门，24，10 分)已知关于 x 的二次函数 yx22mxm2m 的图象与关于 x 的函数 ykx1 的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2) (1)当 k1，m0，1 时，求 AB 的长； (2)当 k1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想 (3)当 m0，无论 k 为何值时，猜想AOB 的形状，证明你的猜想 (平面内两点间的距离公式AB(x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2) 【思路分析】(1)、(2)当 k1 时，直线yx1 与坐标轴围成一个等腰直角三角形，于是可 知 AB 的长是一个等腰直角三角形的斜边求 A

38、B 的长转化为求 A，B 两点横坐标之差的绝 对值； (3)猜想AOB 是直角三角形，这一猜想可利用两点间的距离公式等知识进行证明 【解】解：(1)当 k1，m0 x1x21，x1x21 AB2AC2|x1x2|2 时，yx2，如图 y x2, 5，联立得 x2x10 y x1. (x 1 x 2 )24x 1x2 10 同理，当 k1，m1 时，AB10 y B A x1 O 1 图 5 1 C x2 x (2)猜想：当 k1，m 为任何值时，AB 的长不变，即 AB10 y x22mx m2 m, 下面证明：联立 y x1. 消 y 整理得：x2(2m1)xm2m10 x1x22m1，x1

39、x2m2m1 AB2AC2|x1x2|2(x 1 x 2 )24x 1x2 10 (3)当 m0，k 为任意常数时，AOB 为直角三角形 y x2, 当 k0 时，则函数 ykx1 的图象为直线 y1则由 y 1, 得 A(1，1)，B(1，1) 显然AOB 为直角三角形 当 k1 时，则一次函数 ykx1 为直线 yx1 y x2, 则由得 x2x10 y x1, x1x21，x1x21 AB2AC2|x1x2|2(x 1 x 2 )24x 1x2 10 AB210 A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA2OB2x12y12x22y2210 AB2OA2OB2 AOB 为直角三角形 当 k

40、 为任意常数时，AOB 仍为直角三角形如图6， y x2, 联立得 x2kx10 y kx1, x1x2k，x1x21 AB2(x2x1)2(y2y1)2k45k24 OA2OB2x12y12x22y22k45k24 AB2OA2OB2 AOB 为直角三角形 y B A x1 O x2 图 6 x 以上试题和解答来自 2013-6-23荆门晚报 录入者对压轴题的第(3)问给出如下解法： 当 k 为任意常数时，AOB 为直角三角形如图 6，证明如下： y x2, 联立得 x2kx10 y kx1. x1x2k，x1x21 x12x22(x1x2)22x1x2k22， (x1x2)2(x1x2)2

41、4 x1x2k24 A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线 ykx1 上，y1kx11，y2kx21 y2y1k(x2x1) AB2(x2x1)2(y2y1)2(x2x1)2k2(x2x1)2(1k2)(x2x1)2 (1k2)(4k2) k45k24 OA2OB2x12y12x22y22x12(kx11)2x22(kx21)2 (1k2)(x12x22)2k(x1x2)2 (1k2)(k22)2k22 k45k24 AB2OA2OB2 AOB 为直角三角形 【方法指导】 求函数图象的交点坐标即是求由它们的解析式所组成的方程组的解 直线与抛 物线若有交点， 则它们交点的横坐标是消去y 后所得

42、一元二次方程的解 平面直角坐标系内， 求两点之间的距离的方法如下： (1)若两点的连线平行于横轴(纵轴)，则它们之间的距离等于 横坐标(纵坐标)之差的绝对值；(2)若两点的连线与坐标轴不平行， 则它们之间的距离可用勾 股定理求出 7 （2013 江西南昌，24，12 分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时， 经历了如下过程： 操作发现： 在等腰ABC 中，AB=AC，分别以AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角 三角形，如图1 所示，其中DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连 接 MD 和 ME，则下列结论正确的是（填序号即可） AF=AG=

43、 1 AB；MD=ME；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB 2 数学思考： 在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形， 如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位 置关系？请给出证明过程； 类比探索： 在任意ABC 中， 仍分别以 AB 和 AC 为斜边， 向ABC 的内侧作等腰直角三角形， 如图 3 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断MED 的形状 答： 【思路分析】【思路分析】（1） 由图形的对称性易知、都正确，DAB=DMB=45也正 确；（2）直觉告诉我们 MD 和

44、 ME 是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1 DFMMGE 的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证 MDME 就是要证 DME=90， 由DFMMGE 得EMG=MDF, DFM 中四个角相加为 180， FMG 可看成三个角的和，通过变形计算可得DME=90 （3）只要结论，不要过程，在（2） 的基础易知为等腰直角三解形. 解解 操作发现： 答：MD=ME，MDME， 先证 MD=ME； 如图 2，分别取 AB，AC 的中点 F，G，连接 DF，MF，MG，EG， M 是 BC 的中点， MFAC，MF= 1 AC， 2 1 AC， 2 又EG 是等腰 RtAEC 斜边上

45、的中线， EGAC 且 EG= MF=EG， 同理可证 DF=MG， MFAC， MFA=BAC=180 同事可得MGA+BAC=180， MFA=MGA， 又EGAC，EGA=90， 同理可得DFA=90， MFA+DFA=MGA=EGA， 即DFM=MEG，又 MF=EG，DF=MG， DFMMGE（SAS） ， MD=ME， 再证 MDME； 证法一：MGAB， MFA+FMG=180， 又DFMMGE，MEG=MDF， MFA+FMD+DME+MDF=180， 其中MFA+FMD+MDF=90， DME=90， 即 MDME； 证法二：如图 2，MD 与 AB 交于点 H， ABMG，

46、 DHA=DMG， 又DHA=FDM+DFH 即DHA=FDM+90 DMG=DME+GME， DME=90 即 MDME； 类比探究 答：等腰直角三解形 【方法指导】【方法指导】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高 8 （20132013 广东湛江，广东湛江，2424，1010 分）分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30o 31 o2o2o ，cos30 ，则sin 30 cos 30； 22 sin45o 22 o ，cos45 ，则sin245ocos245o； 22 31 o ，c

47、os60 ，则sin260ocos260o； 22 sin60o 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2Acos2A= （1）如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对A 证明你的猜想； （2）已知：A 为锐角（cosA0）且sin A 3 ，求cosA. 5 B B A A 【思路分析】先具体计算，从计算中归纳出规律，再进行证明，最后再加以运用。 【解】都填 1 （1）如下图，过点 B 作 BHBC 于点 H，BH AH AB 222 C C B B A A 则sin A 2 H H C C BHAH ，cos A ABAB 2 BH2AH2BH2 AH2 1 所以

48、sin Acos B AB2AB2AB2 22 (2)sin Acos B 1，sin A 3 ， 5 cos2A 1( )2 3 5 16 25 cosA 0，cosA= 4 5 【方法指导】解决探究类题的步骤： 1.计算一些特殊的数值或特殊的位置关系； 2.猜想规律，数据或图形的位置变化了，如果某种数量关系或位置关系不变，就猜想一般情 形下也成立； 3.利用所学的相关知识对猜想出的结论进行讲明； 4.用猜想，证明出的结论解决实际问题。 9(2013 (2013 山东烟台，山东烟台，25,1025,10 分分) )已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点（不与 A， B 重合

49、） ，分别过点 A,B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为E,F，Q 为斜边 AB 的中点. （1）如图1，当点P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是_,QE 与 QF 的数量关系是_. （2）如图 2，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并 给予证明. （3）如图 3， 当点 P 在线段 BA（或 AB） 的延长线上时， 此时 （2）中的结论是否成立？ 请画出图形并给予证明. 【思路分析】 （1）BF 与 AE 都垂直于 CF，BF 与 AE 平行，然后证明BFQ（P） AEQ（P）,即可证明 QE=QF（2）对第一问进行分析、类比、归

50、纳、联想，可以发现延长 FP 交 AE 于点 D，然后证明BFQADQ，即可得出FQ=DQ，然后利用直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半，即可证出.（3）在解答前两问已经有的经验基础上，认真审题， 先根据题意画图， 然后结合图形， 仔细观察， 透过现象抓住本质， 分离出基本图形.延长 EQ， 与 FB 的延长线交于点 D.通过证明BDQAEQ,得出点 Q 为 DE 的中点，然后依然运用 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证出（2）中结论依然成立. 【解】 （1）AEBF,QE=QF. （2） QE=QF. 证明:延长 FQ 交 AE 于点 D. AEBF，1=2. 3=4，AQ=BQ, AQDBQF. QD=QF. AECP, QE 为斜边 FD 中线. (3)(2)中结论仍然成立. 理由：延长 EQ,FB 交于点 D AEBF，1=D. 2=3，AQ=BQ, AQEBQD. QE=QD BFCP, FQ 为斜边 DE 中线. QE=QF. 【方法指导】这是一道结论