金融工程12期权的希腊字母课件

1、第十五章 期权的希腊字母,范 闽 金融工程研究中心,期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个： 股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho,15章 期权的希腊字母,期权的希腊字,期权的希腊字是指当公式的一个投入（参数）变化一单位而其它投入保持不变时期权价值的变化。希腊字度量的重要用途之一是评估风险的暴露。希腊字度量可以用于计算任何种类在下资产上的期权，而不仅仅是股票期权上。 希腊字的定义 delta（D）度量当股票价格增加1美元时期权价格的变化。 gamma（G）度量当股票价格增加1美元时D的变化

2、。 vega度量当波动率有一个百分点的增加时期权价格的变化。 theta（q）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 rho（r）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时期权价格的变化。,回顾：Black-Scholes模型,看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值） 股票价格的概率分布 看涨期权价格的解,根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项,Delta,Theta,Vega,Rho,Gamma,这里省略S的下标t,Delta,Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价值对标的资产价格变化的敏感性 图示,Delta无收益资产的欧式股票期权,利用BS公式，可以

3、推导出 Delta与股价的关系 1 X,命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1),各种产品的Delta,远期合约：=1 X为远期的交割价，当一个远期生效时，远期价 格等于合约规定的交割价格，远期价格F就是f=0 的X值 无收益资产的欧式期权：买权：N(d1)；卖权- N(-d1) 其余支付红利率为q、股指期权、外汇期权、期货期权只要根据定价公式即可得到其Delta值 衍生证券组合的Delta,Delta对冲,定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保护的头寸的Delta等于零 Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 如果Delta为0.6,意味着股票价格变化S,期权价格的变化

4、就是0.6S 如果整个组合的Delta等于0,意味着什么? 动态对冲 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量,Delta对冲,例子：BSM随机微分方程的推导 1个单位衍生工具空头， 份股票 BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性头寸,Theta定义,Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值随时间衰减的速度 有时也称为证券组合的时间损耗 单个期权的Theta几乎总是负值，因为随着到期日的临近，期权往往是变得越不值钱(若其他因素不变,而仅仅时间改变) 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全确定的量，无需

5、进行对冲 换句话说，未来股价是不确定的，因而需要对冲；但时间走向却没有不定性，无需对冲。,Theta欧式股票期权,欧式股票期权的Theta 买权 卖权,Theta欧式股票期权,Theta与股价的关系 X,Gamma,Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有效的. 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须考虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta就会出现风险。 即: Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要频繁调整头寸。 Gamma较大时，对冲组合的Delta对标的资产相当敏感，若不调整Delta则风险较大。,Gamma,Gamma是期权的Delta对

6、标的资产价格的偏导数，也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性 Gamma中性与Gamma对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零，因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的资产价格呈非线性关系的工具，例如期权,Gamma欧式股票期权,欧式股票期权的Gamma,Gamma欧式股票期权,Gamma与股价的关系 X,Gamma欧式股票期权,Gamma与到期时间的关系,Gamma对冲,一个对冲组合是Gamma对冲的，意思就是这个组合的Gamma

7、为零，称为Gamma中性的。 见课本中关于Delta和Gamma中性的例子,Delta、Theta 和Gamma的关系,Black-Scholes微分方程表达式为：,对于Delta中性组合来说，Delta=0，所以得出以下式子：,Vega,Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 欧式期权的Vega,Vega与股价的关系,X,Vega与到期时间的关系,Vega对冲,组合的Vega为零称为Vega对冲 一般Vega和Gamma不能同时实现对冲 Vega中性与Vega对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零，因此，不能用来改变投资组合的Ve

8、ga 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于零的工具，例如期权 见课本相关例子,Rho,Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权价值对利率变化的敏感性 标的股票不支付红利的欧式期权 买权 卖权 组合的Rho为零称为Rho对冲,Rho外汇期权,外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应于外币利率 买权 卖权,Rho欧式股票:与股价的关系,Rho欧式股票买权:与到期时间的关系,情景分析,维持各种中性需要连续的调整组合（假定各因素连续变化），交易费会相当昂贵 期权交易者看中的是如何量化风险，而不是试图消除一切风险 希腊字母常被用于量化风险，如果损失可以接受，则不调整；如果损失风险不能接受，则需要构建一个组合头寸 除了希腊字母这些风险外，交易者经常采用情景分析：不同情境下资产组合的损益 极端情景分析、VaR、蒙特卡洛模拟,练习,蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假