全称量词和存在量词

1、1.4 全称量词和存在量词,一、 全称量词和存在量词,1全称量词和全称命题 (1)全称量词： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示,新课讲解,(2)全称命题： 定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题 一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题,2存在量词和特称命题 (1)存在量词： 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“”表示,(2)特称命题： 定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题 一般形式：特称命题“存在

2、M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”,1“a，则a平行于内任一条直线”是( ) A真命题 B全称命题 C特称命题 D不含量词的命题 解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题 答案：B,概念理解,常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等 常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等,解析：如x0时，x20，满足x20. 答案：B,解析：当x0时，0N，但01. 故“xN，x1”是假命题 答案：B,4下列命题： 偶数都可以被2整除；角平分线上的

3、任一点到这个角的两边的距离相等；正四棱锥的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内角和大于180. 既是全称命题又是真命题的是_，既是特称命题又是真命题的是_(填上所有满足要求的序号),解析：是全称命题，是真命题； 是全称命题，是真命题；是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；是特称命题，是真命题；是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180. 答案： ,5用符号“”或“”表示下面的命题，并判断真假： (1)实数的平方大于或等于0； (2)存在一对实数(x，y)，使2xy10成立； (3)勾股定理,解：(

4、1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”xR，x20.是真命题 (2)xR，yR,2xy10. 所以命题“xR，x220”是真命题 由于0N，当x0时，x41不成立 所以命题“xN，x41”是假命题,答案 ,跟踪练习,类型四、全称命题与特称命题的应用 例4 函数f(x)对一切实数x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0. (1)求f(0)的值； (2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)6ax0成立，求实数a的取值范围,例题讲解,解 (1)由已知等式f(xy)f(y)(x2y1)x，令x1，y0，得f(1)f(0)2，又因为f(1)0，所以f(0)2. (2)令y0，

5、则f(xy)f(y)f(x)f(0)f(x)2(x201)xx2x，f(x)6x2x4.,1. 已知函数f(x)x22x5. (1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由 (2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围,跟踪练习,解：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可 故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,(2)不等式mf(x0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.

6、 又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4. 所以，所求实数m的取值范围是(4，),二、 含有一个量词的命题的否定,1全称命题的否定： 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M， p(x0)全称命题的否定是特称命题如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”,新课讲解,2.特称命题的否定： 一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定綈p：xM， p(x)特称命题的否定是全称命题如：“存在一个实数x，

7、使得x2x10”的否定为“对所有实数x，都有x2x10”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有的”,概念理解,答案：C,2命题“存在x0R,2x00”的否定是( ) A不存在x0R,2x00 B存在x0R,2x00 C对任意的xR,2x0 D对任意的xR,2x0 解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题 答案：D,3(2010安徽高考)命题“存在xR，使得x22x50”的否定是_ 答案：对于任意的xR，都有x22x50 4命题“xR,3x22x10”的否定是_ 答案：xR,3x22x10,5写出下列命题的否定 (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)xR，x22x10； (3)有些

8、实数的绝对值是正数； (4)xR，x211； (2) p： xR，x23x40.,跟踪练习,例题讲解,1.对下列命题的否定，说法错误的是( ) Ap：能被3整除的整数是奇数 p：存在一个能被3整除的整数不是奇数 Bp：每一个四边形的四个顶点共圆 p：存在一个四边形的四个顶点不共圆,跟踪练习,Cp：有的三角形为正三角形 p：所有的三角形都不是正三角形 Dp：xR，x22x20 p：当x22x20时，xR,解析：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题可知，选项D中，p的否定应为： p：xR，x22x20. 答案：D,类型四、求参数的取值范围 例4 若r(x)：sinxcosxm，s(x)