三角函数的周期性

1、三角函数的周期性,今天是星期几？ 今年的平安夜是星期几? 2007年的元旦是星期几? 如果有一个函数称为h(x)week(x)，你认为这个函数有怎样的特征？ 前面我们还研究了三角函数f(x)sinx和g(x)cosx，正弦函数和余弦函数也有类似的特征吗？,由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加（或减少）2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有 sin(2x)sin x ， cos(2x) cos x 正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性,若记 f (x)sin x，则对于任意xR，都有 f ( x +2 ) = f

2、(x) 思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？,一般地，对于函数f (x) ，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足 f (x+T) =f (x) ， 那么函数f (x)就叫做周期函数， 非零常数T叫做这个函数的周期,周期函数的定义,思考1：周期函数的图象具有什么特征？,思考,思考2：正弦函数、余弦函数除了2以外还有其它的周期吗？,易知2是正弦函数和余弦函数的周期，且4，6，以及2，都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数2k(k且k)都是这两个函数的周期,思考,思考3：一个周期函数的周期有多少个？,1. 若T为函数f (x) 的一个周期， 则kT（k0）也为f (x)的

3、周期. 2. 对于一个周期函数f (x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x)的最小正周期 3. 如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期,思考,思考4：观察单位圆中正弦线的变化，你能看出正弦函数的最小正周期吗？,动 画,正弦函数的最小正周期是2； 余弦函数的最小正周期是2,思考,证明：假设T是正弦函数的周期,且0T2,则对任意实数x都有:,令x=0,得,即,从而对任意实数x都应有,这与,矛盾.,因此,正弦函数没有比小的正周期.,又0T2,故T=,探究1:证明正弦函数没有比2小的正周期.,探究,探究2：函数f(x)=3是周期函数吗？ 有最小正周期吗

4、？ 注意：周期函数不一定有最小正周期.,探究,探究3：观察正切线并回答： 正切函数是否为周期函数？ 若是周期函数，其周期为多少？,动画,注：正切函数是最小正周期为的周期函数.,探究,例1.若钟摆的高度h(mm) 与时间t (s)之间的函数关 系如图所示 (1) 求该函数的周期； (2) 求t =10s时钟摆的高度 解(1) 由图象可知,该函数的周期为1.5 (2) 设h=f (t)， 由函数f (t)的周期为1.5s， 可知f (10)=f (1+6 1.5) =f (1)=20, 故t =10s时钟摆的高度为20mm,图象法求周期.,运用,例2.求下列函数的周期. (1) f (x)=cos

5、2x； (2) .,运用,1. 一般地，函数y=Asin(x)及y=Acos( x)（其中A，为常数，且，）的周期为 .,心得,2. 已知，为常数，且A0，0，若函数y =f (x) 的周期为T，则函数y =A f (x)的周期为 .,心得,1. 一个周期函数的周期有多少个? 周期函数的图象具有什么特征? 参考答案：无数个，重复性,练习,2.已知函数 , 使f (x)的周期在(2/3, 4/3)内, 则正整数k的最小值和最大值分别是多少? 解：函数f (x)的最小正周期为 ， 故 ，得 ， 又k为正整数， 故k的最小值为15，最大值为28.,练习,3.判断下列说法是否正确,并简述理由： (1) 时， ,则 一定不是函数y =sin x的周期；,正确,(2) 时， ,则 一定是函数y =sin x的周期,不正确，因为在x=7/6时 成立, 并不能保证对任意的x都有 成立, 如x=0时， 就不成立.,练习,4. 求下列函数的周期： (1) y =2 cos3x； (2) ,5若函数 的最小正周期为 ，则正数k = ,练习,6. 若弹簧振子对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示： （）求该函数的周期； （）求t10.5