两个重要极限

1、两个重要极限,Two important limits,知识目标 1、掌握两个重要极限的公式 2、掌握两个重要极限在经济方面的应用,能力目标 会利用两个重要极限求指定函数和经济贸易方面实际问题的极限,两个重要极限,(Two important limits),播放,案例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,

2、为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important li

3、mits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(

4、Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面

5、积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n

6、无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例【圆的面积】,为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4 ；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),该极限问题从结构上看， 应为,从数学运算的角度看，就是求极限,解,正n边形的面积为,（或 ）,从类型上看，应为,两个重要极限,(Two important limits),o,

7、两个重要极限,=1,(Two important limits),求,解：,两个重要极限,(Two important limits),训练1: 求下列函数的极限,=1,=1,=1,=0,两个重要极限,(Two important limits),归纳：,(2)当u=f(x)时，,两个重要极限,(Two important limits),例2 求,解：,解,例3,两个重要极限,(Two important limits),(1)求,解,训练2,(2)求,解,两个重要极限,(Two important limits),解,(3),两个重要极限,(Two important limits),练习

8、:,两个重要极限,(Two important limits),例4 求,解：,两个重要极限,(Two important limits),例5,解,两个重要极限,(Two important limits),训练3,解：,解：,例6,两个重要极限,(Two important limits),解,如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为,引例解决：求半径为R的圆的面积,两个重要极限,(Two important limits),引例2 【银行信贷问题】 某企业从银行贷款20万美元，约定以连续复利方式 计算利息，且年利率4%，若10年后一次性还本付息

9、， 试请你帮助该企业计算贷款到期时还款总额？,两个重要极限,(Two important limits),分析：现有一笔贷款A0=20万元（称本金），年利率 r=4%，按连续复利计息方式，银行一年应结算n次（ ），则每次的利率为r/n,则一年后本金和为,10年后的本息和为,随着结算次数的无限增加，10年后本息和为,=？,两个重要极限,(Two important limits),2、,=e,两个重要极限,(Two important limits),从上表可以看出，当x无限增大时，函数 变化的大致趋势。可以证明当x 时， 的极 限确实存在，其值为e =2.71828182845，即 和一样，e

10、也是一个无理数，它们是数学中最 重要的两个常数。1727年，欧拉（L.Euler,瑞士人， 17071783，18世纪最伟大的数学家）首先用字母e 表示了这个无理数。这个无理数精确到20位小数的值 为e=2.71828182845904523536,两个重要极限,(Two important limits),训练4 求下列函数的极限,=e,=e,=e,=e,两个重要极限,(Two important limits),归纳：,（1）极限类型为,（2）必须是 的形式，且底数 中的 和指数中的 是“倒数关系”；,（3）中间必须用 “+”号连接,=e,两个重要极限,(Two important lim

11、its),例7 求,解,例8 求,解,两个重要极限,(Two important limits),训练5 (1)求,解,解,两个重要极限,(Two important limits),案例 人民医院1998年5月20日从美国进口一台彩色超 声波诊断仪，贷款20万美元，以复利计算，年利率4%， 2007年5月20日到期，一次还本付息，试确定贷款到期 时还款总额（按连续计息）,解,以年为单位复利基本计算公式为,若把一年均分为t期计息，,于是n年的本息和为,则连续复利的复利公式为,所以到期还款总额为,两个重要极限,(Two important limits),两个重要极限,(Two importan

12、t limits),实例训练【股票筹资成本问题】：在股票市场上，经常涉及股票筹资成本问题，需要计算股利逐年增长的普通股的筹资成本。设某普通股第一年股利为D，且每年以固定比率G增长，普通股筹资额为P，筹资费用率为F，则普通股成本K可计算如下：,按前面所述的资金现值计算方法知,该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通股成本K贴现的现值和，即,试利用数学方法计算股票筹资成本K,解：,按等比数列的求和公式知,所以，当 时,所以,两个重要极限,(Two important limits),例10,求极限,解,两个重要极限,(Two important limits),另解:,训练6 求,两个重要极限,(Two important limits),等价无穷小替代,1、若极限 ，称(x）与(x)等价， 记为: (x)(x),2、常见的几个等价无穷小,两个重要极限,(Two important limits),3、等价无穷小替代法则：,在极限计算中，函数的分子或分母中的无穷小 因子用与其等价的无穷小来替代，