圆的切线的性质及判定定理

1、三、 圆的切线的性质及判定定理,本节专门讨论直线与圆相切的情形.,我们知道,直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，这是从直线与圆的公共点个数刻画的.,（1）直线与圆有两个公共点，称直线与圆相交;(dr),因为经过一点只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反之,过切点且垂直于切线的直线也一定过圆心.由此得到：,1 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径,切线的性质定理的推论:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,切线的性质定理的推论:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,如图,点A是O与直线 的公共点,且 OA .在直线 上任取异于点A的点B,则OAB是 R

2、t,2.,而OB是Rt OAB的斜边，因此，都有OBOA,即B一定点在圆外由点B的任意性可知，圆与直线只有一个公共点，因此 是圆的切线由此可得：,切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,根据作图,直线l是O切线满足两个条件：,1.经过半径的外端；,2.与半径垂直,应用格式(几何语言):,OA是O的半径,OAl于A,l是O的切线.,下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：,定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.,应用：,例 如图，AB是O的直径,O过BC的中点D

3、，DEAC. 求证：DE是O的切线,证明：连接OD,BDCD，OA=OB, OD是ABC的中位线. OD/AC.,又 DEC90, ODE90.,又 D在圆周上, DE是O的切线.,例 如图，AB是O的直径, C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分DAB,证明：连接OC,CD 是O的切线， OCCD.,又ADCD , OC/AD. ACO CAD .,又OC=OD, CAO ACO,CAD CAO , 故AC平分DAB,例3 作经过一定点C的圆的切线,思考：定点C在圆的什么位置？,(1)点C在圆上,()点C在圆外,作法：连接OC，过点C作ABOC则直线AB就是所要

4、作的切线,证明：直线AB经过点C，并且ABOC由切线的判定定理可知，AB就是O的切线，切点是点C,作法：连接OC,以OC为直径的圆为O1，与O 相交于两点P和P.连接CP和CP,则CP和CP都是过已知点C所引O的切线,证明：OPC是O1内半圆上的圆周角， OPC=90. PCOP.,又OP是O的半径，PC经过点C，PC就是所要作的切线.,同理，CP也是所要作的切线.,课堂小结：,一 判定一条直线是圆的切线有三种方法,1 根据定义直线与圆有唯一的公共点,2 根据判定定理,3，根据圆心到直线的距离等于半径,二 添辅助线的方法,则连接圆心与交点,则过圆心作直线的垂线段,1，已知直线与圆有交点，,2，

5、没有明确的公共点，,练习1.如图A是O外的一点，AO的延长线交O于C，直线AB经过O上一点B，且ABBC，C30. 求证：直线AB是O的切线.,证明：连结OB,OB=OC,AB=BC,C=30 OBC=C=A=30 AOB=C+OBC=60 ABO=180(AOB+A) =180(60+30) =90 AB是O的切线.,题目中“半径”已有， 只需证“垂直”,即可 得直线与圆相切.,AOOC， OCAA30, BOC60. BOC是等边三角形. BDOBBC， DBCD30. DCO90. DCOC. DC是O的切线.,练习2已知：如图，AB是O的直径，D在AB的延长线上，BDOB，C在圆上，C

6、AB30,求证：DC是O的切线.,证明：连OC、BC，,练习3 若RtABC内接于O,A=30.延长斜边AB到D，使BD等于O的半径,求证：DC是O的切线.,1200,600,600,600,分析:如图,练习4:当圆心到直线的距离等于圆的半径时，该直线是这个圆的切线.,已知：O的圆心O到直线l 的距 离等于O的半径r.,求证：直线l 是O的切线.,证明：过点O作OAl ，A为垂足.,OAd=r,点A在O上,OA是O的半径, l 是O的切线,题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距离等于半径”,作业:P33.习题2.3(1,2,3),1已知：在ABC中，ABAC，以AB为直径作O交BC于D，DEAC于E，如图(1)，求证：DE是O的切线.,2如图(2)，已知在ABC中，ADBC于D，ADBC/2，E和F分别为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作O，求证：O与BC相切.,3如图(3)，ABC内接于O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是O的切线.,图1,图2,图3,思考：,分析：因为DE经过O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DE