2020届高三数学第一轮复习《椭圆 》讲义（通用）

1、椭圆要点梳理1椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫_椭圆_这两定点叫做椭圆的_焦点_，两焦点间的距离叫做椭圆的_焦距_集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若_ ac _，则集合P为椭圆；(2)若_ ac _，则集合P为线段；(3)若_ ab0)1 (ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2

2、b焦距|F1F2|2c离心率e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，第二类性质是随坐标系变化而相应改变，焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标(1) 椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c易见c2=a2-b2，且若记OF1B2=，则cos =e(2)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与

3、定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在（3） 椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为ac，最小距离为ac3求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为1 (m0，n0且mn)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2By21 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便基础自测：1椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么k等于()A1 B1 C. D2已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点在AF1

4、B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D33已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线4椭圆1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4 C8 D.5已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且|PF1|t|PF2|，则t的值为()A3 B4 C5 D7 6“3mb0)或1 (ab0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2ny21 (m0，n0，且mn)解(1)若椭圆的焦点在x轴上

5、，设方程为1 (ab0)椭圆过点A(3,0)，1，a3，又2a32b，b1，方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为1 (ab0)椭圆过点A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程为1.综上可知椭圆的方程为y21或1.(2)设经过两点A(0,2)，B的椭圆标准方程为mx2ny21，将A，B坐标代入方程得，所求椭圆方程为x21.变式训练1(1)已知椭圆过(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程；解(1)当椭圆的焦点在x轴上时，a3，c，从而b2a2c2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，b3，a227.椭圆的标准方程为1.所求椭圆的标准方程为1或1.（2）已知P点在以坐标

6、轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程解设椭圆的标准方程是1 (ab0)或1 (ab0)，两焦点分别为F1，F2，则由题意知2a|PF1|PF2|2，a.在方程1中令xc得|y|，在方程1中令yc得|x|，依题意并结合图形知.b2.即椭圆的标准方程为1或1.题型二 椭圆的定义及应用例2一动圆与已知圆O1：(x3)2y21外切，与圆O2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心的轨迹方程解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.则由圆相切的性质知， |CO1|1r，|CO2|9r，|CO1|CO2|10，而|O1O2|6，点C的轨迹是以O1

7、、O2为焦点的椭圆，其中2a10,2c6，b4.动圆圆心的轨迹方程为1.变式训练2求过点A(2,0)且与圆x24xy2320内切的圆的圆心的轨迹方程解将圆的方程化为标准形式为：(x2)2y262，圆心B(2,0)，r6.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.则|BC|MC|BM|，而|BC|6，|BM|CM|6. 又|CM|AM|，|BM|AM|6|AB|4.点M的轨迹是以点B(2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b.所求轨迹方程为1.题型三椭圆的几何性质例3已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离

8、心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解题导引(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a、c的关系(2)对F1PF2的处理方法(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(当且仅当mn时取等号)，4a24c23a2.，即e.e的取值范围是.(2)证明由(1)知mnb2，SPF1F2mns

9、in 60b2，即PF1F2的面积只与短轴长有关变式训练3(1)已知椭圆1(ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，ABOM.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求F1QF2的取值范围解F1(c,0)，则xMc，yM，kOM.kAB，OMAB，bc，故e. 设|F1Q|r1，|F2Q|r2，F1QF2，r1r22a，|F1F2|2c，cos 110，当且仅当r1r2时，cos 0，0，(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭

10、圆上到点P的距离等于的点的坐标分析：点在椭圆上，就有byb，因此在求椭圆上的点到点 P 的距离的最大值时，应分类讨论解：依题意可设椭圆方程为（ab0）(下略)y21椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为和注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，如求函数的单调区间、最值时（3）已知椭圆1 (ab0)的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l过点P且垂直于l，交y轴于点B.求椭圆的方程；试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由解2a4，a2，c1，b.椭圆的方程为1. 能设点P(x

11、0，y0) (x00，y00)，由题意知直线l的斜率存在设直线l的方程为yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的两个相等实根，2x0，解得k.直线l的方程为yy0(xx0) 令x0，得点A的坐标为.又1，4y203x2012.点A的坐标为.又直线l的方程为yy0(xx0)，令x0，得点B的坐标为.以AB为直径的圆的方程为xx0.整理，得x2y2y10.令y0，得x1，以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(1,0)题型四直线与椭圆的位置关系例4已知椭圆1 (ab0)的离心率为e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4 (1)求

12、椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B已知点A的坐标为(a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且4求y0的值解(1)由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b，由题意可知2a2b4，即ab2.解方程组，得a2，b1，所以椭圆的方程为y21.( 2)由(1)知A(2,0)，且直线l的斜率必存在设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则l的方程为yk(x2)于是A，B两点的坐标满足方程组由方程消去y并整理，得 (14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，从而y1.设线段AB的中点为M，则M点的坐标为.以下分两种情况：当k0时，点B的坐标

13、为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.当k0时，线段AB的垂直平分线方程为y .令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)4，整理得7k22.故k，所以y0.综上，y02或y0.探究提高(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l与x轴重合的特殊形式变式训练4(1)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M(1，

14、)，过点P(2,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B. 求椭圆C的方程；是否存在直线l，满足 2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得解得a24，b23.故椭圆C的方程为1.若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为yk(x2)1，由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理得32(6k3)0，解得k.又x1x2，x1x2，且2，即(x12)(x22)(y11)(y

15、21)，所以(x12)(x22)(1k2)，即x1x22(x1x2)4(1k2)所以24(1k2)，解得k所以k.于是存在直线l满足条件，其方程为yx.(2)设椭圆C：1 (ab0)的离心率e，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4. 求椭圆C的方程；椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解依题意知，2a4，a2.e，c，b.所求椭圆C的方程为1.点P(x0，y0)关于直线y2x的对称点为P1(x1，y1)，解得：x1，y1.3x14y15x0.点P(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，则105x010.3x14y1

16、的取值范围为10,10（3）已知椭圆E：1（ab0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6（）求椭圆E的方程；（）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值解：（）由e，得a2b 又2a2b6，即ab3 解，得a2，b1故椭圆E的方程为y214分（）由（），知A1(0，1)，A2(0，1)，设P(x0，y0)，则直线PA1的方程为y1x，令y0，得xN；直线PA2的方程为y1x，令y0，得xM设G()，h），则r2()2h2()2h2， |OG|2()

17、2h2，|OT|2|OG|2r2()2h2()2h2y1，即x4(1y)，|OT|24，|OT|2即线段OT的长为定值2 （4） 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 解：由题意，c1,可设椭圆方程为。 因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 设直线方程：得，代入得 设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以， 。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得， 。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值

18、为。 椭圆练习题（1）一、选择题1已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为 ()A9 B1C1或9 D以上都不对2已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是 ()A.1 B.1C.y21 D.13已知椭圆x2sin y2cos 1 (0b0)，且可知其左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的方程为1.(5分)方法二依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)从而a216.(3分)所以椭圆C的方程为1. (2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y

19、xt.由得3x23txt2120.因为直线l与椭圆C有公共点，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直线OA与l的距离d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合题意的直线l不存在11已知椭圆G：y21过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A，B两点(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值解：(1)焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率为(2)，直线与圆相切，即由得， |AB|的最大值为2椭圆练习题（2）1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆

20、的离心率是()A. B. C.1 D.2若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D83在椭圆1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为()Ax4y50 Bx4y50C4xy50 D4xy50二、填空题4如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆1 (ab0)上一点，若PF1PF2，tanPF1F2，则此椭圆的离心率是_5如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|，若MFOA，则椭圆的方程为_1_6如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2分别为椭圆1

21、 (ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_25_解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：， 则在椭圆上， 解得：7在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1 (ab0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_8设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|PF1|的最大值为_15_三、解答题9设A、B分别为椭圆1 (ab0)的左、右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距 (1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x) (x0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：MBN为钝角(1)解依题意得，a2c，b2a2c23c2，设椭圆方程为1，将代入，得c21，故椭圆方程为1.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(2,0)， 设M(x0，y0)，则2x00，即MBP为锐角，则MBN为钝角10已知方向向量为v(1，)的直线l过点(0，2)和椭圆C：1(ab0)的右焦点，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程；(2)若已知点D(3,0)，点M，N是椭圆C上不重合的两点，且，求实数的取值范围解(1)