2020届高考数学一轮复习 5.2 向量的数量积教案（通用）

1、5.2矢量的数积知识整理1 .数量积的概念：(1)向量的角度：如下图所示，已知两个非零向量a和b，若=a、=b，则将AOB=(0180 )称为向量a和b的角度，记为。(2)数量积的定义：知道两个非零的向量a和b，设它们的角度为，则数量|a|b|cos被称为a和b的数量积，标记为ab，即ab=|a|b|cos(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的模型和b向a方向的投影|b|cos的积2 .数量积的性质： e为单位向量，a，e=(1)ea=ae=|a|cos。(2)a和b为同方向时，ab=|a|b|； 如果a和b相反，则ab=-|a|b|，尤其是aa=|a|2或|a|=。(3)abab=0。(

2、4)cos=(5)|ab|a|b|3 .演算法： (1)ab=ba； (2) b=(ab )=a (b ) (3) (ab ) c=AC BC。4 .向量积的坐标运算：假设a=(x1，y1 )，b=(x2，y2 )的话(1)ab=x1x2 y1y2；(2)|a|=；(3) PD，PS。(4)abab=0x1x2 y1y2=0考虑讨论(ab)c和PS相等吗？双击1.(2020年全国I，3)a，b都是单位向量，已知它们的角度为60，|a 3b|相等A.B.C.D.4解析：|a 3b|=。回答： c2 .在向量a和b的角度为60，|b|=4，(a 2b)(a-3b)=-72的情况下，向量a的模型是A

3、.2B.4C.6D.12解析： (a2b ) (a-3b )=|a|2-| a| b|COC s60-6|b|2=|a|2-2|- 96=-72，| a|2-2|a|- 24=0. (|a|-6) (|a|4 )=0.|a|=6。回答： c已知a=(，2 )，b=(-3，5 )，并且a和b的角度为钝角，则能取的值的范围为为A.B.C.D.分析：AAAAR和b的角度为钝角，8756； cosa，b0。ab0.-310。回答： a4.(2020年上海，6 ) (理)已知点A(1，-2)在向量与a=(2，3 )相同的方向上|=2的话，点b的坐标就是解析：设a点坐标为(xA，yA )，设b点坐标为(x

4、B，yB ) .922222222222222222222265222222222222222222222222222(xrb-xa，yr B- ya )=(4，6 )喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地6回答： (五，四)(句子)已知点A(-1，-5)和向量a=(2，3 )在=3a的情况下，点b的坐标是_ .分析：设b点坐标为(xB，yB )时=(xB 1，yb5 )=3a=(6，9 )222222222222卡卡卡卡卡卡回答： (五，四)典型的分析【例1】判断以下各命题是否正确(1)a0，如果ab=ac，则b=c；(仅在ab=ac、bc且a=0时成立(3)对于(ab ) c=a (BC )任意的向量a、

5、b、c成立(4)对于任意的向量a，有a2=|a|2 .解析： (1)可以通过(2)数量积的定义来判断。(3)可以通过计算来判断。解释： (1)ab=ac，22222222222222222222222222226522222222222222222222222222222222222222222(ab=ac，|a|b|cos=|a|c|cos(，是a和b，a和c所成的角)。|a|(|b|cos-|c|cos)=0。|a|=0或|b|cos=|c|cos在bc的情况下，|b|cos和|c|cos可能相等.(2)不正确(3) c=(|a| b|cos) c在a(bc)=a|b|c|cos(其中，、

6、分别是a和b、b和c所成的角度.(ab)c是c和共同线的向量a(bc )是与a共通线的矢量。(3)不正确评论：判断上述问题的关键在于掌握向量数量积的意义，向量数量积的算法与实数乘法的算法不同平面内有矢量=(1，7 )、=(5，1 )、=(2，1 )，点x是直线OP上的一个动点.(1)取最小值时求出的坐标(2)当点x满足(1)的条件和结论时，求出cosAXB的值.解析：因为点x在直线OP上，向量和共线可以得到关于坐标的一个关系式，并且根据最小值求出的坐标是cosAXB为角度和馀弦，用数量积的知识容易解决设(1)为=(x，y )。点x位于直线OP上，与矢量共线另外，为=(2，1 )、x-2y=0，

7、即，x=2y .另外=-，=(1，7 )，=(1-2y，7-y )。好，好，好，好，好，好，好，好，好，好，好，好因此，等于(1-2y ) (5-2y ) (7- y ) (1- y )=5y2- 20 y 12=5(y-2 )2-8.在y=2时，有最小值-8，此时=(4，2 )在y=2的情况下，有=(-3，5 )、=(1，-1)。22222222222222卡卡卡cosAXB=-.评论： (1)中值最高的问题多为函数值最高的问题解决，因此解决问题的关键是寻找变量构建函数。 另一方面，(2)中是数量积定义的应用满足已知矢量、是=0、|=|=|=1.求证：P1P2P3是正三角形分析：|=|=|=

8、1到o是p1p2p3的外接圆的中心，为了证明p1p2p3是正三角形，只要证明81op2=p2op3=83op1即可，即与需求的角度。 从=0变形出现数量积，还能求出角度。证明： 222222222222222222222222222222222222卡卡卡卡卡卡653另外，|=1，2222222222222222T| cos 651op2=-，即P1OP2=120。同样地，P1OP3=P2OP3=120。P1P2P3是等边三角形。评论：解决本问题的关键是从=0转换向量的数积，求出角度加深扩张也能够通过将o点作为坐标原点来建立正交坐标系，设为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y

9、3)来证明本问题(x1，y1)、=(x2，y2)、=(x3，y3)从=0开始得到好处|=|=|=1，x12 y12=x22 y22=x32 y32=1.2 2(x1x2 y1y2)=1。|=。同样|=，|=，|=。P1P2P3是正三角形。闯关训练巩固基础如果a=(2，3 )，b=(-4，7 )，则a在b方向上的投影PS PS PS分析： a在b方向上的投影=。回答： c2 .在已知|a|=10、|b|=12且(3a)(b)=-36中，a和b所成的角度为A.60B.120C.135D.150解析： (3a)(b)=-36得到了ab=-602222222222222222222222222另外，0

10、a，b180，a，b=120。回答： b3 .在矢量c与矢量a和b垂直，d=a b(、R且0 )的情况下A.cd B.cd C.c不与d平行，可以有d .以上三种情况解析： ca、cb、ca=0、cb=0CD=c (ab )=c (a ) c (b )=caCB=0回答： b4 .给出以下命题如果a2 b2=0，则a=b=0；已知a、b、c是三个非零向量，如果a b=0，则|ac|=|bc|；在ABC中，如果a=5、b=8、c=7，则为20a和b是共线矢量ab=|a|b|其中真命题的号码是_ (请填写被认为是真命题的号码)。解析：a2 B2=0，22222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地

11、653ab=0，8756； a=-b，| AC|=|a| c|，| BC|=|c|a| c| cos22222222222222222222|a|c|cos(-a，c)|=|a|c|cosa，c|.2喀喀喀喀喀喀喀喀喀喀喀地653cosC=。=|cos(-c)=58(-)=-20.不正确。a和b是共线向量a=b(b0)ab=b2，其中|a|b|=|b|=|b|=|b|2 .2喀喀喀喀喀喀卡卡卡卡卡卡卡卡6回答：已知|a|=，|b|=3，a和b角度为45，求出将矢量a b和a b的角度设为锐角时的的可取范围.解： a b和a b所成的角为锐角，即(a b)(a b)0即，a2 (2 1)ab b

12、20，即，2 (2 1)3 90解6 .如下图所示，将以原点和a (5，2 )为两个顶点的直角OAB设为B=90 .求点b和矢量的坐标分析：这里重要的是求出b点的坐标，把B(x，y )设为和|=|的话，可以列举x，y的方程式解：设b点坐标为(x，y )，则=(x，y )、=(x-5，y-2 ) .喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653另外|=|、8756； x2y2=(x-5)2(y-2)2，即10x 4y=29.解的得或8756； b点坐标是(-)或(，)。故=(-，- )或=(-，)培养能力7.(2020年浙江，14 ) (理)已知平面上的三点a、b、c满足|=3、|=4、|=5时，2222

13、2222222652解析： MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6回答：-25(文)已知平面上的三点a、b和c满足|=2、|=1、|=时解析：22222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653|cos(-b)0|cos(-a)=-4。回答：-4已知8.f1 (-1，0 )、F2 (1，0 )、a (，)，可动点p满足3=0.(1)求出运动点p的轨迹方程式(2)是否存在点p，将PA作为F1PF2的二等分线？ 如果存在，求p点坐标不存在时，请说明理由解： (1)设=(-x，y )为=(-1-x，-y )、=(1-x，-y )、=(-x

14、，-y )。(-1-x ) (-x ) (-y )2=(x1 ) (x-)2y2=(1-x)(-x) (-y)2=(x-1)(x-) y2。3(x1)(x-)y2(x-1)(x-)y2=0.x2 y2=是p点的轨迹方程式(2)设置后，cosF1PA=cosAPF2.将条件3=-代入上式中就不成立.不存在.探索革新9 .已知平面向量a=(，-1)，b=(，)，(1)证明： ab；(2)如果同时存在不为零的实数k和t，则设x=a (t2-3)b、y=-ka tb且xy，并求出函数关系式k=f(t )根据(3) (2)的结论，决定函数k=f(t )的单调区间.(1)证明： ab=(-1)=0(2)解

15、： xy，xy=0且ab=0，a2=4，b2=1，整理为-4k t(t2-3)=0k=t(t2-3)(3)解：由于上述f(t)=(t3-3t )、(t)=t2- .命令(t)0时t1，因此在t-1时，f(t )是增加函数.在t(1，)的情况下，f(t )也是增加函数，再悟性的总结1、平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，通过数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是个难点2 .向量的数量积是向量间的乘法，是向量和向量的运算，但结果是数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示3 .向量a和b的角度： (1)以a和b具有共同的起点的方式直线移动时，两个向量所成的角度为角度(2)0a，b180； (3)cosa，b=cos教师下载中心教育周到1 .本课复习的要点是掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，用平面向量的数量积来处理长度、角度和垂直的问题2 .向量的数量乘积是向量之间的乘法，其结果是向量和向量的运算，但是结果是数量3 .要让学生掌握向量角度的意义。 必须用cos=或cos=求出两个矢量的角度扩大问题例子在ABC中，(1)如果=a，=b，就求证据： SABC=； 如果=(a1，a2 )，=(b1，b2