2020年全国高考数学第二轮复习 专题升级训练13 用空间向量的方法解立体几何问题 理（通用）

1、专题升级训练13用空间向量的方法解立体几何问题(时间：60分钟满分：100分)一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分)1平面的一个法向量n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()A BC D2在二面角l中，平面的法向量为n，平面的法向量为m，若n，m130，则二面角l的大小为()A50B130C50或130D可能与130毫无关系3直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为()A60 B45C30 D904如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F

2、分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A45 B60 C90 D1205过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30 B45 C60 D906如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值D异面直线AE，BF所成的角为定值二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)7如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所

3、成角的余弦值为_8正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_9在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是_三、解答题(本大题共3小题，共46分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10(本小题满分15分)如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAD2.(1)求PC与平面PBD所成的角；(2)在线段PB上是否存在一点E，使得PC平面ADE？并说明理由11(本小题满分15分)(2020湖南高考，理19)如图，在圆锥PO中，已知PO，

4、O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值12(本小题满分16分)(2020广东高考，理18)如图，在锥体PABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且DAB60，PAPD，PB2，E，F分别是BC，PC的中点(1)证明：AD平面DEF；(2)求二面角PADB的余弦值参考答案一、选择题1B2C解析：因为二面角的范围是0，180，由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补，可知二面角的大小可能是130也可能是50.3D解析：建立坐标系如图所示，易得M，A1(0，0)，A(0，)，B1(1,0,0)，(1，)，.1030，即AB1A1M.4B

5、5B6D二、填空题7解析：以D为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，.设直线AM与CN所成的角为，则cos |cos|.830解析：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，则(2a,0,0)，设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.9a解析：以D为原点建立空间直角坐标系(如原图所示)，则A(a,0,0)，D1(0,0，a)设M(0，x，x)(0xa)，有

6、(a，x，x)，(a,0，a)，则cos，则点M到直线AD1的距离d为，当x时，dmina.三、解答题10解：(1)连接AC，设ACBDO，连接PO.因为PD平面ABCD，CO平面ABCD，所以PDCO.由ABCD为正方形，知COBD.又PDBDD，所以CO平面PBD.所以CPO是PC与平面PBD所成的角在RtPOC中，sinCPO，所以CPO，即PC与平面PBD所成的角为.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设线段PB上存在点E，使得PC平面ADE.则存在实数，使得(01)因为P(0,0,2)，B(2,2,0)，所以(2,2，2)，(0,0,2)(2,2，2)(2，2，22)由题意，

7、显然有AD平面PCD，所以PCAD.要使PC平面ADE，只需再有，即，即0(2)2(2)2(22)0.解得0,1故在线段PB上存在一点E(E为线段PB的中点)，使得PC平面ADE.11解法一：(1)连接OC，因为OAOC，D是AC的中点，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD.而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.(2)在平面POD中，过O作OHPD于H，由(1)知，平面POD平面PAC，所以OH平面PAC.又PA平面PAC，所以PAOH.在平面PAO中，过O作OGPA于G，连接HG，则有PA平面OGH，从而P

8、AHG，故OGH为二面角BPAC的平面角在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，.在RtPOA中，.在RtOHG中，.所以cos OGH.故二面角BPAC的余弦值为.解法二：(1)如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D(，,0)设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1，n1，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由，得所以x2z2，y2z2，取z21

9、，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.(2)因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由 (1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos .由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.12解法一：(1)证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD.因PAPD，有PGAD，在ABD中，ABAD1，DAB60，有ABD为等边三角形，因此BGAD，BGPGG，所以AD平面PBGADPB，ADGB.又PBEF，得ADEF，而DEGB得ADDE，又FEDEE，所以AD平面DEF.(2)PGAD，BGAD，PGB为二面角PADB的平面角在RtPAG中，PG2PA2AG2，在RtABG中，BGABsin 60，cosPGB.解法二：(1)证明：取AD中点为G，因为PAPD，所以PGAD.又ABAD，DAB60，ABD为等边三角形，因此，BGAD，从而AD平面PBG.延长BG到O且使得POOB，又PO平面PBG，POAD，ADOBG，所以PO平面ABCD.以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴，z轴，平行于AD的直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系设P(