2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷解析版）（通用）

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）【名师简评】本套试卷“有梯度、有创新”的考查了高中数学主干知识，做到了考查基本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至4页，共150分考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并

2、收回参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径 第卷一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1对于实数，“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【命题意图】借助充要条件考查不等式的性质.【解析】当时，不能得，。2若集合，则A BC D【答案】C【命题意图】借助集合运算考查解不等式.【解析】。3展开式中项的系数为A B720 C120

3、 D4若函数满足，则A B C2 D0【答案】B【命题意图】借助集合运算考查解不等式.【解析】则此函数为奇函数，所以。5不等式的解集是A B C D6函数的值域为A B C D【答案】C【命题意图】考察换元的数学思想，及二次函数的图像性质【解析】令则，问题化为求函数的值域。由，结合二次函数图像得原函数的值域。7等比数列中，则A B C D8若函数的图像关于直线对称，则为A1 B C D任意实数9有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A B C D【答案】D【命题意图】主要考察对立事件的概率【解析】每位同学

4、不能通过的概率为，所有同学都不能通过的概率为，至少有一位同学能通过的概率为。10直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是A B C D【答案】B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式等知识.【解析】因为直线过定点（0，3），且该点在圆上，设此点位M，圆心（2,3）到直线距离为，所以由，由。11如图，是正方体的棱的中点，给出下列四个命题：过点有且只有一条直线与直线都相交；过点有且只有一条直线与直线都垂直；过点有且只有一个平面与直线都相交；过点有且只有一个平面与直线都平行其中真命题是A B C D 12四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数，的图像

5、如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质.【解析】作出三个函数图像对比分析即可选择C。绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第卷注意事项： 第卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分请把答案填在答题卡上13已知向量，满足，与的夹角为60，则在上的投影是 【答案】1【命题意图】考查平面向量的夹角及投影的定义.【解析】14将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数

6、字作答）15点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则 16长方体的顶点均在同一个球面上，则，两点间的球面距离为 三解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）设函数（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】解：（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数18（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号

7、通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止（1）求走出迷宫时恰好用了l小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率【答案】解：（1）设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则 （2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则【命题意图】本题主要考查等可能事件、互斥事件、对立事件的概率问题，主要是考查对生活中概率事件的判断与分类能力。【点评】本试题以“游戏”的形式考查了几类概率的运算，在高考数学中通常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇考查，问题的解决首先要明白题目涉及哪几类事件，准确的对事件进行分类或者分

8、解，清楚问题所求问题包含的所属类型是解决问题的关键.19（本小题满分12分）已知函数（1）若，求；（2）若，求的取值范围【答案】解：（1） ， 由得， ，所以 （2）由（1）得， 由得，所以， 从而20（本小题满分12分）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则 又平面平面BCD，则平面BCD，所以MO/AB，A、B、O、M共面延长AM、BO相交于E，则就是AM与平面BCD所成的角，则，所以，故（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，O是BE的中点，则BC

9、ED是菱形作于F，连AF，则，就是二面角的平面角，设为因为，所以，所以，所求二面角的正弦值是 设平面ACM的法向量为，由得解得，取平面BCD的法向量为则设所求二面角为，则21（本小题满分12分）如图，已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点（1）求椭圆的离心率；（2）设点，又，为与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线上，求和的方程【答案】解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，所以，即，由，所以椭圆的离心率（2）由（1）可知，椭圆的方程为： 联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以，即， 所以的重心坐标为 因为重心在上，所以，得所以所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：22（本小题满分14分）正实数

10、数列中，且成等差数列（1）证明数列中有无穷多项为无理数；（2）当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和【答案】证明：（1）由已知有：，从而， 方法一：取，则 用反证法证明这些都是无理数 假设为有理数，则必为正整数，且，故，与矛盾，所以都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数；方法二：因为，当得末位数字是3,4,8,9时，的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多（2）要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有又必为偶数，所以满足即时，为整数；同理有也满足即时，为整数；显然和是数列中的不同项；

11、所以当和时，为整数；由有，由有设中满足的所有整数项的和为，则 文科数学试题参考答案一 选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分1B 2C 3D 4B 5A 6C 7A 8B 9D 10B 11C 12C 二 填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分131 1490 152 16三 解答题：本大题共6小题，共74分17（本小题满分12分）解：（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数18（本小题满分12分）解：（1）设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则 （2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则19（本小题满分12分）解：（1） ， 由得，

12、 ，所以 （2）由（1）得， 由得，所以， 从而20（本小题满分12分）解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则 又平面平面BCD，则平面BCD，所以MO/AB，A、B、O、M共面延长AM、BO相交于E，则就是AM与平面BCD所成的角，则，所以，故（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形作于F，连AF，则，就是二面角的平面角，设为因为，所以，所以，所求二面角的正弦值是 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则，又平面平面BCD，则平面BCD以O为原点，直线OC、BO、OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图，则各点坐标分别为，（1）设直线AM与平面BCD所成的角为因 ，平面BCD的法向量为则有，所以（2） 设平面ACM的法向量为，由得解得，取平面BCD的法向量为则设所求二面角为，则21（本小题满分12分）解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，所以，即，由，所以椭圆的离心率 （2）由（1）可知，椭圆的方程为： 联立抛物线的方程得：，解得：或（舍去），所以，即， 所以的重心坐标为 因为重心在上，所以，得所以所以抛物线的方程为：，椭圆的方程为：22（本小题满分14分） 证明：（1）由已知有：，从而， 方法一：取，则 用反证法证明这些都是无理数 假设为有理数，则必为正整数，且，故，与矛盾，所以都是无理数，即数