2020年普通高考数学一轮复习 第24讲 三角恒等变形及应用精品学案（通用）

1、2020年一般高考数学课复习了精品学方案第二十四届三角恒等的变形和应用1 .教材要求：1 .体验用向量数积导出两角差的馀弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用2 .从两角差的馀弦式可以导出两角和之差的正弦、馀弦、正切式，二倍角的正弦、馀弦、正切式可以知道它们的内在关系3 .能够使用上述的式子进行简单的恒等变换(包含导出积和差、差化积、半角式，但不需要记忆)。2 .命题的方向性从近年来高考考察的方向来看，这部分高考问题多以选择、解答问题的形式出现，有时也以填补问题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量共同考察，主要的问题类型有三角函数的评价，通过三角式的转换来研究三角函数的性质。本

2、文内容是高考复习的重点之一，三角函数的简化、评价及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。 多年的高考在考察三角公式的掌握和运用的同时，重视思考的灵活性和发散性、观察能力、运算和观察能力、运算推论能力和综合分析能力。3 .详细说明要点1 .两角和差的三角函数灬灬的双曲馀弦值。2 .二倍方式灬灬的双曲馀弦值。3 .三角函数公式的简化常用方法：直接应用式，降级、消灭切断弦，异名化同名、异角化同角三角式的逆用等。 (2)简化要求：可以求出值的尽量减少三角函数的种类数尽量减少项目数不包含三角函数尽量不在被开角数中包含三角函数。(1)幂式选择灬.(2)辅助方式，的双曲馀弦值。4 .三角函数的评价类型有三种

3、(1)所给角的评价：一般所给角并不是全部是特殊角，而是观察所给角和特殊角的关系，通过三角变换消除非特殊角，并转换成求特殊角的三角函数值的问题(2)值的评价：给出一个角的三角函数式的值，求出另一个角的三角函数值。 解决问题的关键是“变角”。 等等，用包含已知角的公式表示求出的角，求出时必须注意角的范围的研究(3)求值角：实质上转换为“评价值”问题，将求得的角的函数值和求得的角的范围和函数的单调性组合起来求角。5 .三角方程式的证明(1)三角恒等式的证明问题的想法是，根据等式的两端的特征，应用通过三角恒等变换，使复杂化简单、左右相同等方法，使等式的两端化“相同”(2)三角条件式证明问题的想法通过观

4、察，发现已知条件和要证明的方程式的关系，用代入法、消参法或分析法来证明。4 .典型的分析问题类型1 :两角和与差的三角函数已知的是求cos。分析：可以得到以下两种解法。解法1 :用已知的sin=1在cos cos=0中2 2得2 2cos；HHR。2-2获得cos2 cos2 2cos()=-1即，2cos()=-1。222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地解法2 :从中得到从得到得点评：这个问题给出了单角三角函数方程式，求复角的馀弦值，容易出错的是利用方程式来解sin、cos、sin、cos，但是未知数有4个，显然前景不乐观。 其错误的原因是不在乎求爱式和已知式的关系。例2 .已知的要求。解析：根据韦

5、达定理能进一步求出值，用tan表示求出值的三角函数式的话就知道了。解法1 :从韦德定理中得到tan所以谭解法2 :从韦德定理中得到tan所以谭，的双曲馀弦值。点评： (1)本例的解法比解法简单，好的解法来源于熟练知识的系统结构，寻找解决本问题的知识“最近的发展区”。 (2)运用两角和差角三角函数式的关键是记忆式，我们不仅要把握式，而且要把握角的关系、次数的关系、三角函数名等式的构造特征在提高记忆式的效率上起着重要的作用，把握式的构造特征，在解题时要把握问题设定和结论等三角函数式所具有的相似性的构造对于(3)式的逆用式，也必须熟悉改变形式问题型2 :二倍方式例3 .简化如下(1)是(2)。分析：

6、 (1)注意到简化在平方根和2及其范围内，很难找到问题解决的突破口(2)分子是平方偏差、分母的角，关注这两个特征的话，很难得到解题的切口。解析： (1)因为又来了所以，原式=。(2)式=。点评： (1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系不仅限于2的二倍，是一种常用的三角变换，必须熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还必须注意三个角的内在联系的作用。 (2)简化简化问题必须找到准解题的突破口和切口。 其中降、消元、切妻、异名化同名、异角化同角是常用的简化技术。 (3)式的变形。例4 .年轻。分析：要注意的两个转换有以下两种解法。解法1 :由解法2 :这个问题，如果把左边展开为再求出cosx、sin

7、x的值的话很麻烦，很难注意角的变换2的二倍方程式，问题变得简单，所以在解条件的评价问题时，很容易发现求出的三角函数的角和已知条件的角的连接，一般的方法是销角和销角比如说，等等。问题型3 :辅助方式众所周知，正实数a、b满足。分析：从方程式的角度来看，已知方程式左边的分子，分母同时除以a的话，方程式就成为方程式，所以关注方程式左边的分子，分母具有的结构的话，可以考虑导入辅助角。解法1 :从问题中设定解法2 :解法3 :评分：在以上解法中，方法使用集中变量的思想，基本解法2通过模式联想，导入辅助角，技巧性强，但辅助方式，或在往年的高考中使用频率相当高，应该关注的解法3使用了换元法，但本质上是综合理

8、解解法1和解法2的解法的优点，所以解法3最合适。例6 .已知函数y=cos2x sinxcosx 1、x-r(1)当函数y取最大值时，求自变量x的集合(2)该函数的图像是从y=sinx(xR )的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到的(理) (1)解析： y=cos2x sinxcosx 1=(2cos2x-1) (2sinxcosx) 1=cosx2x sin2x=(cos2xsin sin2xcos )=sin(2x ) )y必须取最大值，只要2x=2k，k-z也就是说，x=k，k-z。因此，当函数y取最大值时，参数x的集合为x|x=k，kZ。(2)依次如下变换函数y=sinx。将函数y=si

9、nx的图像向左位移，得到函数y=sin(x )的图像将得到的图像上的各点的横轴缩短为原来的倍(纵轴不变)，得到函数y=sin(2x )的图像将得到的图像上的各点的纵轴缩短为原来的倍(横轴不变)，得到函数y=sin(2x )的图像将得到的图像向上位移单位长度，得到函数y=sin(2x ) )的图像由此获得函数y=cos2x sinxcosx 1的图像。评价：本问题主要考察三角函数的图像和性质，考察用三角公式进行一定变形的技能和运算能力。问题类型4 :三角函数表达式的简化例求sin220 cos250 sin20cos50的值。解析：公式=(1- con 40 ) (1cos100 ) (si n

10、70-sin 30 )=1 (cos100-cos40) sin70-=-sin70sin30 sin70=-sin70 sin70=。评分：本问题考察三角常数式和运算能力。例8 .已知函数(I )求出的定义域(ii )设定的第四象限的角，然后求出的值。解析： (I )由来所以在定义域中(ii )因为是第四象限的角所以a故的双曲正切值。问题类型5 :三角函数的评价例9 .设函数f(x)=cos2cos sinrcosx a (其中 0，aR )，并且f(x )的图像在y轴右侧的最高点的横轴为。(I )求的值如果(ii)f(x )的区间的最小值为，则求出a的值。解析： (I )根据问题得到(II

11、 )从(I )中知道。另外，当时，所以区间的最小值是例10 .求出的函数=2的值域和最小正周期。解析： y=cos (x ) cos (x-) sin2x=cos2xsin2x=2sin (2x )函数y=cos(x ) cos(x-) sin2x的值域是-2，2 ，最小正周期是。问题类型6 :三角函数综合问题示例11 .已知向量(I )求得的话(II )求得的最大值。解析： (1)=1时有最大值，此时最大值为。评价：本问题主要考察以下知识点： 1、向量垂直数量积为0的2、特殊角的三角函数值3、三角函数的基本关系及三角函数的有界性4 .已知向量的坐标表示求方法，难易度中等，计算量少。如果设为例

12、12.0，则曲线x2sin y2cos=1和x2cos-y2sin=1有四个不同的交点.(1)求出的值的范围(2)证明这4个交点为正圆，求出正圆半径的能取范围。解析： (1)求解方程式，得到因此，两条已知曲线具有四个不同交点的充分条件是(0)0。(2)假设四个交点的坐标是(xi，yi ) (I=1，2，3，4 )，则Xi2yi2=2cos- (2) (I=1，2，3，4 )。因此，四个交点共享圆，并且该圆的半径r=cos ()。点评：本问题重视应用解方程法处理曲线交点问题，这也是曲线和方程的基本方法，同时本问题也强调了三角不均匀关系的考察。问题类型7 :三角函数的应用例13 .有扇形铁板，以半

13、径r、中心角60，根据该扇形求出下一个内接矩形，即矩形的各顶点在扇形的半径或弧上的该内接矩形的最大面积.分析：本问题必须解决两个问题(1)内接矩形的放置方法如图2-19所示，应该分别进行处理(2)求最大值的问题在这里构筑函数，如何选择容易表现矩形面积的自变量。解析：如图2-19(1)所示，设FOA=时，FG=Rsin，的双曲正切值。另外，设矩形EFGH面积为s时另外，由于060，所以在cos(2-60)=1，即=30时如图2-19 (2)所示，若设FOA=，则在EF=2Rsin(30-)、OFG下，OGF=150设矩形面积为ss=effg=4r 2信号sin (30 -)=2R2cos(2-3

14、0)-cos30另外，由于030，因此cos(2-30)=1的双曲正切值。5 .思考总结从近年来的高考考察方向来看，这一部分多以选择题和填空题的形式出现，有时以大题的形式出现，分数约占5%，因此能否把握本重点内容，在一定程度上限制着高考的成功与否。1 .两角与两角之差的正弦、馀弦、正切式、二倍角的正弦、馀弦、正切式在学习时应注意以下几点(1)不仅要精通公式的修正用逆用，还必须精通公式的变形应用(2)善于剪角，善于剪角例如，等(3)注意倍角的相对性(4)必须经常注意角的范围(5)简化要求精通常用方法和技术。 例如，切断弦，异名化，异角化。2、证明三角方程式的想法和方法。(1)构想：利用三角式改变

15、变名、角，改变运算结构，使方程式成为相同的形式。(2)证明三角不等式的方法：利用比较法、配法、反证法、分析法、函数单调性，利用正、馀弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线和判别法等。3 .解决三角高考问题的策略。(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系方式：用关系式，找出差异之间的内在联系方式。(3)合理转换：选择适当的公式，促进差异的转换。4 .加强三角函数应用意识的训练因为考生对三角函数的概念认识很浅，所以以角为自变量的函数和三角函数之间不能迅速联系，引起了思考障碍、思考障碍。 实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，产生于生产实践中，是客观现实的抽象，同时广泛应用于客观现实中，因此应该培养实践第一视点。 总之，三角部分考察内容稳定难易度稳定，问题量稳定，问题类型稳定，调查的重点是三角函数的概念、性质和图像