2020年高考对数学思想的考查 人教版（通用）

1、2020年高考对数学思想的考查一.高考对数学思想方法的要求： 1. 考试大纲的要求:“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查” “对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法得理解要从学科整体意义和思想价值立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度”（考试大纲，2020年）2.高考评价报告要求: 数学在培养和提高人的思维能力方面有着其他学科所不可替代的独特作用，这是因为数学不仅仅是一种重要的“工具”或

2、者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。”2002年普通高考数学科试题评价报告（教育部考试中心）3.考试中心对教学与复习的建议:在考试中心对数学复习的建议中指出：“数学思想方法较之数学基础知识有更高的层次具有观念性的地位，如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴，

3、用以对数学问题的认识、处理和解决。“数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时又应该领会它们在形成知识中的作用，到了复习阶段应该对数学思想方法和数学基本方法进行疏理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序或者操作程序，逐步做到自觉地、灵活地施用于所要解决的问题近几年来，高考的每一道数学试题几乎都考虑到数学思想方法或数学基本方法的运用，目的也是加强这些方面的考查.同样,这些高考试题也成为检验数学知识,同时又是检验数学思想方法的良好素材,复习时可以有意识地加以运二. 数学思想方法的三个层次: 数学基本方法包括：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等； 数学逻辑方法

4、（或思维方法）包括：分析与综合。归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等； 数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等。 在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。1函数与方程的思想： 考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。”什么是函数和方程思想？简单地说

5、，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:是否需要把一个代数式看成一个函数?是否需要把字母看作变量？如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？【例1】(2020年,北京卷,理)已知 是上的减函数，那么 a 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【分析及解】本题从表面上看并不困难,若为减函数,则,若为减

6、函数,则,于是, a 的取值范围是 . 但是,这个结果是错误的,对(B)是误选.为什么呢？解题时，忽略了分段函数的问题. 因为是分段函数,又要求在上是减函数,就涉及到分段函数的单调性的规律. 一般地,若函数在区间和上是增函数,在并区间上不一定是增函数,但是,只要增加一个条件就可以了,同样, 若函数在区间和上是减函数,在并区间上不一定是减函数,但是,只要增加一个条件就可以了,因此,本题还就必须满足,即,于是,故选(C).【例2】（2020年湖南卷，理）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【分析及解】 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为， 则，选

7、B.【例3】（2020年湖北卷，理）已知二次函数的图象经过坐标原点,其导数为数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.【分析及解】（）依题意得，设这二次函数 ,则 ,又由于,得. 所以 .又因为点均在函数的图像上，所以.当时，;当时，所以.（）由（）得，故=.因此，使得成立的必须满足 ,即，即,故满足要求的最小整数为10.【例4】（2020年全国卷，文）设，二次函数若的解集为， ，求实数的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题， 这个题目的常规解法是：由题设,. 的两个根为显然,.

8、 (1) 当时, (2) 当时, , .于是,实数的取值范围是.我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合的交集不是空集就可以,即只要不等式在区间有解就可以,这等价于成立.解法就简单些.解法如下:(1) 当时,因为的图象的对称轴，则对，最大， (2) 当时, 在或实现,由,则于是,实数的取值范围是.这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考.把函数思想与数形结合思想结合起来，还可获得更简单的解法，即在有解【例5】(2020年,湖北卷,理,21)设是函数的一个极值点.（）

9、求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，,若存在使得成立，求的取值范围.【分析及解】只考虑第（）问，如何理解这一设问呢？如果函数在的值域与在的值域的交集非空，则一定存在使得成立，如果函数在的值域与在的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.事实上,由（）可得,函数在的值域为,又在的值域为,容易证明,.于是, 【例6】（2020年，全国卷，理）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。【分析及解】构造函数于是问题转化为：对所有的恒成立对所有的成立.下面求的最小值.令得 减最小值 增由以上, 在上是减函数,而在上是增函数,注意到 ,(1) 若,即,由的单调性可知,在时,

10、 ,（2）若,即,由的单调性可知, .此时, 不恒成立.由以上, 实数的取值范围是.【例7】（2020年湖南卷，理）已知函数,数列满足:证明: （I）;（II）.【分析及解】（I）先用数学归纳法证明， (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当时结论成立,即.因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在0,1上连续,从而.故时,结论成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，所以，综上所述（II）设函数，由（I）知，当时，从而所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在0,1上连续,且g (0)=0,所以当时，成立.于是故2. 数形

11、结合的思想：数形结合思想是一种很重要的数学思想，.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何

12、图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主。”【例1】（2020年湖南卷，理）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（A） （B） （C） （D） 【分析及解】 圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.例2】(2020年辽宁卷，理) 直线与曲线 的公共点的个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【分析及解】将代入得：，

13、显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。【分析及解】方法1.利用和向量的模,直接求和.设，由，得即又有，即于是，方法2。设，如图， 于是，例4】 (2020年,重庆卷,理)如图所示，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ ）【分析及解】这是一个图象信息题,需要根据图形信息判断函数，再由函数的性质判断图象.由题意,.当时,由,当时,由.根据四个选项的图形,应选(D).【例5】 (2020年浙江卷,理)对,记函数的最小值是.【分析及解】画出函数和的图象，由的定义,可得，则.3. 分类与整合的思想：在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之

14、后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？ 二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统

15、一，不重不漏；三是分类之后如何研究；四是如何整合.【例1】 (2020年,全国卷,理)设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有(A) (B) (C) (D)【分析及解】这是一个计数问题，关键在于对题目的条件如何思考，（1）是A和B是非空子集，（2）是B中最小的数大于A中最大的数，怎样实现这两个条件?最好的方法是分类讨论.从条件(2)中的“B中最小的数”入手，显然有四种情形： B中最小的数为2.此时仅有1中选法,即,而可以有8中选法,即3,4,5三个元素可以在中,也可以不在中. B中最小的数为3,此时有3种选法,即,而有4种选法,即4,5两个元素

16、可以在中,也可以不在中. B中最小的数为4, 此时有7种选法,即为的非空子集,而有2种选法,即5可以在中,也可以不在中. B中最小的数为5, 此时有15种选法,即为的非空子集,而仅有1种选法,即5在中. 由以上, 不同的选择方法共有【例2】 (2020年,全国卷,理)已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。【分析及解】 ()的定义域为.对求导数得 .为研究的单调性,就要对参数分类讨论.(1)当时, ，在, 和均大于0, 所以在和 上均为增函数.(2)当时, , 在和 上均为增函数(3)当时,，, 令 ,解得. .当变化时, 和的变化情况如下表: 增减增增 在, ,为增函

17、数, 在为减函数.()(1)当时, 由()知: 对任意x(0,1)恒有.(2)当时, 取,则由()知 .(3)当时, 对任意,恒有且,得 分类讨论之后,还要对讨论的结果进行整合,当且仅当时,对任意恒有.【例3】 (2020年,辽宁卷,理)已知函数,则的值域是(A) (B) (C) (D) 【分析及解】本题给出的函数是一个含有绝对值符号的函数,就要对进行分类,写成分段函数当,即时, ,当,即时, .故选(C).【例4】 (2020年,安徽卷,文)在等差数列中，前项和满足条件， （）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和.【分析及解】（）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又，所以.（）由，得

18、。所以，在这里,要对按是否等于1分类:当时，；当时，即。【例5】 (2020年,湖北卷,理)关于的方程，给出下列四个命题： ( ).存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是(A) 0 （B）1 （C）2 （D）3【分析及解】关于x的方程可化为 或（1x1）（1）当2时，方程的解为，方程无解，原方程恰有2个不同的实根（2）当时，方程有两个不同的实根，方程有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根（3）当0时，方程的解为1，1，方程的解为x0，原方程恰有5个不同的实根

19、（4）当时，方程的解为，方程的解为，即原方程恰有8个不同的实根故选A4. 化归与转化的思想：化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式

20、子，通过换元转化为简单的式子问题等等。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。【例1】(2020年,江西卷,理)如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形， ，是上一动点，则的最小值是_【分析及解】连，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，连，则的长度就是所求的最小值. 通过计算可得,所以,又,于是,A1C1C135. 由余弦定理可求得本题把立体几何问题转化为平面几何问题,把沿表面两点的距离问题转化为平面上两点间的距离问题,【例2】 (2020年天津卷,理)已知数列满足,并且 为非零参数,()

21、 若成等比数列,求参数的值;() 当时,证明;() 当时,证明.【分析及解】本题的第() 问比较简单,由得 因为成等比数列,则.而第()问证明的关键就是能否把递推式转化为等比数列,以及对不等式能类比等比数列求解.或者由求证的不等式是一个与正整数有关的命题,而选择数学归纳法.这两种证明方法都是把生题转化为熟题的方法.解法1. 由已知, ,可得,于是有, 由，得，于是，。解法2.用数学归纳法。（1）当时，不等式成立；（2）假设时不等式成立，即，那么，时，由题设，即，因此，时，不等式成立。由（1），（2），对所有的，不等式成立。第()问要证明一个分式不等式,关键在于能否把不等式的左边的分式的和转化为

22、熟知的数列的和,这正是解决本问的努力方向.由得，因此，【例3】 (2020年江苏卷）设a为实数，记函数的最大值为.（）设t，求t的取值范围，并把表示为t的函数.（）求.（）试求满足的所有实数a【分析及解】题目给出的函数是一个无理函数，求它的最大值有困难，本题通过设问的引导，把化归为熟悉的二次函数,再借助于分类讨论和整合思想与数形结合思想求出的最大值（I），要使有意义，必须且，即因为，且 所以的取值范围是。由得：，.（II）由题意知即为函数，的最大值，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（II

23、）由题意知即为函数，的最大值，直线是抛物线的对称轴，可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，有=2；（III）当时，； 当时,，故当时，；当时，由知：，故；当时，故或，从而有或，要使，必须有，即，此时，。综上所述，满足的所有实数a为：或.5. 特殊与一般的思想： 由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一对数学而这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想. 在高考中,会有意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题,例如: (1) 由一般归纳法进行

24、猜想的试题; (2) 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的试题; (3) 抽象函数问题; （4）定点,定值问题; (5) 用特殊化方法解选择题等.【例1】(2020年江西卷,理) 对于上可导的任意函数，若满足，则必有（A） （B）（C） （D）【分析及解】依题意，当时，函数在（1，）上是增函数；当时，f（x）在（，1）上是减函数，故当时取得最小值，即有，即故选C 本题首先考虑的是一般性的结果：任意函数当时取得最小值,然后再根据题目的要求,对特殊的函数值进行比较.【例2】（2020年，天津卷，理）已知数列都是公差为1的等差数列,其首项分别为,且,设,则数列的前10项和等于( ).(A) (B

25、) (C) (D) 【分析及解】用特殊化策略.设则从而,于是有 本题根据选择题的特点,对赋予特殊值,求出数列的前10项和,从而排除错误的结果,选出符合题目要求的选项.【例3】（2020年，湖北卷，理）将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 .令，则 【分析及解】第一问,对比杨辉三角的性质，通过对特殊分数三角形的观察可知，“莱布尼茨三角形”中，任一数都等于它的“脚下”的两数之和，因此.第二问,是求“莱布尼茨三角形”中,从第三项起,每一行的倒数第三项的和,则利用第一问观察后的一般结论：,进行运算. 所以,【例4】（2020年

26、,广东卷,理 ）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.【分析及解】本题先根据图中给出的特殊情形,求出第3堆的乒乓球总数:再发现一般规律,求第堆的乒乓球总数6. 有限与无限的思想： 考试中心对考试大纲的说明中指出：“将对无限的研究化成对有限的研究,就成了解决无限问题的必经之路,反之,当积累了解决无限问题的经验之后,可以将有限问题转化成无限问题来解决,

27、这种无限化有限,有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.” “高考中对有限与无限的思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限的思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思想时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。”【例1】(2020年,北京卷,理)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意,( ). 恒成立”的只有 （A） （B） = （C） （D）【分析及解】解法1.根据题设直接验证.设,对(A),所以,(A)正确.对(B), 所以,(B)不正确.对(C), 所以,(C)

28、不正确.对(D), 所以,(D)不正确.解法2.把变形为,则为曲线上的点连线的斜率,而直线对应于一条平行于它的切线,于是,本题化归为哪一条曲线在区间的切线的斜率.即把不等式的问题转化为曲线的斜率问题.由(A)(B);(C)(D)故选(A). 解法2是把一个两点的割线的斜率这样一个有限问题转化为切线的斜率的无限的问题.【例2】（2020年江西卷,理）已知数列满足： ，且（）求数列的通项公式；（）证明：对于一切正整数，不等式【分析及解】（）将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为，公比，从而1，据此得 （）由 得，为证只要证时有 直接用数学归纳法证明有困难. 我们先计算一些特殊值. 时, 时

29、, 时, 由此,可以猜想有不等式： 用数学归纳法证明. (1) 当时, 式成立; 当时, 式成立; (2) 假设时, 式成立,即 那么,当时,. 于是, 时, 式成立.由(1),(2),对所有,式成立. 因而即式成立. 这等价于不等式成立.7. 或然与必然的思想： 概率所研究的随机现象，研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这其中所体现的数学思想就是或然与必然的思想。 随着新教材的实施，高考中对概率内容的考查已经放在了重要的位置，通过对等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，n次独立重复试验发生了k次的概率随机事件的分

30、布列与数学期望等重点内容的考查，一方面考查基本概念和基本方法，另一方面考查在解决实际问题中能否运用或然与必然的辩证关系，从而体现了或然与必然的思想。【例1】（2020年陕西卷，文）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是现3人各投篮1次，求:()3人都投进的概率;()3人中恰有2人投进的概率【分析及解】 ()记甲投进为事件 ， 乙投进为事件 ， 丙投进为事件，则 3人都投进的概率为.() 设“3人中恰有2人投进为事件B 【例2】（2020年四川卷，文）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为；在实验考核中合格的概率分别为，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该