2020年高考数学《三角函数》专题 三角函数的最值学案（通用）

1、基础过关第9课时 三角函数的最值1一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标2函数与方程 两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标3二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为

2、方程的根按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值典型例题例1. 求下列函数的最值 y； y2 cos(x)2cosx； 解：(1) y 当cosx时，ymin= cosx1 函数y没有最大值。(2) y2cos()+2cosx=2cos=3cosxsinx=2cos()当cos()1时，ymin当cos()1时，ymax(3) 由得sinxycosx3y13y1 (tany)|sin(x)|1 |3y1|解得0y 故的值域为0，注：此题也可用其几何意义在求值域变式训练1：求下列函数的值域：（1）y=;（2）y=sinx+cosx+sinx

3、cosx;（3）y=2cos+2cosx.解 （1）y=2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx1,y4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，-t.故y=f(t)= (-t),从而知：f(-1)yf(),即-1y+.即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.1该函数值域为-2，2.例2. 试求函

4、数ysinxcosx2sinxcosx2的最大值与最小值，又若呢？解： 令tsinxcosx 则t，又2sinxcosx(sinxcosx)21t21yt2t1(t)2，显然ymax3若x0， 则t1，y(t)在1，单调递增当t1即x0或x时，y取最小值3当t即x时，y取最大值3变式训练2：求函数的最大值和最小值点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值既方便又简单解：f(x)x(sin2xcos2x)f(x)1sin(2x)x， 2x，令f(x)0 得sin(2x)x0，f(0)1，而f() f()当x时，f(x)max当x0时，f(x)min1例3.

5、已知sinxsiny，求sinycos2x的最大值解：sinxsiny sinysinycos2x(1sin2x)又1siny1 而1sinx1sinx1当sinx时，sinycos2x取得最大值。变式训练3：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2ac，求y的取值范围解：y又cosB 0B B 1sin(B)即1y例4设a0，若ycos2xasinxb的最大值为0，最小值为4，试求a与b的值，并求出使y取得最大、最小值时的x值解：原函数变形为y1sinx1，a0若0a2，当sinx时ymax1b0 当sinx1时，yminab4 联立式解得a2，b-2y取得最大、小值时的x值分别为：x2k(kZ)，x2k(kZ)若a2时，(1，)ymax0 ymin 由得a2时，而1 (1，)舍去.故只有一组解a2，b2.变式训练4：设函数（其中0，aR），且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为（1）求的值；（2）如果在区间的最小值为，求a的值解：(1) f(x)cosxsin2xasin(2x)a依题意得2解得(2) 由(1)知f(x)sin(2x)a又当x时，x故sin(x)1从而f(x)在上取得最小值a小结归纳因此，由题设知a故a 1求三角函数最值的方法有： 配方法；化为一个角的三角函数； 数形结合； 换元法； 基本不等式法2三角函数的最值都