2020年高考数学一轮复习学案：立体几何综合问题2（通用）

1、 立体几何综合问题22020全国高考立体几何题河北、河南、山西、安徽(全国卷I) （2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 （C）（A）（B）（C）（D）（4）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为 （C）（A）（B）（C）（D）（16）在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面以上结论正确的为 。（写出所有正确结论的编号）2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（福建

2、卷）4已知直线m、n与平面a、b，给出下列三个命题：若ma，na，则mn；若ma，na，则nm；若ma，mb，则ab其中真命题的个数是(C)A0 B1 C2 D38如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是(D)Aarccos BCarccos D20（本小题满分12分）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE（）求证：AE平面BCE；（）求二面角B-AC-E的大小；（）求点D到平面ACE的距离。20、（）略；（）；（）。2020年普

3、通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）4设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥BAPQC的体积为（ C ）A B C D11不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ D ）A3个 B4个 C6个 D7个2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）（6）在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（C） （A）BC/平面PDF （B）DF平面PA E （C）平面PDF平面ABC （D）平面PAE平面 ABC（16）（本小题共14分） 如图, 在直四棱

4、柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足为E， （I）求证：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大小； （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结A1E，C1E，A1 C1 与（I）同理可证BDA1E，BDC1E， A1EC1为二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC

5、3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190， 即二面角A1BDC1的大小为90（III）过B作 BF/AD交 AC于 F，连结FC1， 则C1BF就是AD与BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，FC2，BCDC， FC1=，BC1， 在BFC1 中，, C1BF= 即异面直线AD与BC1所成角的大小为2020年高考全国卷数学（四川、陕西、云南等地区用）（19）(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的

6、二面角的大小（19）证明：（）作AD的中点O，则VO底面ABCD1分 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，2分则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，），, ,又ABAV=AAB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量,设是面VDB的法向量，则 ，又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为 2020年广东省高考数学试题 (7)给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题: 则与m不共面； 、m是异面直线，； 若； 若，则其中为假命题的是 （C）（A） （B） （C） （D）16如图， PA=BC=6，AB=8，PB=AC=10，F

7、是线段PB上一点，点E在线段AB上，且EFPB（I）求证：PB平面CEF（II）求二面角BCEF的大小（14分）16（I）证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形。故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角。二面角BCEF的大小为2020年普等学校招生全国统试一考试 天津

8、卷（理工类）(4)设为平面，为直线，则的一个充分条件是 （D）(A) (B) (C) (D) （12）如图，PA平面ABC，ABC=90且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于（19）（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积（19）解：（）过作平面，垂足为连结，并延长交于，于是为与底面所成的角，为的平分线又，且为的中点因此，由三垂线定理，且，于是为二面角的平面角，即由于四边形为平行四边形，得（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而

9、平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点的连线在中，故所求球的半径，球的体积2020年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷（理工农医类）10如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、 K分别为AC、CB、AB、BC的中点，G为ABC的重心. 从K、H、G、B中取一点作为P， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ C ）AKBHCG DB20（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点. （）求直线AC与PB所成角的余

10、弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.20本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），从而设的夹角为，则AC与PB所成角的余弦值为. （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE面PAC可得， 即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.解法2：（）设ACBD=O，连OE，则OE/PB，EOA即为AC与PB所成的

11、角或其补角.在AOE中，AO=1，OE=即AC与PB所成角的余弦值为. （）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在RtADF中设N为PF的中点，连NE，则NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，从而NE面PAC.N点到AB的距离，N点到AP的距离2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）4已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：若； 若；若；若m、n是异面直线，其中真命题是（ D）A和B和C和D和14如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .17（本小题满分12分）已

12、知三棱锥PABC中，E、F分别是AC、AB的中点，ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）证明PC平面PAB； （）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若点P、A、B、C在一个表面积为12的 球面上，求ABC的边长.17本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分.（）证明： 连结CF.4分（）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则8分解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 为所求二面角的平面角.设AB=a，则 8分（）解法一：设PA=

13、x，球半径为R. ，的边长为.12分解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.12分2020年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）7对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有（B ）A1个B2个C3个D4个2020年全国高等学校招生统一考试数学（湖南卷理）试题A1CBAB1C1D1DO5、如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A

14、1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（B）A、B、C、D、（8）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（D ）（A） （B） （C） （D）(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若则若则若，则是两条异面直线，若，则上面的命题中，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）(20)(本小题满分12分)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.20(考查知识点：立体几何)解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在

15、的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（I）因为所以=易知异面直线所成的角为（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为作业 同步练习 立体几何综合（二）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1已知平面与平面相交，直线，则 （ ）A内必存在直线与平行，且存在直线与垂直B内不一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直C内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直D内必存在直线与平行，却不一定存在直线与垂直2已

16、知直线，直线，给出下列命题中正确的序号是（ ）； m； ； ABC D3在正方体中，为的中点，为底面的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角是（ ）A B C D4等边三角形ABC和等边三角形ABD在两个相互垂直的平面内，则CAD=（ ） AB C D5如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是（ ）A90B60C45D306在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，P、Q是对角线AC上的点，若PQ=，则三棱锥P-BDQ的体积为 （ ）A B C D不确定7四面体的棱长中，有两条为，其余全为1时，它的体积（ ）

17、ABCD以上全不正确8如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P1P2，P2P3，P3P1的中点，沿AB、BC、CA折起，使P1、P2、P3三点重合后为点P，则折起后二面角PABC的余弦值为 .9一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为_.10若正三棱锥的侧面均为直角三角形，则它的侧面与底面所成二面角的为大小为 .11如图为某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线.（1）沿图中虚线将它们折叠起业，使P、Q、R、S四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这

18、样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1？（2）设正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点为E，求平面AB1E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.12如图，四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，CDPD.底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB=3.点E在棱PA上，且PE=2EA.（1）求异面直线PA与CD所成的角；（2）求证：PC平面EBD；（3）求二面角ABED的大小.（用反三角函数表示）.参考答案CDDBBA A8、 9、 10、 arctan11. 解： （1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥（见右图）， 需要3个这样的几何体可以拼成一个正方体.（6分）（2）解法一：设B1E，BC的延长线交于点G，连结GA，在底面ABC内作BHAG，垂足为H，连结HB1