中考数学专题 动态几何之定值(恒等)问题(含解析)

1、专题专题 4444 动态几何之定值（恒等）问题动态几何之定值（恒等）问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几 何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折） 、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来

2、解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以 动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角 度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。本专题原创编写动态几何之定值（恒 等）问题模拟题。 在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定 值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。 1.1. 如图，在RtABC 和 RtDEF 中，ACB=DEF=90，A=F=45 ，DF=4，将DEF沿

3、 AC 方向平移， 使点 D 在线段 AC 上，DEAB。求证：点E 到 AC 的距离为常数 2。 00 【答案】【答案】解：如图，过点 E 作 EHAC 于点 H，则 EH 即为点 E 到 AC 的距离。 在 RtDEF 中，DEF=90 ，F=45 ，DF=4， DE 00 4 2 2 2。 0 DEAB，EDH=A=45 。 EH 2 2 2。 2 点 E 到 AC 的距离为常数 2。 【考点】【考点】平移问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，平行的性质。 2.2. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 x , 即：当n为非负整数时，如果 n 11 x n ,则 x n. 22 如：=

4、0，=1，=2，=4， 试解决下列问题： （1）填空： =（为圆周率） ； 如果 （2）当 举例说明 2x 1 3,则实数x 的取值范围为； x 0,m为非负整数时,求证: x m m x ； x y x y 不恒成立； x 4 x的所有非负实数x 3 的值；（3）求满足 1 y x2 x 的自变量x在n x n 1 4 （4）设n为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值 y为整数的个数记为 a;满足 求证：a b 2n. 【答案】 k n的所有整数k 的个数记为b. 74 x 9 （1）3 4 （2）证明略 举反例： 0.6 0.7 11 2,而 0.60.7 1.3 1, 0.6 0.

5、7 0.6 0.7 , x y x y 不一定成立. 3k. 4 3 k k, 4 131 k k k ,k 0,(6分) 242 3 3 0 k 2,k 0,1,2, x 0,.(7分) 4 2 则x （3） （4） a b 2n. 证明略。 74 x 9 ；（2 分）【解析】 （1）3； （1 分） 4 （2）证明： x n,则n 法一设 11 x n ,n 22 为非负整数；（3 分） 又(n m) 11 x m (n m) ,且n m 22 为非负整数， xm nm m x . （4 分） 法二设 x k b,k为x的整数部分,b 为其小数部分. 1当0 b 0.5时, x k, m

6、x (m k)b,m k为m x的整数部分,b为其小数部分. m x m k x m m x .(3分) 2当b 0.5时, x k 1, 则m x (m k)b,m k为m x的整数部分,b为其小数部分. x m m k 1, m x m x . 综上所述: x m m x .(4分) 举反例： 0.6 0.7 11 2,而 0.60.7 1.3 1, 0.6 0.7 0.6 0.7 , x y x y 不一定成立.（5 分） y x , y （3）法一作 4 x 3 的图象，如图 28（6 分） （注：只要求画出草图，如果没有把有关点画成空心点，不扣分） y x 的图象与y 433 x图象

7、交于点(0,0),点( ,1),点( ,2), 342 3 3 x 0,. 4 2 （7 分） 44 x 0,x为整数,设x k,k为整数, 33 法二 则x 3 k. 4 3 k k, 4 131 k k k ,k 0,(6分) 242 3 3 0 k 2,k 0,1,2, x 0,.(7分) 4 2 3.3. 已知ABC 为等边三角形， 点 D 为直线 BC 上的一动点 （点 D 不与 B、 C 重合） ， 以 AD 为边作菱形 ADEF （A、D、E、F 按逆时针排列） ，使DAF=60，连接 CF如图，当点 D 在边 CB 的延长线上时，证明 AC=CD CF。 【答案】【答案】解：B

8、AC=DAF=60，DAB=CAF。 在BAD 和CAF 中，AB=AC，DAB=CAF，AD=AF， BADCAF（SAS） 。 CF=BD。CDCF=CDBD=BC=AC。 AC=CDCF。 【考点】【考点】单动点问题，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换。 【解析】【解析】根据 SAS 证BADCAF，推出CF=BD 即可。 4.4. 已知，点 A、B、C 在O 上，OCAB， AOC=40 ， 点 DO 上的动点（ 与点 B、C 不重 合）是则BDC 的度数是。 【答案】【答案】20或 160。 【考点】【考点】圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，分类思

9、想的应用。 5.5. 如图，已知菱形ABCD 中，ABC=60，点P 是对称线 AC 上的一点，点F 为 BC 边上一个动点，点E 在 AB 边上，且满足条件EPF=60。求证：APE=CFP。 【答案】【答案】解：菱形 ABCD 中，ABC=60，ABC 是等边三角形。ACB=60， CFP+FPC=180ACB =18060=120。 又EPF=60，APE+FPC=180EPF =18060=120。 APE=CFP。 【考点】【考点】单动点问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平角定义，三角形内角和定理。 【解析】【解析】利用菱形与三角形的相关角之间的关系和平角定义可以证明结论。

10、6.6. 阅读下列材料： 我们知道，一次函数ykxb的图象是一条直线，而ykxb经过恒等变形可化为直线的另一种表达形 式：AxBxC0（A、B、C是常数，且A、B不同时为 0） 如图 1，点P（m，n）到直线l：AxBxC AmBnC 0 的距离（d）计算公式是：d O x B d A2B2 P y 图 1155 例：求点P（1，2）到直线y 12 x 6 的距离d时，先将y 12 x 6 化为 5x12y20，再由上述 5 11222 距离公式求得d 解答下列问题： 512 2 2 21 13 4 2 如图 2，已知直线y 3 x4 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx4x5 上的一点

11、M（3， 2） O 4 2A M 24 2 x y图 2 4 4 （1）求点M到直线AB的距离 （2）抛物线上是否存在点P，使得PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及PAB面积的最小值；若 不存在，请说明理由 41311365 【答案】 （1） 6（2）存在，P（ 3 ， 9 ） ，PAB面积的最小值为 2 5 3 6 【解析】 4 试题分析： （1）将y 3 x4 化为 4x3y120，由上述距离公式得： 433212 d 4232 6 点M到直线AB的距离为 6 （2）存在 11365 PAB面积的最小值为 2 5 3 6 考点：直线与抛物线 点评：本题考查直线与抛物线，掌握直线与抛物

12、线的性质，会求点到直线的距离 7. 已知抛物线C1的解析式为y 1 2 11 将抛物线C1向下平移h 个单位 （h0） 得到抛物线C2 一x x 424 条平行于 x 轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D 四点（如图） ，且点 A、C 关于 y 轴对称，直线 AB 与 x 轴的距离是 m （m0） 。来若抛物线 C1的对称轴与直线 AB 交于点 E，与抛物线 C2交于点 F求证： 2 1 tanECF tanEDP =。 2 【答案】【答案】解：直线 AB 与 x 轴的距离是 m ，点 A、D 的纵坐标为 m 。 22 1 2 。 x 1 m2，解得 x 1=1+2m，x2=12m。点 A

13、的坐标为（12m，m 2） 4 2 点 A、C 关于 y 轴对称，点 C 的坐标为（1+2m，m ） 。 又抛物线 C1的对称轴为直线 x=1，CE=1+2m1=2m2。 AE ED （1 2m） 1 2m。 设抛物线 C2的解析式为y EF= m h=m 2m+1。 22 11 22x 1 h，则 12m1 h m2，解得 h=2m1。 44 EFEPm22m1m2m1m1 tanECF tanEDP 。 CEED2m22m222 【考点】【考点】平移问题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，关于 y 轴对称的点的坐标特征，待 定系数法，锐角三角函数定义。 8.8. 如图，已知半圆O 的直径 AB，将个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三 角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D 两点，连结 AD、BC 交于点 E线段 BD 是否恒等于 DE，若是请 证明，若不是请说明理由. 【答案】见解析 【解析】 考点：圆周角定理 点评：本题