2020年高考模拟热点交汇试题汇编之函数与导数 人教版（通用）

1、(命题者的首选资料)1（西安地区八校联考）设函数. （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的不等式| f（x）|a恒成立，求a的取值范围.解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0a2a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于又（12分）2.(华南师大附中)设 f (x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若 f (x) 在其定义域

2、内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设 g(x) = ，若在 1,e 上至少存在一点x0，使得 f (x0) g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围.解：(I) 由题意得 f (e) = pe2ln e = qe2 1分 (pq) (e + ) = 0 2分而 e + 0p = q 3分(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 4分令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当 p = 0时， h(x) =

3、2x， x 0， h(x) 0， f(x) = 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1适合题意. 7分 当 p 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = (0,+)只需 h(0)0，即 p0时 h(x)0在 (0,+) 恒成立.故 p 0 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()max = 1p1 7分由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min，x 0而 0

4、且 x 0 时， 0，故 p0 8分综上可得，p1或 p0 9分(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 11分 0 p 1 时，由x 1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2，不合题意。 12分 p1 时，由 (II) 知 f (x

5、) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2 p 13分综上，p 的取值范围是 (,+) 14分3(山西省太原市)如果在某个区间I内满足：对任意的，则称在I上为下凸函数；已知函数 （）证明：当时，在上为下凸函数； （）若为的导函数，且时，求实数a的取值范围.解（）任取则2分3分又4分又5分即.6分上的下凸函数. （），8分10分恒成立.12分4(山西省太原市)设，函数为自然对数的底数）. （）判断的单调性； （）若上恒成立，求a的取值范围.解（）由已知2分令当在R上为减函数.当在R上为减函数.4

6、分当时，由得由得上为增函数；上为减函数.6分 （）当上为减函数.10分当在1，2上不恒成立，a的取值范围是12分5.(2020届江苏九大名校第二次联考)已知函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点若，求函数的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为，2分由，得 ，故方程的两根是，故，5分，即 7分（2）依题意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分6.(陕西省宝鸡中学) 已知函数.求函数的定义域和极值;若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围.函数的图象是否为中心对称图形?若是请指出对称中心,并证明;若不是,请说明理由.解:

7、函数的定义域为(,2)(4,),由得:或,所以(,0)0(0,2)(4,6)6(6,)+0-0+极大值极小值由知或所以或由知函数的图象若是中心对称图形,则中心一定在两极值点的中心(3, ),下面证明:设是函数的图象上的任意一点,则是它关于(3, )的对称点,而,即也在函数的图象上.所以函数的图象是中心对称图形,其中心是(3, )7(山东省滋博市)设是函数的两个极值点，且 （）求a的取值范围； （）求证：.解证：（I）易得1分的两个极值点的两个实根，又a03分7分（）设则由上单调递增10分12分8.(宁夏银川一中)f(x)=4x+ax2x3在1,1上是增函数 （1）求实数a的值组成的集合A； （

8、2）设关于x的方程f（x）=2x+x3两非零实根为x1,x2,试问：是否存在实数m使不等式m2+tm+1|x1x2|对于任意aA及t1,1恒成立，若存在求出m取值范围，若不存在，说明理由。解（14分）（1）f(x)=4+2ax2x2，由题意f(x)0在1,1上恒成立 （2分）A=1,1 (5分)（2）方程f(x)=2x+x3可化为x(x2ax2)=0 x1x20, x1,x2是x2ax2=0两根 （7分）=a2+80,x1+x2=a,x1x2=2 |x1x2|= 1a1 |x1x2|最大值是 （10分） m2+tm+13在t1,1上恒成立 令g(t)=mt+t22 m2或m2 (14分)故存在

9、m值，其取值范围为(,22,+)9(山东省济宁市)已知函数 （）若，求的极大值； （）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：（）定义域为 2分令 由由 4分即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 6分 （）的定义域为(0+) 由G (x)在定义域内单调递减知：在(0+)内恒成立 8分令，则 由当时为增函数当时 为减函数 10分当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 12分10.(湖北枣阳一中)已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1

10、上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减. 上的极大值 （II）由得设，依题意知上恒成立， 上单增，要使不等式成立，当且仅当 （III）由令，当上递增；上递减而，恰有两个不同实根等价于 12分11（江西省师大附中）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，满足：y2f /(1)ln(x1)0.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1，1及b1，1都恒成立，求实数m的取值范围解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln

11、(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则得m3或m312分12.(天津市十二区县重点中学)已知函数（）判断的奇偶性；（）在上求函数的极值；（）用数学归纳法证明：当时，对任意正整数都有解：（） 。3分()当时， 5分令有，

12、 当x变化时的变化情况如下表:由表可知：（+0增极大值减当时取极大值. 7分()当时 8分 考虑到：时，不等式等价于（1） 所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切都成立即可9分（i）当时，设， 10分故，即所以，当时，不等式（1）都成立 11分（ii）假设时，不等式（1）都成立，即 当时设 有 12分 故为增函数， 所以，即， 13分这说明当时不等式（1）也都成立，根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切都成立，故原不等式对一切都成立. 14分13.(山东省济南市)已知函数与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其

13、中，求F(x)的单调区间解：(1)过点a=-8, 2分切线的斜率3分 的图像过点4b+2c=0, ,解得：b=8,c=-164分 5分切线方程为即16x-y-32=06分(2) 8分 当m0时，m1 当时 当时 F(x)的单调减区间是 F(x)的单调增区间是(1，)11分 即me2n3.解：（I）（2分）上是减函数.（4分）（II）即h(x)的最小值大于k.（6分）则上单调递增，又存在唯一实根a，且满足当故正整数k的最大值是3 9分（）由（）知 11分令，则ln(1+12)+ln(1+23)+ln1+n(n+1)（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3 14分16.(陕西师大附中202

14、0年高三第八次)（）已知函数,求证:函数在区间上为减函数；（）已知函数,若在上至少存在一点, 使得成立,求实数的取值范围.1. 解：(), 而, 当时, , 因此在2,)上为减函数. ()记, 则, 当时，当时, 故在时取极大值,同时也为最大值 依题意, 要在(0,)上存在一点, 使成立.即使只需，即， 因此, 所求实数的取值范围为. 17.(河南省开封市)（本小题满分12分） 已知f(x)=ln(x+2)x2+bx+c （）若函数f(x)在点（1，y）处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f(1)=0，求函数f(x)在区间0，3上的最小值； （）若f(x)在区间0，m上单调，求b的取值范围

15、.解：（I） 直线3x+7y+2=0 斜率为令f(1)= 得b=4 又f(1)=ln114+c=0 c=5x0(0,)（,3）3y+0yln2+5极大8+ln5因为8+ln55+ln2 x=0时 f(x)在0，3上最小值f(x)=5+ln2. （II）令0得b2x，在0，m上恒成立而 y=2x在0，m上单调递增，最大值为2m b2m 令0 得b2x，而 y=2x在0，m单增，最小为y=b故b2m 或b时f(x)在0，m上单调.18. (东北三校)已知函数f(x)=axx (a1) (1) 求函数f(x)的最小值, 并求最小值小于0时a的取值范围.(2)令S(n)=Cn1f (1)Cn2f (2

16、) Cnn1f (n1),证明: S(n)(2n2)f ()解：(1) 由f (x)=axlna1 f (x)0 即: axlna1, ax , 又a1, xlogalna同理: f (x) 0, 有xlogalna 所以f (x)在(, logalna)上递减, 在(logalna, )上递增, 所以f(x)max=f(logalna) = , 若f(x)max0, 即 0, 则ln(lna)1, lna a 的取值范围是 1a (2) S(n)=Cn1(alna1)Cn2(a2lna1) Cnn1(an1lna1), = (Cn1aCn2a2Cnn1an1)lna(Cn1Cn2Cnn1)

17、= Cn1(aan1)Cn2(a2an2)Cnn1(an1a)lna(2n2) = 不等式成立.19.(襄樊市)已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求证：x(1)解：函数f (x)的定义域为(1，+)2分由 得：，x0f (x)的单调递减区间为(0，+)4分(2)证明：由(1)得x(1，0)时，当x(0，+)时，且x1时，f (x)f (0)，0，x8分 令，则10分1x0时，x0时，且x1时，g (x)g (0)，即012分，x1时，x13分20（安徽省合肥市高三年级第一次模拟考试）已知 （1）求f(x)的值域； （2）若f(x)a23对于任意x恒成立，求实数a的取值范围.解：（1

18、）f(x)=1,令f(x)=0，得x=1，fmax(x)=a1.3分 值域是（，a1 6分 （2）f(x)a23恒成立fmax(x)0，a2或a1时，m 1，由得x 1时，在（1，2），（2，+）上单增；在（m，1）单减.14分25（浙江省温州市）已知函数f(x)=-x3+x2+b|x-1|+c ()若函数f(x)是R上减函数，试确定实数b的取值范围； ()设f (x)在x=2时取极值，过点(0,2)作与f (x)相切的直线，问是否至少存在两条与f (x)相切的直线，若存在，试求出c的取值范围，若不存在，说明理由。26.解：()当x1时，f(x)=-x3+x2+b(x-1)+c，f(x)=-3

19、x2+x+b0恒成立，则b3x2-x恒成立，由于3x2-x=3(x-)2-(x1)，因此当x=1时，3x2-x有最小值2, b， 又f(x)在x=1处连续 b的取值范围是b2()f(x)在x=2时取极值，而当x1时，f(x)=-3x2+x+bf(x)=-x3+x2+10|x-1|+c=若存在直线过点(0,2)与f(x)相切，设切点为(x，y)由于f(x)在R上连续，但在x=1处不可导，易知在x=1处切线不存在当x1时，f(x)=-3x2+x+10，则-3x+x+10=，即(-3x+x+10)x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*)构造函数g(x)=-2x3+x2+12

20、，g(x)=-6x2+x=-6(x-)2+，(x1)g(x)1时单调递减，因此g(x)g(1)=，c，此时方程(*)有唯一解当x1时，f (x)=-3x2+x-10，则-3x+x-10=，即(-3x+x+10)x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*)构造函数h(x)=-2x3+x2-8，h(x)=-6x2+x=-6(x-)2+,(x1)若x0，则h(x)0，此时h(x)单调递减若x(，1)，则h(x)0，此时h(x)单调递减经计算h(0)=-8，h(1)=-，h()=-8+当x-若c(-,-8)，方程(*)有一解； 若c=-8，方程(*)有两解； 若c(-8，)，方程(*)有三解； 若c=-，方程(*)有两解；若c(-,+)，方程(*)有一解；c-,方程(*)至少有一解；综上所述，当-c0a 0a 0a 0a 0时，若3x2，则4 af（x）16 a当a 0时，若3x2，则16 af（x）4 a从而即11分存在实数，满足题目要求.12分27.（重庆市南开中学）已知函数 （I）求f(x)在0，1上的极值； （II）若对任意成立，求实数a的取值范围； （III）若关于x的方程在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.18（12分）解：（I），令（舍去）单调递增；当单调递减