华师大附中 数学复习教学案四种命题

1、课课题：题：1.7 1.7 教学目的：教学目的： 四种命题（四种命题（1 1） 1理解四种命题的概念；掌握四种命题的形式，能写出一个简单的命题（原命题）的 逆命题、否命题、逆否命题 2培养观察分析、抽象概括能力和逻辑思维能力； 教学重点：教学重点：理解四种命题的概念、形式 教学难点教学难点：四种命题的关系 授课类型：授课类型：新授课 课时安排：课时安排：1 课时 教教具：具：多媒体、实物投影仪 内容分析内容分析： 学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理 方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中 的基础上，结合四种命

2、题的知识，进一步讲解反证法然后，通过若干实例，讲述了充分条 件、必要条件和充要条件的有关知识 这一大节的重点是充要条件学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的 技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、 “且” 、 “非”与充要条件的有关 内容是十分必要的 这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断 初中阶段， 学生只是对简单的推理方法 有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代 数侧重的是运算的技能和能力， 因此，像对代数命题的证明， 学生还需要有一个逐步熟悉的 过程 教学过程：教学过程： 一、复习引入一、复习引入： 复习初中学过的命

3、题与逆命题，并举例说明（学生回答，教师整理补充） 两个命题，如果第一个命题的条件（或题设） 是第二个命题的结论，且第一个命题的结 论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个叫做原命题的逆命题. 例如，(1)同位角相等，两直线平行； 条件（题设） ：同位角相等；结论：两直线平行 它的逆命题就是：(2)两直线平行，同位角相等 二、讲解新课：二、讲解新课： 1引例 (3)同位角不相等，两直线不平行； (4)两直线不平行，同位角不相等. 比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同（学生回答，教师整理补充） 在命题(1)与命题(3)中，一个

4、命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论 的否定，我们称命题(1)与命题(3)互为否命题； 在命题(1)与命题(4)中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件 的否定，我们称命题(1)与命题(4)互为逆否命题； （让学生取名字） 思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？ （学生回答，教师整理补充） 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； 同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题； 交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题. 2概括： (1)为原命题(2)为逆命题 (3)为否命题(4)为逆否命题 反问：若(2)为原命题，则(1)(3

5、)(4)各为哪种命题？ 若(3)为原命题，则(1)(2)(4)各为哪种命题？ 若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？ 强调： “互为”的含义 3四中命题的形式 若 p 为原命题条件，q 为原命题结论（学生回答，教师整理补充） 则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p 三、范例三、范例 例 1 （课本第 P 页 30 例 1）把下列命题改写成“若 p 则 q”的形式，并写出它们的逆 命题、否命题与逆否命题： （学生回答，教师整理补充） (1) 负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等. 分析：关键是找出原命题的条件p 和

6、结论 q. 解：(1)原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数； 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数； 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数； 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数； 逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方； 否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数； 逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方. (2) 原命题可写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等； 逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等； 逆否命题：

7、若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形. 例 2设原命题是“当 c0 时，若 ab，则 acbc” ，写出它的逆命题、否命题与逆否命 题，并判断它们的真假 注意：“若 p 则 q”形式的命题，也是一种复合命题，其中的p 与 q，可以是命题， 也可以是开语句，例如，命题“若x y=0,则 x，y 全为 0” ，其中的 p 与 q，就是开语句. 关键是找出原命题的条件(p)、结论(q)，然后适当改写成更明显的形式 22 四、小结：四、小结：四种命题的概念及其形式，怎样写出一个简单的命题（原命题）的逆命题、 否命题、逆否命题 五、练习五、练习：P31 练习：1，2. 答案：1.(1)若一个整数的

8、末位是0，则它可以被 5 整除； (2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等； (3)若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式； (4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线. 2.(1)可以被 5 整除的整数，末位是0； (2)不在线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离不相等； (3)若式子两边都乘以同一个数所得结果不是等式，则这个式子不是等式； (4)若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径. 补充题： 写出命题“若 xy= 0 则 x = 0 或 y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题 解：逆命题：若 x = 0 或

9、 y = 0则 xy = 0 否命题：若 xy 0则 x 0 且 y 0 逆否命题：若 x 0 且 y 0则 xy0. 注意： 1为什么称“互为”逆命题（否命题，逆否命题） 2要重视对命题的剖析：条件、结论 六、作业六、作业：课本第 33 页习题 1.7：1，2. 七、板书设计七、板书设计（略） 八、课后记：八、课后记： 课课题：题：1.7 1.7 教学目的：教学目的： 四种命题（四种命题（2 2） 1理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假 2理解反证法的基本原理； 掌握运用反证法的一般步骤； 并能用反证法证明一些命题； 3培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系

10、的辩证思想 教学重点：教学重点：理解四种命题的关系 教学难点教学难点：逆否命题的等价性 授课类型：授课类型：新授课 课时安排：课时安排：1 课时 教教具：具：多媒体、实物投影仪 内容分析内容分析： 学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理 方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中 的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法然后，通过若干实例，讲述了充分条 件、必要条件和充要条件的有关知识 这一大节的重点是充要条件学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的 技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或

11、”、 “且” 、 “非”与充要条件的有关 内容是十分必要的 （初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题 到高中数 学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授 学习反证法，一是要注意加强对有关代数 命题的训练，二是教学要求要适当， 对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入， 逐步提高 教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单因此，这些题 目都可以用直接的方法进行证明， 不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反 证法） 反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立， 这样的证明方法叫做反证法 教学过程：教学过程：

12、 一、复习引入一、复习引入： 四种命题及其形式 原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p； 否命题：若p 则q； 逆否命题：若q 则p. 二、讲解新课：二、讲解新课： 1四种命题的相互关系 互逆命题、 互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系， 若把其中一个命题叫做原 命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命 原 命 题 若 p则 q 互 否 否 命 题 若 p则 q 互 逆 互 为 为 互 逆否 逆 命 题 若 q则 p 互 否 逆 否 命 题 若 q则 p 逆 否 互 逆 题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示： 2四种命题的真假关系 一个命题的真假与其他三

13、个命题的真假有如下三条关系： 、原命题为真，它的逆命题不一定为真 、原命题为真，它的否命题不一定为真 、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3反证法： 要证明某一结论 A 是正确的， 但不直接证明， 而是先去证明 A 的反面 （非 A） 是错误的， 从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论， 完成命题的论证的一种数学证明方法 4反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 注意：可能出现矛盾四种情况： 与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾

14、 在证明过程中，推出自相矛盾 的结论 三、范例三、范例 例 1判断以下四种命题的真假 原命题：若四边形 ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分真 逆命题：若四边形 ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形；真 否命题：若四边形 ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分；真 逆否命题：若四边形 ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形；真 归纳小结： （学生回答，教师整理补充） (1)原命题为真，它的逆命题不一定为真； (2)原命题为真，它的否命题不一定为真； (3)原命题为真，它的逆否命题一定为真 结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)， 其余情况

15、则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等） ，这时称互为逆 否的两个命题等价，即原命题逆否命题 例 2 （课本第 32 页例 2）设原命题是“当 c0 时，若 ab，则 acbc” ，写出它的逆命 题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 分析： “当 c0 时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是 ab，结论是 acbc. 解：逆命题：当 c0 时，若 acbc，则 ab.它是真命题； 否命题：当 c0 时，若 ab，则 acbc.它是真命题； 逆否命题：当 c0 时，若 acbc，则 ab.它是真命题. 练习：课本第 32 页练习：1，2. 答案：1.(1)正

16、确；(2)正确. 2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真； 否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真； 逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真. (2) 逆命题：若 a+cb+c,则 ab.逆命题为真. 否命题：若 ab,则 a+cb+c.否命题为真. 逆否命题：若 a+cb+c，则 ab.逆否命题为真. 例 3 （课本第 32 页例 3）用反证法证明：如果ab0，那么 a 证明：假设 a不大于 b，则或者 a0，b0， a b aa b. b a，a b0 矛盾，a b. 证法二（直接证法）a b ab0,a b0 即 a a b a b

17、， a b a b 0,a b 0 b 例 4（课本第 33 页例 4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 已知：如图，在O 中，弦AB、CD 交于 P，且AB、 径. 求证：弦 AB、CD 不被 P 平分. 分析：假设弦AB、CD 被 P 平分，连结OP 后，可推 都与 OP 垂直，则出现矛盾. 证明：假设弦 AB、CD 被 P 平分，由于 P 点一定不是圆心 O，连结 OP，根据垂径定理 的推论， 有 OPAB，OPCD，即过点 P 有两条直线与 OP 都垂直， 这与垂线性质矛盾. 弦 AB、CD 不被 P 平分. 四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系 反证法的基本

18、原理及其四个步骤 出 AB、CD CD 不是直 五、练习五、练习：课本第 33 页练习：1，2. 提示：1.设 b2-4ac0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾. 2.设B900，则C+B1800，得出矛盾. 补充题： 1命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真 假 解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y（假，如 x = 1, y = 1） 否命题：若 x y 则 |x| |y|（假，如 x = 1, y =1） 逆否命题：若 |x| |y| 则 x y（真） 2写出命题： “若 xy = 6 则 x = 3

19、且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的 真假 解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真） 否命题：若 x + y 5 则 x 3 且 y2（真） 逆否命题：若 x 3 或 y2 则 x + y 5（假） 六、作业六、作业：课本第 33-34 页习题 17 中 3，4 ，5. 补充题： 1若 a2能被 2 整除，a 是整数，求证：a 也能被 2 整除. 证：假设 a 不能被 2 整除，则 a 必为奇数， 故可令 a=2m+1(m 为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明 a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被 2 整除）相矛盾, a 能被 2 整除. 七、板书设计七、板书设计（略） 八、课后