2020高考数学复习竞赛讲座 因式分解（通用）

1、2020高考数学复习比赛讲座的因式分解因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性。以下是中学教材中已经介绍基本方法的基础，综合京津大会，介绍有关附加项目、项目解散方法、待定系数法、替换法、对称分解等的内容和方法。1.添加项目。移除项目的方法追加、分解项目的目的是在每个项目之间创建公共元素，或使用公式分解元素，因此，解决问题的时候，要注意分离问题的特性。例1(1986年扬州早期数学竞争问题)分解因素(1 y)2-2x2(1 y2) x4(1-y)2解决方案：原始=(1y)2(1y)x2(1y)x4(1-y)2-2(1y)x2(1-y)-2 x2(1 y2)=(1y)x2(

2、1-y)2-2(1y)x2(1-y)-2x 2(1 y2)=(1 y) x2(1-y)2-(2x)2=(1y)x2(1-y)2x(1y)x2(1-y)-2x=(x2-x2y 2x y 1)(x2-x2y-2x y 1)=(x 1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)例2(第11届国际数学竞争问题)证明了具有以下性质的自然数a有无穷大，任意自然数m.z=n4 a没有小数。证明设置a=4k4(k是大于1的自然数)Z=n4 a=n4 4k4=n4 4n2k2 4k4-4n2k2=(=(n2 2k2)2-4n2k2=(n2k2 2

3、nnk) (n2k2-2nk)=(n k)2 k2(n-k)2 k2。k是大于1的自然数。2 k2 1，(n-k) 2 k2 1因此，右两个元素都大于1，因此在k 1中，z是和数。大于1的自然数k具有无限多的自然数a，因此n4 a不是所有自然数n的总小数2.待定系数法对于两个多项式f(x)=g(x)，其系数相同，可以透过将特定引数分解问题转换为方程式系统中的问题来解决。示例3分解因子3x2 5xy-2y2 x 9y-4。解决方案3x2 5xy-2y2=(3x-y)(x 2y)，因此可以设置3x2 5xy-2y2 x 9y-4=(3x-y a)(x 2y b)=3x2 5xy-2y2 (a 3b

4、)x (2a-b)y ab。比较两边的系数， a=4，b=-1，表达式。原始=(3x-y 4)(x 2y-1)。例4(1963北京中学生数学竞赛试题)已知的多项式x3 bx2cx的系数均为整数，证明BD CD为奇数时，该多项式不能分解为两个整体系数多项式的乘积。增设X3 bx2 CX d=(x p)(x2 qx r)=x3 (p q)x2 (pq r)x pr(其中p、q、r都是整数)如果比较两个系数，则pr=d。Bd cd=d(b c)是奇数，因此b c和d是奇数，pr也是奇数。换句话说，p和r是奇数。当前为id，因此替换为x=11 b c d=(1 p)(1 q r)。b c，d为奇数，1

5、b c，d也为奇数，p为奇数，1 p为偶数。1 p (1q r)是偶数。这不能说明等式左端是奇数，右端是偶数。因此，多项式不能分解为两个整体系数多项式的乘积。3.轮回转世法范例5分解引数(x2 3x 2)(x2 7x 12)-120。解决方案=(x 2)(x 1)(x 4)(x 3)-120=(x 2)(x 3)(x 1)(x 4)-120=(x2 5x 6)(x2 5x 4)-120X2 5x=A，而不是早期版本原始=(A 6)(A 4)-120=A2 10A-96=(a 16)(a-6)=(x25x 16)(x25x-6)=(x25x 16)(x 6)(x-1)示例6证明a(a 1)(a

6、2)(a 3) 1是总平方数解决方案=a(a 3)(a 1)(a 2) 1=(a2 3a)(a2 3a 2) 1=(a2 3a)2 2(a2 3a) 1=(a2 3a 1)2a(a 1)(a(a 1)(a 2)(a 3)1是完整的平方数。说明：没有新元素，但将a2 3a视为新元素。4.对称因子分解在包含多个元素的多项式中，任意交换两个元素的位置不会改变多项式，这种多项式称为对称多项式。范例7分解引数x4 (x y)4 y4分析这是可以使用x y，xy的所有二进制对称多项式的二进制对称，如2x2=(x y) 2-2xy，二进制对称多项式的分解方法之一，其中：首先使用x y，xy，然后是线分解。解

7、决方案/x4 y4=(x y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2。原始=(x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2 (x y) 4=2 (x y) 4-4xy (x y) 2 x2y2=2(x y)4-2xy(x y)2 (xy)2=2 (x) 2-xy 2-2 (x2 y2 xy) 2，范例8分解引数a2(b-c) b2(c-a) c2(a-b)。其中，如果将表达式的b替换为a，将c替换为b，将a替换为c，则结果为c2(a-b) a2(b-c) b2(c-a)。这个多项式叫做a，b，c的旋转对称，旋转对称的因数分解更简单，使用自变量定理

8、和待定系数法。首先，我简要说明一下参数定理。F(x)，f(a)表示x=1点的多项式值，例如，x=3 x2-5x-2，f(a)如果参数定理x=a，多项式f(x)的值为0 (f(a)=0)，则f(x)可以除以x-a(包含x-a的参数)。多项式f(x)=3x2-5x-2，x=2时f(2)=0，即f(x)包含x-2的参数，实际上f(x)=3x2-5x认证设置f (x)=xn an-1xn-1.a1x A0、F(a)=0时F(x)=f(x)-f(a)=(anxn an-1xn-1.a1x A0)=(Anan an-1an-1.a1a A0)=an (xn-an) an-1 (xn-1-an-1).a1

9、(x-a)、(x-a) | (xn-an)，(x-a) | (xn-1-an-1)，(x-a) | (x-a)、(x-a)| f(x)、对于多元多项式，使用参数定理时，可以确定一个主要因素，其他因素可以按规定的数量处理。现在，我们使用自变量定理解决示例8。包含a、b和c三个字符的三次多项式。A以A为基础，f(A)=a2(B- c)B2(c-A)C2(a-b)A=B和a=c都有f(a)=0，因此A-B和a-c三次多项式有三个元素，您可以设定a2(B- c)B2(c-a)C2(a-b)=k(a-b)(B- c)(c-a)。其中k是待定系数，a=0、b=1、c=-1是k=-1。a2(B- c)B2(

10、c-a)C2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)。范例9分解引数a3(b-c) b3(c-a) c3(a-b)。分析这是关于a，b，c的四次旋转多项式的，可以分解为自变量定理。a-b、b-c、c-a是多项式的三个参数，而四次多项式必须是旋转对称已知的一个参数a b c，因此a3 (b-c) B3 (c-a) C3 (a-b)=k原始=-(a-b)(b-c)(c-a)(a b c)。是否更多地使用自变量定理，或是否是一元n次多项式的因数分解。例10(1985年武汉中学数学竞赛)证明：2x 3是多项式2x4-5x3-10x2 15x 18的因子。记住多项式为f(x)。15-2x3是f(x)

11、的参数。示例11分解了参数x3-19x-30。其中常数值分析为30。多项式f(x)=x3-19x-30具有x-a等形式的参数，则a为f(a)=a3-19a-30=0，a3-19a=30。 a | (a3-19a)，a | 30解决方案30的元素是1，2，3，4，5，6，10，15，30。f(1)=-48，f (-1)=-12，f (2)=-60，f(-2)=0，f (3)=-。(这里已有f (-2)、f (-3)、f (-3)、f (5)等于0，三次多项式只有一次，因此无需再计算。）x3-19x-30=k(x 2)(x 3)(x-5)，x3的系数为1，k=1。因此，x3-19x-30=(x 2

12、)(x 3)(x-5)。练习1.选择题(1)如果有1到100之间的整数n，则x2 x-n可以分解为两个整体系数的一次积。n是()(A)0(B)1(C)2(D)9(E)10(2)如果二次多项式x2kx-3k2可除以X-1，则k值为()(A)1或(B)-1或(C)0(D)1或-1(3)如果100x2-kxy 49y2是完全展开的，则k=()(A)4900(B)9800(C)140(D)702.填写空格(1)多项式6x2 mxy-3dy2 3x10y-3可以分解为x，y的一阶多项式，如果m=_ _ _ _ _ _ _ _。(2) x2 x-1=0时，x3 2x 2 1985=_ _ _ _ _ _。

13、3.(1)参数a2-b2 4a 2b 3的分解(2)分解参数(x2 x 1)(x2 x 2)-12。4.(1)分解参数a3b-ab3 a2 B2 1(2)(1989年广州等5个城市联赛)分解标准(x y)(x-y) 4(y-1)。5.(1986年全国中学数学知识竞赛)分解因子(x y)3 2xy(1-x-y)-1。证明是合数。7.分解参数(x y)3-x3-y3 3xy。8.分解参数(ab BC ca)(a b c)-abc。9.(1986年5城市联赛考试问题)如果a是自然数，那么a4-3a2 9是小数还是合数呢？给我你的证件。10.(1985年北京市中学数学竞赛问题)如果a是自然数，则证明10|(a1985-a1949)。练习1.d.a.c2.(1) m=7。(2) 1986年3.(1) (a b 1) (a-b 3)。(2) (x 2) (x-1) (x2 x 5)4.(1) (a2-a b 1) (a b B2 1)(2) (x-y 2) (x y-2)5.(x y-1) (x2 y2 x y 1)。6.a=101986 1=(10662) 8 1=.具有2个因子的分角的乘积，如果2个因子大于1，则证明。7.预设=(