山东省沂源县沂河源学校人教版九年级上册数学《21.2.1直接开平方法解一元二次方程》导学案

1、沂河源学校八年级数学导学案沂河源学校八年级数学导学案 课题：课题：21.2.121.2.1 直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解一元二次方程 主备人：孟婕主备人：孟婕 学习目标学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如x2=a(a 0)或mx n a(a0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二 2 次方程； 2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互 比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。 学习重点：学习重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。 学习难点：学

2、习难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。 学习过程：活动探究学习过程：活动探究 2 一桶某种油漆可刷的面积为 1500dm ,李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状 的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ 2 我们知道 x =25，根据平方根的意义，直接开平方得x=5，如果x 换元为 2t+1，即（2t+1） 2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 用直接开平方法解下列方程： 222 x =8(2x-1) =5x +6x+9=2 22 4m -9=03(x-1) -9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程 “降次” ， 转化为两个一元一次方

3、程 我们把这种思想称为“降次转化思想” 归纳：如果方程能化成的形式，那么可得。 【课堂活动】【课堂活动】 例 1 用直接开平方法解下列方程： (3x+1) =7y +2y+1=249n -24n+16=11 222 练习： 222 2x -8=09x -5=3(x+6) -9=0 【课堂练习】：知识运用【课堂练习】：知识运用 1、用直接开平方法解下列方程： 3(x-1) -6=0x -4x+4=59x +6x+1=4 36x -1=04x =81(x+5) =25 222 222 归纳小结归纳小结 应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的 【课后巩固】【课后巩固】 一、选择题一、选择

4、题 22 1若 x -4x+p=（x+q） ，那么 p、q 的值分别是（） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2 2方程 3x +9=0 的根为（） A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程 x - 2 2 x+1=0 正确的解法是（） 3 A（x- 1 2 812 21 2 8 ） =，x= B（x-） =-，原方程无解 339339 525512 2 522 2 ） =，x1=+，x2= D（x-） =1，x1=，x2=- 39333333 C（x- 二、填空题二、填空题 2 1若 8x -16=0，则 x 的值是_ 2 2如果方程 2

5、（x-3） =72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 2 3如果 a、b 为实数，满足 3a 4+b -12b+36=0，那么 ab 的值是_ 4用直接开平方法解下列方程： 22 （2-x） 4（2-x） -810 6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另三边用木栏围成， 木栏长 40m鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m 吗？鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 7在一次手工制作中，某同学准备了一根长4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形 方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？ 沂河源学校八年级数学导学案沂河源

6、学校八年级数学导学案 课题：课题：21.2.2 21.2.2 配方法解一元二次方程配方法解一元二次方程 主备人：孟婕主备人：孟婕 学习目标：学习目标：1 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 2 2、理解解方程中的程序化，体会化、理解解方程中的程序化，体会化 归思想。归思想。 学习重点：学习重点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 学习难点：学习难点：配方的过程。 学习过程：【课前预习】学习过程：【课前预习】完成以下问题 解下列方程 222 、3x -1=5、4（x-1） -9=0、4x +16x+16=9 填空： 2222 x +6x+_=（x+

7、_） ；x -x+_=（x-_） 2222 4x +4x+_=（2x+_） x -x+_=（x-_） 2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm ,场地的长和宽应各是多少？ 思考： 2 1、以上解法中，为什么在方程x +6x=16 两边加 9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？这也是配方法的基 本 4、配方法的关键是什么？ 【课堂活动】【课堂活动】 例 1 用配方法解下列关于x 的方程： 、x -8x+1=0、2x +1=3x、3x -6x+4=0 222 练习： 、x +10 x+9=0、3x +6x-4=0 、4x -6x-3=0、x(x+4

8、)=8x+12 2 22 【课堂练习】：【课堂练习】： 1. 填空： 2222 x +10 x+_=（x+_） ；x -12x+_=（x-_） x +5x+_=（x+_） x - 2用配方法解下列关于x 的方程 x -36x+70=02x -4x-1=0x +3=2 3x222 222 2 2 x+_=（x-_） 3 归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课后巩固】 2 一、选择题 1将二次三项式 x -4x+1 配方后得（） 2222 A（x-2） +3 B（x-2） -3 C（x+2） +3 D（x+2） -3 2 2已知 x -8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中

9、正确的是（） 2222 Ax -8x+（-4） =31 Bx -8x+（-4） =1 222 Cx +8x+4 =1 Dx -4x+4=-11 2 3 如果 mx +2 （3-2m） x+3m-2=0 （m0） 的左边是一个关于 x 的完全平方式， 则 m 等于 （） A1 B-1 C1 或 9 D-1 或 9 222 二、填空题 1、x -8x+_=（x-_） ；、9x +12x+_=（3x+_） 2 222 、x +px+_=（x+_） 2、方程 x +4x-5=0 的解是_ 三、解方程： 222 x +10 x+16=03x +6x-5=04x -x-9=0 四、综合提高题 2 1已知三

10、角形两边长分别为2 和 4，第三边是方程 x -4x+3=0 的解，求这个三角形的周长。 2如果 x -4x+y +6y+ 22z2+13=0，求（xy）z的值。 沂河源学校八年级数学导学案沂河源学校八年级数学导学案 课题：课题：21.2.3 21.2.3 用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程 主备人：孟婕主备人：孟婕 学习目标学习目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力； 2、会用公式法解简单系数的一元二次方程； 3、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。 学习重点学习重点：用公式法解简单系数的一元二次方程； 学习难点学习难点：推导求根公式的过程

11、。 学习过程：【课前预习】学习过程：【课前预习】 22 用配方法解下列方程6x -7x+1=04x -3x=52 总结用配方法解一元二次方程的步骤： 【活动探究】【活动探究】 2 如果这个一元二次方程是一般形式ax +bx+c=0（a0），请你试用配方法的步骤求出它 们的两根？ 2 由上可知，一元二次方程ax +bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定，因此： 2 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax +bx+c=0， bb24ac 当 b -4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 x=就得到方程的根， 2a 2 当 b -4ac0，方程没有实数根。 2 bb24ac

12、2 x=叫做一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）的求根公式 2a 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 由求根公式可知， 一元二次方程最多有实数根， 也可能有实根或者实 根。 22 一般地，式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0（a0）的根的判别式，通常用希腊字 2 表示它，即= b -4ac 【课堂活动】【课堂活动】 例 2、用公式法解下列方程 x -4x-7=02x -2 2x+1=05x -3x=x+1x +17=8x 2222 练习： 2 1、在什么情况下，一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根？有两个相等 的实数根？ 22 2、写出一元二

13、次方程 ax +bx+c=0（a0，b -4ac0）的求根公式。 2 3、方程 x -4x+4=0 的根的情况是（） A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 有一个实数根 D 没有实数根 4、用公式法解下列方程 222 2x -4x-1=05x+2=3x（x-2）（3x-5）=0x - 3x- 1 2 =04x -6=0 4 【课后巩固】【课后巩固】 一、选择题 2 1用公式法解方程 4x -12x=3，得到（） Ax= 363632 332 3 Bx= Cx= Dx= 2222 2 2方程 2x +43x+62=0 的根是（ ） A.x1= 2，x 2= 3 B.x 1=6，x

14、2= 2 C.x 1=2 2，x 2= 2 D.x 1=x2=- 6 3 （m -n ） （m -n -2）-8=0，则 m -n 的值是（） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 2 二、填空题 2 4一元二次方程 ax +bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2 5当 x=_时，代数式 x -8x+12 的值是-4 22 6若关于 x 的一元二次方程（m-1）x +x+m +2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_ 222222 沂河源学校八年级数学导学案沂河源学校八年级数学导学案 课题：课题：21.2.4 21.2.4 用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程

15、主备人：孟婕主备人：孟婕 学习目标：学习目标：1 1、掌握用因式分解法解一元二次方程；、掌握用因式分解法解一元二次方程；2 2、进一步体验类比、转化、降次的数学、进一步体验类比、转化、降次的数学 思想方法。思想方法。学习重点：应用分解因式法解一元二次方程学习重点：应用分解因式法解一元二次方程 学习难点：学习难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 学习过程：【课前预习】学习过程：【课前预习】 1、把下列各式因式分解： 2222 am+bm+cm= ; a-b = ; a 2ab+b = 因式分解的方法有： 2、按要求解下列方程 22 2x +x=0（用配方法）3x +6x=0（用公式法

16、） 【活动探究】【活动探究】 置疑：置疑：仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 归纳：归纳： 1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为 _ _的形式，再使 _， 从而实现_ _， 这种解法叫做_。 2 2、如果、如果ab 0，那么，那么a 0或或b 0，这是因式分解法的根据。，这是因式分解法的根据。 如：如果x 1x 1 0，那么x1 0或_，即x 1或_。 练习练习 1、说出下列方程的根： xx8 03x 12x 5 0 2、用因式分解法解下列方程： 222 (1) x -4x=0 (2) 4x-49=0 (3) 5x-20 x+20=0 【课堂活动】【课堂活动】例

17、1、用因式分解法解下列方程 (1) 、5x2 4x 0(2) 、 xx 2 x 2 0 、 (2x-1) =(3-x)(4) 、 22 x 52 3x 15 随堂训练随堂训练 1、用因式分解法解下列方程 2222 、x +x=0、(x-4) =(5-2x)、4x -121=0、3x(2x+1)=4x+2 2、把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍， 求小圆形场地的半 径。 课堂小结课堂小结 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 将方程右边化为将方程左边分解成两个一次因式的 令每个因式分别为， 得两个一元一次方程 解这两个一元一次方程， 它们的 解就是原方程的解 【课后巩固】【课后巩固】 1方程xx 3 0的根是；2方程2x 1 x 1的根是_。 2 3方程 2x（x-2）=3（x-2）的解是_ 4方程（x-1）（x-2）=0 的两根为 x1、x2，且 x1x2，则 x1-2x2的值等于_ 2 5若（2x+3y） +4（2x+3y）+4=0，则 2x+3y 的值为_ 2 6已知 y=x -6x+9，当 x=_时，y 的值为 0；当 x=_时，y 的值等于 9